1、2018 届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一）理数试题数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若 i是虚数单位，则复数 231i的实部与虚部之积为（ ）A 54 B C 54i D 54i2.设集合 |x， |2x，则（ ）A |0 B AR C |Bx D 3.命题“若 0y，则 ”的逆否命题是（ ）A若 x，则 x B若 0xy，则 x C若 0y，则 D若 ，则4.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输入的实数 x的值为（ ）A-3 B-3 或 9 C.3
2、或-9 D-9 或-35.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）A 34 B 32 C. 1 D 46.如图所示，网络纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 43 B 8 C.163 D 237.设 xy、 满足约束条件20xy，则 12zxy的最大值是（ ）A-15 B-9 C.1 D98.若 4 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个
3、人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法.A4 B8 C.12 D249.函数 22sinicos3yxx在 (0,)x的单调递增区间是（ ）A (0,)4 B (,) C.(0,)8 D ,410.已知双曲线21,xyab的一条渐近线与圆 2()4xy相切，则该双曲线的离心率为（ ）A2 B 3 C. D 3211.在各项都为正数的等比数列 na中，若 1，且 1564a，则数列 1()na的前 n项和是（ ）A 12n B 12n C. 21n D 21n12.设函数 ()fx是定义在 R上的偶函数，且 ()()fxfx，当 2,0时， 2()1xf，若在区间 ,6内关于 的方程 (
4、)log0afx（ a且 ）有且只有 4 个不同的根，则实数 a的取值范围是（ ）A 1(,)4 B (1,4) C.(,8) D (,)第卷（共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上.13.已知随机变量 2(1,)N:，若 (3)0.2P，则 (1)P 14.在推导等差数列前 n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得222sin1isi8915.已知正三角形 AOB（ 为坐标原点）的顶点 AB、 在抛物线 23yx上，则 AOB的边长是 16.已知 C是直角边为 2 的等腰直角三角形，且 为直角顶点， P为平面 C内一点，则P
5、AB（ ）的最小值是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.在 ABC中，已知内角 ,ABC对边分别是 ,abc，且 2osBab.（）求 ；（）若 6ab， 的面积为 23，求 c.18.如图所示，在四棱锥 PABCD中，平面 PA平面 BCD，底面 A是正方形，且 PAD，90APD.（）证明：平面 PAB平面 CD；（）求二面角 的余弦值.19.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个
6、问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了 55 人，从美国某城市的高中生中随机抽取了 45 人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占 25、朋友聚集的地方占 15、个人空间占 25.美国高中生答题情况是：家占 15、朋友聚集的地方占 3、个人空间占 1.为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福） ”是否与国别有关，构建了如下 2列联表.在家里最幸福 在其它场所幸福 合计中国高中生美国高中生合计（）请将 2列联表补充完整；试判断能否有 95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人
7、.若所选 2 名学生中的“恋家”人数为 X，求随机变量 X的分布列及期望.附： ()(nadbck，其中 nabcd.20(P0.050 0.025 0.010 0.001k3.841 5.024 6.635 10.82820.设 O为坐标原点，动点 M在椭圆2194xy上，过 M作 x轴的垂线，垂足为 N，点 P满足2NP.（）求点 P的轨迹方程 E；（）过 (1,0)F的直线 1l与点 的轨迹交于 AB、 两点，过 (1,0)F作与 1l垂直的直线 2l与点 的轨迹交于CD、两点，求证： |ABCD为定值.21.已知 2()xfea， R.（）求函数 图象恒过的定点坐标；（）若 ()1fx
8、a恒成立，求 a的值；（）在（）成立的条件下，证明： ()fx存在唯一的极小值点 0x，且 012()4fx.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：极坐标与参数方程设过原点 O的直线与圆 2(4)16xy的一个交点为 P， M点为线段 OP的中点，以原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求点 M的轨迹 C的极坐标方程；（）设点 A的极坐标为 (3,)，点 B在曲线 C上，求 AB面积的最大值.23.选修 4-5：不等式选讲已知 0a， b，函数 ()|fxaxb.（）当 1， 时，解关于 的不等式
9、 ()1f；（）若函数 ()fx的最大值为 2，求证： 2ab.试卷答案一、选择题1-5:BCDBB 6-10:ACBCB 11、12：AD二、填空题13.0.8 14.44.5 15.63 16.-1三、解答题17.解：（）由正弦定理得2sinco2sinCBA又 () sicsisinCB 2no2co2sinCB sisi0 1c又 (0,)C 23（）由面积公式可得 1sin23ABCSab 8ab22cosc222()8ab 7法 2：可解出 24ab或 代入 22cos28cabC， 7c.18.（）证明：底面 ABCD为正方形， AD.又平面 P平面 ， 平面 P.又 A平面 ，
10、 . D， ， A平面 C. P平面 B，平面 P平面 D.（）取 A的中点为 O， 的中点为 Q，连接 ,PO易得 底面 CD， A以 O为原点，以 ,QP的方向分别为 x轴， y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为 2，可得 (1,0)， (,20)B， (1,20)C， (,1)P设平面 APB的一个法向量为 11,nxyz而 (1,0)PA， (1,2)PB2n即 110xzy取 1x得 1(,)设平面 BCP的一个法向量为 22(,)nxyz而 (1,2)， (1,)则 20nPC即 220xyz取 21y得 2(0,)n1212cos,|n 55由图知所
11、求二面角为钝角故二面角 APBC的余弦值为 105.法 2：若以 D为原点，建立空间直角坐标，如图，不妨设正方形的边长为 2可得面 PAB的法向量 1(,0)n面 C的法向量 2,1122cos,|n105由图可得 APB为钝角余弦值为 05.19.（）在家 其他 合计中国 22 33 55美国 9 36 45合计 31 69 1002210(36)954K1034.628.1有 5%的把握认为“恋家”与否与国别有关.（）依题意得，5 个人中 2 人来自于“在家中”是幸福，3 人来自于“在其他场所”是幸福， X的可能取值为 0，1，2 325()0CPX，1235()CPX，20351()CP
12、X 的分布列为0 1 3P313510 34()02150EX.20.解：（）设 (,)Pxy，易知 (,)Nx， (0,)Py，又因为 ,2NM，所以 1,2M，又因为 在椭圆上，所以2()9xy，即2198xy.（）当 1l与 x轴重合时， |6AB， |3CD， 7|48ABCD.当 1l与 x轴垂直时， 16|3AB， |CD， 7|48ABCD.当 1l与 x轴不垂直也不重合时，可设 1l的方程为 (1)0ykx此时设 1(,)y， 2(,)xy， 3(,)Cxy， 4(,D把直线 1l与曲线 E联立 2198k，得 22(89)870kxk，可得122120897kx211248(
13、)|()9kABkxx，把直线 2l与曲线 E联立 2)198ykx，同理可得2211248()| ()9kCDxk.221897|4()()48kAB.21.（）因为要使参数 a对函数值不发生影响，所以必须保证 0x，此时 02()01fe，所以函数的图象恒过点 (,1).（）依题意得： xx恒成立， xea恒成立.构造函数 ()gea，则 =1x恒过 (0,)， (xge，若 0a时， g， 在 R上递增， 1xe不能恒成立.若 时， ()0x， lna. (,ln)xa时， ()0gx，函数 ()1xgea单调递减；,时， ，函数 x单调递增， ()gx在 lna时为极小值点， (ln)
14、l1ga，要使 21ex恒成立，只需 0.设 ()lh，则函数 ()h恒过 ,0)，1naa，(0,)， (0，函数 ()单调递增；， )h，函数 h单调递减， ()a在 1取得极大值 0，要使函数 ()h成立，只有在 1a时成立.（） 2xfe，设 ()2xme()xm，令 ()0， ln 在 ,ln2单调递减，在 (2,)单调递增， (ln2)l0m()xfxe在 lnx处取得极小值可得 一定有 2 个零点，分别为 ()f的一个极大值点和一个极小值点设 0x为函数 ()fx的极小值点，则 0,2x， 0()fx， 02xe，020()fe因为 260me，因为33/22()50mee，所以在区间 3(,)2上存在一个极值点，所以最小极值点在 (,)内.函数 fx的极小值点的横坐标 03(,2)x，函数 ()的极小值 01(),4f， 1()4fx22.（）设 ,M，则 2,P又点 P的轨迹的极坐标方程为 8cos 28cos， 4cos， 2k， Z.
