1、梅河口市第五中学 2018 届高三第四次月考数学试卷(文科)第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】复数 .故选 A.2. 设集合 ， ，则 等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合 ，所以 .故选 A.3. 若球 的半径为 ，且球心 到平面 的距离为 ，则平面 截球 所得截面圆的面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】作出对应的截面图，球的半径 R=4,由球心距 d=3故截面圆半径故截面圆面积 S=r2
2、=13故选：C.4. 命题 ， ，命题 抛物线 的焦点到准线的距离为 ，那么下列命题为真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】比如令 ,则 ，故命题 p 是真命题；抛物线 的标准方程为 x2=3y,故 ，即它的焦点到准线的距离为 ，故命题 q 是假命题；故 是真命题，故选：D.5. 已知 为数列 的前 项和，若 ，且 ，则 ( )A. 6 B. 12 C. 16 D. 24【答案】B【解析】根据题意,数列 中,有 即 S1=3，又由 ，则数列 的前 n 项和 为首项为 3，公比为 2 的等比数列；则 Sn=S1qn1=32n1，则 =S4S3=323322=2412=12；即
3、 =12；故选：B.6. 若 ， ， ，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ， .所以 .故选 D.7. 若 ，则 的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由得 .故选 D.8. 若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 .下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理 ，执行该程序框图，则输出的等于( )A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C【解析】从题设所提供的算法流程图可知：当 时， ，则 ，由于 ；则 ，由于 ，则，此时 ，此时运算程序结束，输出 ，应选答案 C。9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 6
4、 B. 9 C. 12 D. 18【答案】B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体，下部的三棱柱,底面面积为： ，高为 1，体积为： 6；上部的三棱柱,底面面积为： 23=3，高为 1，体积为：3；故组合体的体积 V=6+3=9，故选：B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 设 满足约束条件 ，
5、若 ，则 仅在点 处取得最大值的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出不等式组 表示的区域如图，结合图形可知： ，即 ，故 ，由题设 ，所以 ，应选答案 B。11. 已知定义在 上的奇函数 在 上递减，若 对 恒成立，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 定义在 上的奇函数 在 上递减，故 在 上是减函数，若对 恒成立，则当 时， 恒成立，即 恒成立，令 ，令 ，在 上， 是增函数；在 上， 是减函数，故 的最大值为，故选 C.12. 已知 ， ， ， ， 这 3 个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示，则函数 的图象的一条对称轴方程可以为(
6、 )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 , ，又由函数图象可知，三函数的最大值均为 2，可得：a=1， , ，由图象可知,f(x )的周期为 ，=2.那么函数令 .可得对称轴方程为 ，当 k=2 时,可得 .故选 C.点睛：函数 的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由 求增区间; 由 求减区间.第卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数 ，则 _.【答案】【解析】由函数 ，得 ，.故答案为：-1.14. 已知向量 ， ，若 ，则 的取值范围为_.【答案】【解析】由向量 ， ，得 .若 ，则 ，解得 .故答案为： .15. 在公差大于
7、 1 的等差数列 中，已知 ， ，则数列 的前 20 项和为_.【答案】812【解析】在公差大于 1 的等差数列 中, ， ， ，由 d1,解得 =8，d=5， ，由 =5n130,得 ，数列| |的前 20 项和：.故答案为：812.16. 直线 与双曲线 的左支、右支分别交于 两点， 为右顶点， 为坐标原点，若 ，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】 ， ， ，代入双曲线 ，可得 ， ， ， ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 的对边分别是 ，已知 .(1)若 ，求 的面积；(2)若 ， ，求
8、的周长.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简已知等式可得 2a2+b2=c2，结合已知可求 c 的值，由余弦定理可得 cosC，利用同角三角函数基本关系式可求 sinC，利用三角形面积公式即可计算得解（2）由余弦定理可得 ，可求 a=b，进而结合已知可求 a，b 的值，即可计算得解ABC 的周长试题解析：(1)由正弦定理可得 ， ， ，由余弦定理可得 ， ， 的面积为 .(2)由余弦定理可得 ， ， ， ， 的周长为 .18. 已知某企业近 3 年的前 7 个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：(1)试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的平均利润最高？(2
9、)通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势；(3)试以第 3 年的前 4 个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份的利润.月份 1 2 3 4利润 (单位：百万元) 4 4 6 6相关公式： ， .【答案】(1) 5 月和 6 月平均利润最高(2) 这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋势(3) 估计 8 月份的利润为 940 万元【解析】试题分析：（1）结合图象读出结论即可；（2）根据图象累加判断结论即可；（3）分别求出对应的系数 和的值，代入回归方程即可试题解析：(1)由折线图可知 5 月和 6 月平均利润最高.(2)第 1 年前 7 个月的总利润
10、为 (百万元)，第 2 年前 7 个月的总利润为 (百万元 )，第 3 年前 7 个月的总利润为 (百万元 )，这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋势.(3) ， ， ， ， ， ， ，当 时， (百万元)，估计 8 月份的利润为 940 万元.19. 已知数列 的前 项和 ，且 ， ， 成等比数列.(1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据数列的递推公式可得 an=2n-1+p，再根据 a2，a5，a10 成等比数列，求出 p 的值，问题得以解决，（2）把（1）求出的 an 代入 bn，再求出 bn 的表达式，然后由裂
11、项相消法来求数列b n的前 n 项和 Tn试题解析：(1)当 时， ，当 时， ，也满足 ，故 ， 成等比数列， ， . .(2)由(1)可得 ， .点睛：本题主要考查等比数列的通项以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20. 在四棱椎 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ， 为线段 上一点，且 ，点 ， 分别为线段 ， 的中点.(1)求证： 平面 ；(
12、2)若平面 将四棱椎 分成左右两部分，求这两部分的体积之比.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）证明 PEAB，利用平面 PAB平面 ABCD，即可证明：PE平面 ABCD；（2）若平面 EFG 将四棱锥 P-ABCD 分成左右两部分，利用分割法求体积，即可求这两部分的体积之比试题解析：(1)证明：在等腰 中， ，则由余弦定理可得 ， . ， ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 .(2)解：设平面 与棱 交于点 ，连接 ，因为 ，所以 平面 ，从而可得 .延长 至点 ，使 ，连接 ，则 为直三棱柱. 到 的距离为 ， ， ， ， ， ，又 ， .21. 已知椭圆 的焦距为 2
13、，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为 ，过椭圆 的右焦点作斜率为 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，线段 的中点为 .(1)求椭圆 的标准方程；(2)过点 垂直于 的直线与 轴交于点 ，求 的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）建立方程组 ， ， 椭圆 的方程为 ；（2）联立直线的方程和椭圆方程得 ， 为线段 的中点 ，再求得 的方程为 试题解析：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 ，设右焦点的坐标为 ，依题意知，又 ，解得 ， ， ，所以椭圆 的方程为 （2）设过椭圆 的右焦点的直线的方程为 ，将其代入 ，得 ，设 ， ，则 ， ， ，因为 为线段 的中点，故点
14、的坐标为 ，又直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，令 ，得 ，由点 的坐标为 ，则 ，解得 22. 已知函数 .(1)当 时，求曲线 在点 处的切线的斜率；(2)讨论函数 的单调性；(3)当函数 有极值时，若对 ， 恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)见解析（3）【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算 f（1）的值即可；（2）求出函数的导数，讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（3）问题转化为 , 设 h（x）=x-1-lnx，根据函数单调性求出 h（x）的最小值，从而求出a 的范围即可试题解析：(1)当 时， ， .(2) ，令 ，当 时， ， ，即 ，函数 在 上单调递增.当 时， ，令 ，则 ，在 和 上， ，函数 单调递增；在 上， 函数 单调递减.(3)由(1)可知，当 时，函数 在 上有极值.可化为 ， ， ，设 ，则 ，当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，当 ， ， ，所以 .又 ， ，即的取值范围是 .
