1、页 1 第2018 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分， 共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ，集合 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合集合集合故选 C2. 已知为虚数单位，复数 的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】 ，故 ， 在第二象限，故选： B3. 已知平面向量 ， ，且 ，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】向量 ， ， ，即页 2 第故选 B4
2、. 已知 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】又故选 C5. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输入的 的值为（ ）A. -3 B. -3 或 9 C. 3 或 -9 D. -9 或-3【答案】B【解析】结合流程图可知，该流程图等价于计算分段函数： 的函数值，且函数值为 ，据此分类讨论：当 时， ；当 时， ；综上可得，输入的实数 的值为 或 .本题选择 B 选项.页 3 第6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可得该几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形，如
3、图所示：其中， 平面 ， ,底面 是边长为 2 的正方形 ， ，同理可得 ，该四棱锥的侧面积为故选 A点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 在等差数列 中，若 为前 项和， ，则 的值是（ ）页 4 第A. 55 B. 11 C. 50 D. 60【答案】A【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，即故选 A8. 甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知：丙的年龄比医生大；甲的年
4、龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A. 甲是教师，乙是医生，丙是记者B. 甲是医生，乙是记者，丙是教师C. 甲是医生，乙是教师，丙是记者D. 甲是记者，乙是医生，丙是教师【答案】C【解析】由甲的年龄和记者不同和记者的年龄比乙小可以推得丙是记者，再由丙的年龄比医生大，可知甲是医生，故乙是教师.故选 C9. 已知函数 ，以下命题中假命题是（ ）A. 函数 的图象关于直线 对称B. 是函数 的一个零点C. 函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到D. 函数 在 上是增函数【答案】C【解析】函数页 5 第当 时， 取得最大值，故 A 正确 是函数 的一个零点，故
5、B 正确 的图象由 的图象向左平移 个单位得到，故 C 错误 的周期为 ，区间 的长度为 ，且当 时， 取得最大值函数 在 上是增函数，故 D 正确故选 C10. 设函数 ，则（ ）A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点【答案】D【解析】函数令 ，得 ，即函数 在 上为减函数令 ，得 ，即函数 在 上为增函数 为 的极小值点故选 D点睛：由导函数的图像判断导函数值的正负，再得函数的单调性，可得函数的极值、最值、函数值的大小.11. 已知双曲线 ， 为坐标原点， 为双曲线的右焦点，以 为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点 ，若 ，则双曲线 的离心率为（
6、 ）页 6 第A. 2 B. C. D. 【答案】A【解析】由题可得与圆相交的渐近线方程为 ，点 在 轴上方， 且 ，即 ，即故选 A点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出， ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于， ，的齐次式，结合 转化为， 的齐次式，然后等式( 不等式)两边分别除以或 转化为关于的方程( 不等式)，解方程(不等式 )即可得(的取值范围)12. 设函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，则在区间 内关于 的方程 解的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】对于任意的 ，
7、都有函数 是一个周期函数，且页 7 第又当 时， ，且函数 是定义在 上的偶函数作出 与 在区间 内的函数图象，如图所示交点个数为 3 个故选 C点睛：函数零点个数问题，一种方法可用导数研究函数的单调性和极值，再结合零点存在定理得函数的零点个数，另一种方法是转化函数图象交点个数，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象， 然后根据数形结合求解. 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设变量 满足约束条件： ，则 的最小值为_【答案】-10【解析】作出可行域如图所示：由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线经过点 时，直线 的截距最大，此时最小由 得 ，此时故答案为1
8、4. 已知抛物线 的一条弦 恰好以 为中点，则弦 所在直线方程是_【答案】页 8 第【解析】设 ， ，弦 所在直线方程为 ，则 ， ， 在抛物线 上 ，即弦 所在直线方程为故答案为点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦 所在直线方程的斜率 ，方法一利用点差法，列出有关弦 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率 ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.15. 在数列 中， ， ， ，则 _【答案】【解析】 ，即 ，数列 是以首项 1，公比为 2 的等比数列故答案为16. 已知正四棱锥 中， ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 _【答案】6页 9 第【解析】设正四棱锥
9、的底面边长为，则高为该棱锥的体积为设 ，则令 ，则 ，即 在 上为减函数令 ，则 ，即 在 上为增函数当 时， ，即棱锥的体积最大，此时故答案为 6点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. 在 中，角 所对的边分别
10、为 ，且 ， .（1）求 的面积；（2）若 ，求的值.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式由已知可得 ；根据向量的数量积运算，由得 ，再由三角形面积公式去求 的面积 （2）由（1）知 ，又 ，解方程组可得 或 ，再由余弦定理去求的值试题解析：（1）因为 ，所以页 10 第又 ，所以 ，由 ，得 ，所以故 的面积（2）由 ，且 得 或由余弦定理得 ，故考点：（1）二倍角公式及同角三角函数基本关系式；（2）余弦定理18. 高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了 55 人，从美国
11、某城市的高中生中随机抽取了 45 人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占 、朋友聚集的地方占 、个人空间占 .美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占 、家占 、个人空间占 .（1）请根据以上调查结果将下面 列联表补充完整；并判断能否有 的把握认为“恋家（在家里感到最幸福） ”与国别有关；在家里最幸福 在其它场所幸福 合计中国高中生美国高中生合计（）请将 列联表补充完整；试判断能否有 的把握认为“恋家”与否与国别有关；（）从被调查的不“恋家” 的美国学生中，用分层抽样的方法选出 4 人接受进一步调查，再从 4 人中随机抽取 2 人到中国交流学习，求 2 人中含有在“个人空间”感到幸福的学生
12、的概率.附： ，其中 .0.050 0.025 0.010 0.0013.841 5.024 6.635 10.828页 11 第【答案】 （1）见解析（2） .【解析】试题分析：（）根据题意填写列联表，计算观测值 ，对照临界值得出结论；（）用分层抽样方法抽出 4 人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有 3 人，在“个人空间”感到幸福的有 1 人，分别设为，再设“含有在“个人空间”感到幸福的学生” 为事件 ，求出基本事件数，即可求得概率值.试题解析：（）由已知得在家里最幸福 在其它场所幸福 合计中国高中生 22 33 55美国高中生 9 36 45合计 31 69 100 有 的把握认为“恋
13、家” 与否与国别有关 .（）用分层抽样的方法抽出 4 人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有 3 人，在“个人空间”感到幸福的有 1 人，分别设为 . .设“含有在“个人空间” 感到幸福的学生 ”为事件 ， .则 .19. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 为 上一点，且.页 12 第（1）求证： 平面 ；（2）若 ， ， ，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2） .【解析】试题分析：（1）法一：过 作 交 于点 ，连接 ，由 ，推出 ，结合与 ，即可推出四边形 为平行四边形，即可证明结论；法二：过点 作 于点， 为垂足，连接 ，由题意， ，则 ，即可推出四边形 为平行四边
14、形，再由平面 ，可推出 ，即可得证平面 平面 ，从而得证结论；（2）过 作 的垂线，垂足为 ，结合 平面 ，可推出 平面 ，由 平面 ，可得 到平面 的距离等于 到平面 的距离，即 ，再根据 ， ，即可求出三棱锥 的体积.试题解析：（1）法一：过 作 交 于点 ，连接 . .又 ，且 ， ，四边形 为平行四边形， .又 平面 ， 平面 ， 平面 .页 13 第法二：过点 作 于点 ， 为垂足，连接 .由题意， ，则 ，又 ， ，四边形 为平行四边形 . 平面 ， 平面 .又 .又 平面 ， 平面 ； 平面 ， 平面 ， ；平面 平面 . 平面 平面 .（2）过 作 的垂线，垂足为 . 平面 ，
15、 平面 .页 14 第又 平面 ， 平面 ， ； 平面由（1）知， 平面 ，所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，即 .在 中， ， .20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上，且有 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）过 的直线与椭圆交于 、 两点，求 面积的最大值.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：（1）由 ，得 ，再由 在椭圆上，可得 ，即可求出椭圆的标准方程；（2）由已知，直线的斜率为零时，不合题意，设直线方程为 ，点 ，联立 ，消去 ，得 ，结合韦达定理及三角形面积公式，可得，再根据基本不等式即可求出 面积的最大值.试题解析：（1）由 ，得 ， .将 代
16、入 ，得 .椭圆 的方程为 .（2）由已知，直线的斜率为零时，不合题意，设直线方程为 ，点 ， ，页 15 第则联立 ，得 ，由韦达定理，得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 面积的最大值为 .点睛：圆锥曲线中求最值或范围时，一般先根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值解题时可从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21. 已知函数 .（1）求函数 图象经过的定点坐标；（2）当 时，求曲线 在点 处的切线方程及函数
17、单调区间；（3）若对任意 ， 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1） （2）见解析（3） .【解析】试题分析：（1）当 时， ，则 ，即可求得顶点坐标；（2）当 时，对 求导， 分别求出 与 ，即可得切线方程，再根据导函数的正负，即可求出函数 单调区间；（3）对函数 求导，讨论 和 时， 函数 的单调性，进而求出 ，即可求出实数 的取值范围.试题解析：（1）当 时，页 16 第 ，函数 的图象无论为何值都经过定点 .（2）当 时， .， ， ，则切线方程为 ，即 .在 时，如果 ，即 时，函数 单调递增；如果 ，即 时，函数 单调递减 .（3） ， .当 时， ， 在 上单调递增.， 不恒
18、成立.当 时，设 ， . 的对称轴为 ， ， 在 上单调递增，且存在唯一 ，使得 .当 时， ，即 ， 在 上单调递减；当 时， ，即 ， 在 上单调递增. 在 上的最大值 . ，得 ，解得 .点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于页 17 第难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数 恒成立( 可) 或 恒成立（ 即可） ；数形结合( 图象在 上方即可)；讨论最值 或 恒成立.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （为参数）
19、 ，曲线 的直角坐标方程为.以直角坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为 ，（）（1）求曲线 、 的极坐标方程；（2）设点 、 为射线与曲线 、 除原点之外的交点，求 的最大值.【答案】 （1） ， .（2）2.【解析】试题分析：（1）将曲线 的参数方程 （为参数）消去参数化为普通方程，再根据，可得曲线 、 的极坐标方程；（2）联立 得 ，求得 ，再联立，得 ，求得 ，进而可求得 的最大值.试题解析：（1）由曲线 的参数方程 （为参数）消去参数得，即 ，曲线 的极坐标方程为 .由曲线 的直角坐标方程 ， ，曲线 的极坐标方程 .（2）联立 ，得联立 ，得 . . ， 当 时， 有最大值 2.23. 选修 4-5：不等式选讲页 18 第已知函数 ，其中 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集为 ，求的值.【答案】 （1） .（2） ，或 .【解析】试题分析：（1）由 ，将 化简，解绝对值不等式即可；（2）由 得，分 和 推出等价不等式组，分别求解，即可求得试题解析：（1） 时，由 ，得 ，不等式的解集为 .（2）由 ，可得 ，或 .即 ，或 .1）当 时，不等式的解集为 .由 ，得 .2）当 时，解集为 ，不合题意.3）当 时，不等式的解集为 .由 ，得 .综上， ，或 .
