1、2018 届河北省邯郸市高三 1 月教学质量检测数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 ，若是复数的共轭复数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：.本题选择 A 选项.2. 已知集合 ， 则 的真子集个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B集合 表示直线 上的点组成的集合，则 表示由抛物线与直线的交点组成的集合，直线与抛物线的交点坐标为 ， ，即 中含有两个元素，由子集个数公式可得 的真子集个数为 .本题选择
2、 B 选项.3. 已知变量 ， 之间满足线性相关关系 ，且 ， 之间的相关数据如下表所示：则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得： ， ，回归方程过样本中心点，则： ，求解关于实数 的方程可得： .本题选择 B 选项.4. 下列说法中，错误的是（ ）A. 若平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，则B. 若平面 平面 ，平面 平面 ， ， ，则C. 若直线 ，平面 平面 ，则D. 若直线 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则【答案】C【解析】选项 C 中，若直线 ，平面 平面 ，则有可能直线在平面 内，该说法存在问题，由面面平行的性质定理可得选项 A 正确；由面面垂直的
3、性质定理可得选项 B 正确；由线面平行的性质定理可得选项 D 正确；本题选择 C 选项.5. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线上一点 满足 ，则抛物线 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设抛物线的准线为，作 直线于点 ，交 轴于由抛物线的定义可得： ，结合 可知： ，即 ，据此可知抛物线的方程为： .本题选择 D 选项.点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程6. 已知函数 若 ，且函数 存在最小值，则实数的取值范围为（ ）A. B.
4、C. D. 【答案】A【解析】由分段函数的解析式可得： ，即： ，结合函数有最小值可得： ，据此可得： ，即实数的取值范围为 .本题选择 A 选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围7. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C结合诱导公式有： ，据此可得： .本题选择 C 选项.8. 运行如图所示的程序框图，若
5、输出的 的值为 ，则判断框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图输出的结果为：，注意到 在求和中起到主导地位，且 ，故计算：当 时, ，结合题意可知：判断框中可以填 .本题选择 B 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别9. 现有 ， ， ， ， ， 六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛） ，第一周的比赛中， ， 各踢了 场， ， 各踢了 场， 踢了 场，且 队与 队未踢过， 队与 队也未踢过，则在第一周的比赛中， 队
6、踢的比赛的场数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依据题意： 踢了 场， 队与 队未踢过，则 C 队参加的比赛为： ；D 踢了 场， 队与 队也未踢过，则 D 队参加的比赛为： ；以上八场比赛中， 包含了 队参加的两场比赛，分析至此， 三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在 中进行，已经得到的八场比赛中，A,B 各包含一场，则在 中进行的比赛中， ， 各踢了 2 场，即余下的比赛为：，综上可得，第一周的比赛共 11 场： ， ，则 队踢的比赛的场数是 .本题选择 D 选项.10. 已知双曲线 ： 的左、右顶点分别为 ， ，点 为双曲线 的左焦点，过点 作垂直于 轴的直线分别在第二
7、、第三象限交双曲线 于 ， 两点，连接 交 轴于点 ，连接 交 于点 ，若是线段 的中点，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由通径公式可得： ，则： ，直线 的方程为： ，令 可得： ，则：，可得直线 方程为 ，令 可得： ，据此有： ，整理可得： ，则双曲线 的渐近线方程为 .本题选择 A 选项.11. 如图，网格纸上正方形的边长为 ，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示，三视图还原之后的几何体是两个全等的三棱柱 和 组成的组合体，其中棱柱的底面为直角边长为 等腰直角三角形，高为 ，每
8、个棱柱的表面积为：，两三棱柱相交部分的面积为： ，据此可得，该几何体的表面积为： .本题选择 D 选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理12. 已知函数 ， ，若 ， ，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意有： ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，且 ，据此可得：函数 在区间 上的最大值为 ，原问题等价于： 在区间 上恒成立，即：，分离参数有： 恒成立，构造函数 ，则：，由对数
9、函数的性质可得： 单调递减，且 ，则 恒成立， 单调递减，注意到 ，则：当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，则 的最大值为： ，由恒成立的条件可得：实数的取值范围为 .本题选择 B 选项.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量， 满足 ， ，若 ，则 _【答案】 或【解析】由向量平行的充要条件可得： ，即： ，求解关于的方程可得： 或 .14. 已知实数 ， 满足 则 的取值范围为_【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：目标函数表示点 与可行域内的点连线的斜率，很明显，在坐标原点处，目标函数取得最小值： ，联立方程：
10、 可得：在点 处取得最大值： ，综上可得： 的取值范围为 .点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义15. 已知 ，则 的展开式中，常数项为_【答案】【解析】函数 是奇函数，则 ，则 ，据此可得： ，其展开式的通项公式为： ，展开式中的常数项满足 ，即： .16. 已知函数 ，若 在区间 上存在零点，则 的取值范围为_【答案】【解析】当 ，即 时，满足题意；且易验证，当 时，满足题意；考虑当 时的情形：，结合 有： ，原问题等价于 或 当 时能成立.考虑到： 可得：或 ，求解不等式组有
11、： 或 ，结合 有 或 ；综上可得： 的取值范围为 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别是， ， ，且 .（）求 的大小；（）若 ， ，求 的面积.【答案】() ；() .【解析】试题分析：()由题意结合正弦定理角化边可得 ，结合余弦定理有 ，则 .()由题意结合( )的结论和余弦定理得到关于 b,c 的方程组，求解方程组有 ， ， 的面积 .试题解析：（）由 ，可得 ， ，又 ， .（）若 ，则 ，由题意， ， ，由余弦定理得 ， ， .18. 已知数列 满足 ， ， .（）求数列 的通项公式；（
12、）求数列 的前 项和 .【答案】() ；() .【解析】试题分析：()结合递推关系可得 是以 为首项，公比为 的等比数列，据此可得通项公式为 .()结合() 的结论有 ，分钟求和可得 .试题解析：（）因为 ，故 ，得 ；设 ，所以 ， ， ， 又因为 ，所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，故 ，故 .（）由（）可知 ，故.19. 如图所示，直三棱柱 中， ， ， ，点 ， 分别是 的中点.（）求证： 平面 ；（）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】()证明见解析；() .【解析】试题分析：()连接 ， ,由中位线的性质可得： ，利用线面平行的判断定理即可证得
13、平面 .()结合直三棱柱的性质，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设 ，则 ， ， ，据此可得平面 的一个法向量为 ，平面的一个法向量为 ，则 ，求解方程可得 ，利用线面角的向量求法可得.试题解析：（）连接 ， ,则 且 为 的中点，又 为 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 .（）因为 是直三棱柱，所以 平面 ，得 .因为 ， ，故 .以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设 ，则 ， ， ， ， .取平面 的一个法向量为 ，由 得 ：令 ，得 ，同理可得平面 的一个法向量为 ，二面角 的大小为 ， ，解
14、得 ，得 ，又 ，设直线 与平面 所成角为，则 .点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2) 问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角( 或其补角)；二是借助平面的法向量20. 随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取 人对共享产品对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的 人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下
15、表所示：（）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系？（）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员随机发放 张超市的购物券，购物券金额以及发放的概率如下：现有甲、乙两人领取了购物券，记两人领取的购物券的总金额为 ，求 的分布列和数学期望.参考公式： .临界值表：【答案】()答案见解析；()答案见解析.【解析】试题分析：()依题意计算 的观测值 ，则可以在犯错误的概率不超过 的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系.()依题意， 的可能取值为 ， ， ，且 ， ， ，据此得出分布列，计算数学期望 .试题解析：（）依题意，在本次的实验中
16、， 的观测值 ，故可以在犯错误的概率不超过 的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系.（）依题意， 的可能取值为 ， ， ，且 ， ， ，故 的分布列为：故所求的数学期望 .21. 已知椭圆 ： 过点 ，且离心率为 .过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点.（）求椭圆 的标准方程；（）若点 为椭圆 的右顶点，探究： 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 .（其中， ， 分别是直线 、 的斜率）【答案】() ；() 为定值 .【解析】试题分析：()由题意得到关于 a,b,c 的方程组，求解方程组有 ， ，故椭圆 的标准方程为 .()结合() 的结论可知 .易知当直线 的斜率不存在时，不
17、合题意.当直线 的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程可得 ，则综上所述， 为定值 .试题解析：（）依题意， 解得 ， ，故椭圆 的标准方程为 .（）依题意， .易知当直线 的斜率不存在时，不合题意.当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，代入 中，得 ，设 ， ，由 ,得 ， ，故 综上所述， 为定值 .点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22. 已知函数 .（）探究函数 的单调性；（）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.【答案】()答案见解析；() .【解析】试题分析：()对函
18、数求导有 ，分类讨论：若 ， 在 上单调递增；若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增.()原问题即 在 上恒成立.构造函数：令 ，则 ，考查分子部分，令 ，则 是 上的增函数.据此分类讨论：当 时，成立.当 时， 不可能恒成立.综合上述，实数 的取值范围是.试题解析：（）依题意， ，函数 ，若 ， ，函数 在 上单调递增；若 ，当 时， ，当 时， ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.（）依题意， ，即 在 上恒成立.令 ，则 ，令 ，则 是 上的增函数，即 .当 时， ，所以 ，因此 是 上的增函数，则 ，因此 时， 成立.当 时，令 ，得 ，求得 ， （由于 ，所以舍去 ）当 时， ，则 在 上递减，当 时， ，则 在 上递增，所以当 时， ，因此 时， 不可能恒成立.综合上述，实数 的取值范围是 .
