1、2018 届广东省佛山市顺德区高三下学期学情调研考试数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若 ， ，则集合 中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，所以有 4 个元素，故选 D。2. ，复数 为虚数，则（ ）A. B. C. ， D. ，【答案】B【解析】由题意， ，故选 B。3. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选 A。4. 函数 的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
2、解析】 ，且 ，所以值域为 ，故选 C。5. 已知函数 ，则 （ ）A. 是奇函数且在 上有最小值 B. 是奇函数且在 上有最大值C. 是偶函数且在 上有最小值 D. 是偶函数且在 上有最大值【答案】C【解析】 ，所以是偶函数，又 ，满足对勾函数的性质，且 ，所以可知当 时，有最小值。故选 C。6. 农历 2 月初 2 是中国春节期间最后一个节日，叫“2 月 2 龙抬头”这一天河北农村有一风俗叫“吃燎斗”，就是吃自家炒的黄豆.设想炒熟黄豆后，把两粒生黄豆混入其中，平均分成三份，取其一份恰好含有生黄豆的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】假设两颗生黄豆为不同的两颗，则把两颗生黄
3、豆分到三份里边，共有 9 中分法，所以 。故选 D。7. 皮球从 高处落下，每次着地后又跳回原来的高度的一半，再落下，当它第 次着地时，共经过了（ ） .A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故选 D。8. 一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】该几何体为四棱柱，则 ，故选 B。9. 设 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，所以 ，故选 A。点睛：本题考查对数的大小比较。本题中的大小比较不明显，所以根据题中的 ，联想 会与 有大小关系，则想到本题采取中间量法进行大小比较。对数的大小比较采用转化为
4、同底对数进行比较。10. 已知 是双曲线 ： （ ， ）的右焦点， ， 分别是 的左、右顶点. 为坐标原点，为 上一点， 轴，过点 的直线与线段 交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，若，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图,设 A(a,0),M(0,2m),B(a,0),N(0,3m).则直线 ,直线 .直线 AM,BN 的交点 D(c,y)， ,则 ，双曲线的离心率为 5.本题选择 C 选项.11. 设 为抛物线 ： 的焦点， 为抛物线 上的一点， 为原点，若 为等腰三角形，则的周长为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】 （1
5、） ，即 在 上，解得 ，所以周长为 ；（2） ，设 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以周长为；故选 D。点睛：本题考查抛物线的性质。由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论。本题的关键就是求出 的坐标，求出周长，所以只需设出 的坐标， 结合各自的等量关系，求坐标，得到周长。12. 在 中，角 、 、 所对的边分别是、 ， ，且、 ，成等差数列，则角 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以 ，由基本不等式 ，所以 ，所以 的取值范围是 ，故选 B。点睛：本题考查余弦定理解三角形，基本不等式的应用。由条件可知，本题是已知三角形的边的关系，所以利用余弦定理得 ，由
6、式子形式，想到利用基本不等式进一步解题，得到答案。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则 的展开式中倒数第 项的系数为_【答案】280【解析】 ，得 ， ，所以 时， 。14. 若实数 ， 满足 ，则 的最小值为_【答案】-2【解析】过 时， 的最小值为-2。15. 单位向量与 ， ，向量的长度为 ，则 的最大值为_【答案】【解析】由题意， 夹角 60，则 ，设 ，所以 ，则最大值为 。点睛：本题考查平面向量的数量积。本题中，采用坐标法解决平面向量问题。由题意， ，设 ，得 ，得到答案。16. 定义
7、在 上的函数满足 ， ， ，且当 时， ，则_【答案】【解析】由题意， 时， ，得 ，又 时， ，得 ，因为 ，由题意可知， 。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 中， ，（1）求 的值；（2）若 的面积为 ，求 的各边长.【答案】 （1） ;（2） .【解析】试题分析：（1）由正弦定理得 ，解得 ；（2）由，得 ，又因为 ，得 ， ，由，得 试题解析：（1）因为 .所以 ，所以 由正弦定理得，所以 （2）因为 是钝角，所以 ，所以 ，所以所以 由 ，得 ，又因为 得 ， 由 ，得 .18. 如图，长方体 中， ， ，点 ， ，
8、分别为 ， ， 的中点，过点 的平面 与平面 平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形.（1）在图中画出这个几何图形（说明画法，不需要说明理由） ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）利用平行关系作图；（2）建立空间直角坐标系，求出两个法向量， ，求出二面角。试题解析：（1）取 的中点 ，连接 ， ， ， ，则交线围成的几何图形 如图：（2）因为点 ， 分别为 ， 的中点， ，所以 ， 以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ， ， .设 是平面 的法向量，则 ，即 所以可取 .同理可求平面 的一个法向量为
9、 因为 所以二面角 的余弦值为 试题分析：本题考查立体几何的二面角求解。一般的，在容易建系的立体几何问题中，采取空间直角坐标系解题比较方便，可以避免找角或其他技巧性方法，将几何问题转化为代数计算，只需掌握解题套路，即可解决问题。19. 某中学每年暑假举行“学科思维讲座”活动，每场讲座结束时，所有听讲这都要填写一份问卷调查.2017 年暑假某一天五场讲座收到的问卷份数情况如下表：学科 语文 数学 英语 理综 文综问卷份数用分层抽样的方法从这一天的所有问卷中抽取 份进行统计，结果如下表：满意 一般 不满意语文数学 1英语理综文综（1）估计这次讲座活动的总体满意率；（2）求听数学讲座的甲某的调查问卷
10、被选中的概率；（3）若想从调查问卷被选中且填写不满意的人中再随机选出 人进行家访，求这 人中选择的是理综讲座的人数的分布列.【答案】 （1） ;（2） ;（3）见解析.【解析】试题分析：（1）用样本满意率估计总体满意率；（2） ；（3）人数的取值为 ， ， ， ，分别求出概率，写出分布列。试题解析：（1）用样本满意率估计总体满意率（2）甲的调查问卷被选中的概率为 （或 ）（3）不满意的问卷分别是语文 份、数学 份、英语 份、理综 份、文综 份，共 份，被选出进行家访的 人选择的是理综讲座的人数的取值为 ， ， ， ； ； 所以的分布列为20. 已知四边形 的四个顶点在椭圆 ： 上，对角线 所在
11、直线的斜率为 ，且 ，.（1）当点 为椭圆 的上顶点时，求 所在直线方程；（2）求四边形 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由题意，对角线 垂直平分线段 ，所以直线 所在直线的斜率为 ，得 中点的坐标为 ，所以 所在直线方程为 ；（2）设 ， 所在直线方程分别为 ，则 ，又得 ，所以当 时，四边形 的面积最大，最大面积为 .试题解析：（1）因为 ， ，所以对角线 垂直平分线段 .因为直线 的斜率为 ，则直线 所在直线的斜率为 .又因为 ，则直线 所在直线方程为 .由 ，解得 则 中点 的坐标为 所以 所在直线方程为 ；（2）设 ， 所在直线方程分别为 ， ，
12、， ， 中点 .由 得 令 ，得 ， 则 同理 则 又因为 ，所以 中点 .由点 在直线 上，得 ，所以因为 ，所以 所以当 时，四边形 的面积最大，最大面积为 .21. 已知实数 及函数 （1）若 ，求 的单调区间；（2）设集合 ，使 在 上恒成立的的取值范围记作集合 ，求证： 是 的真子集.【答案】 （1） 的单调递减区间是 和 ，增区间是 ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1） ，所以 的单调递减区间是 和 ，增区间是 ；（2） ，分类讨论，得 是 的真子集。试题解析：（1） 令 ，得 或 ，则所以 的单调递减区间是 和 ，增区间是（2）证明： 时， 的判别式 恒成立，所以 恒成立且有
13、唯一的 值使 所以， 时， 在 上单调递减.所以 时， ，所以 是 的子集；时，令 ，得 或 ，则类比（1）可得在 上 的单调减区间是和 ，增区间是取 ，得 的单调减区间是 和 ，增区间是 ，所以在 上， 时 取得最大值.所以， 时， 恒成立，所以 ，但 所以 是 的真子集.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系 中，已知直线的参数方程为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若曲线 与直线相交于不同的两点 ， ，求线段 的长.【答案】 （1）曲线 的
14、直角坐标方程为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）曲线 的直角坐标方程为 ；（2）将直线参数方程代入曲线 ，化简得，所以 。试题解析：（1）曲线 的直角坐标方程为 （2）由 得， ，23. 已知函数 （1）求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集为 ，求的取值范围.【答案】 （1）不等式 的解集为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）分类求解绝对值不等式，得解集为 ；（2）分类得到分段函数，观察函数性质，得到 .试题解析：（1） 时， ，得 ，得 ；时， ，得 ，得 时， ，得 ，得 所以不等式 的解集为 （2）不等式 的解集为 ，所以 恒成立设 则 得 的最小值为 ，所以 .点睛：本题考查绝对值不等式。绝对值不等式去绝对值的常用技巧就是分类，函数问题中可以通过分类转化为分段函数，然后分段解不等式，或研究分段函数图象的性质，就可以解决问题。
