1、2018 届江西省赣州市高三第一学期期末考试 数学(文)试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,所以 , ,选 D.2. 已知 （为虚数单位）， 且 ，则 （ ）A. B. C. D. 2【答案】A3. “ ”是“直线 与直线 平行 ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】试题分析： 时，直线 与直线 不平行，所以直线 与直线平行的充要
2、条件是 ，即 且 ，所以“ ”是直线 与直线平行的必要不充分条件故选 B考点：充分必要条件4. 等差数列 的前 项和 ， ，则 的值为（ ）A. 40 B. 52 C. 56 D. 64【答案】D【解析】因为 ,选 D.5. 已知函数 ，则 （ ）A. 0 B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】 ,选 B.6. 设实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. 2 B. C. 5 D. 6【答案】D【解析】作可行域,则 的最大值为 ,选 D.7. 执行下面的程序框图，若 ，则输出 的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】循环依次为 结束循环,输出 ,选 C.8.
3、 已知几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】几何体如图 ,则最长的棱为 , 选 C.9. 设奇函数 在 内有 9 个零点，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 因此 ,选 A.点睛: 函数 是奇函数 ；函数 是偶函数；函数 是奇函数 ；函数 是偶函数 .10. 已知圆 交 轴正半轴于点 ，在圆 上随机取一点 ，则 成立的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,所以概率为 ,选 C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2
4、)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率11. 已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，则不等式 （为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 所以 ,选 B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ， 构造，
5、 构造 等12. 已知抛物线 的准线与 轴交于 点，焦点是 ， 是抛物线上的任意一点，当 取得最小值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,则 ,当且仅当时取等号,此时 ,所以 ,选 B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，若 ，则实数 _【答案】【解析】因为
6、 ,所以 14. 已知 ，则 的值为_【答案】【解析】 15. 中国古代数学经典九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥为鳖臑，若三棱锥 为鳖臑，且 平面 ， ，又该鳖臑的外接球的表面积为 ，则该鳖臑的体积为_【答案】【解析】因为外接球的表面积为 ，所以 ,将鳖臑补成长方体,长宽高为 3,3,h，则鳖臑的外接球直径为长方体对角线,即 16. 数列 的前 项和 ，满足 ， ，则 _【答案】【解析】因为 ，所以因此 = 点睛：构造法求数列通项：(1) 为常数）,构造等比数列 ；(2) ,构造等差数列三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.
7、 在 中，角 的对边分别为 ，且 .（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）先化切为弦，通分化简可得 ，即得角 的大小；（2）由余弦定理得，再根据基本不等式求最小值，最后根据两边之和大于第三边得 ，综合可得 的取值范围.试题解析：解：（1） （2）18. 2017 年“双节”期间，高速公路车辆很多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速分成六段： ， ， ， ， ， 后得到如图的频率分布直方图.（1）求这 40 辆小型车辆车速
8、的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在 的车辆中任抽取 2 辆，求车速在 的车辆恰有一辆的概率.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析; （1）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为 0.5 对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数（2）从图中可知，车速在 的车辆数和车速在 的车辆数从车速在 的车辆中任抽取 2 辆，设车速在 的车辆设为 车速在 的车辆设为 列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可试题解析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 77.5，设图中虚线所对应的车速为
9、 ，则中位数的估计值为：，解得 即中位数的估计值为 （2）从图中可知，车速在 的车辆数为： （辆） ，车速在 的车辆数为： （辆） ，设车速在 的车辆设为， ，车速在 的车辆设为， ， ， ，则所有基本事件有：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 15 种，其中车速在 的车辆恰有一辆的事件有： ， ， ， ， ， ， ， 共 8 种所以，车速在 的车辆恰有一辆的概率为 【点睛】本题考查率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和等知识此题把统计和概率结合在一起
10、，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视19. 如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 的中点，点 在 棱上，且 ， .（1）求证： 平面 ；（2）当 时，求三棱锥 的体积.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）连接 交 于点 ，由重心性质可得 ，由相似可得 ，最后根据线面平行判定定理得结论（2）取 上一点 使 ，利用平行进行等体积代换，最后根据锥体体积公式求体积试题解析：解：（1）(法一)连接 交 于点 ，连接由 分别是棱 中点，故点 为 的重心 在 中，有 ，又 平面 平面 （法二）取 的中点 ，连接由 是棱 的中点， 为 的中点， 为 的中位线，即 平面 又 为棱 的中点， 为 的
11、中点由 ，由 ，且 为直三棱柱，进而得 ，即 平面 又 平面 平面 又 平面 平面 (2)取 上一点 使 且直三棱柱 ， 为中点 , , 平面 而 ,点 到平面 的距离等于三棱锥 的体积为 20. 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上.（1）求椭圆 的方程；（2）设 ，过点 作直线交椭圆 于不同于 的 两点，直线 的斜率分别为 ，试问：是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】(1) (2)4【解析】试题分析：（1）根据点在椭圆上得 ，与离心率联立方程组解得 ， （2）设直线的方程为 ， ，则 ，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理，代入即可；最后验证直线斜率不存在的情
12、形试题解析：解：（1）由已知得 ， ，解得 ， 则椭圆 的方程为 （2）当直线的斜率不存在时，得 ，得当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，令由 得则 .， 而 将代入得 综上， （定值）点睛：求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21. 已知函数 ，为实常数 .（1）讨论函数 的极值；（2）当 是函数 的极值点时，令 ，设 ，比较 与 的大小，并说明理由.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）先求导数，根据导函数在定义域内是否有零点分类讨论，根据导函数是否变号确定极值（2）先求
13、出 a，代入化简差 ，为 ，再构造函数，利用导数研究其单调性，确定最值，判断大小试题解析：解：（1） ， 当 时，当 时 ， 在 内单调递减. 当 时 ， 在 内单调递增. 则当 时 有极小值为 ，无极大值； 当 时，当 时， 恒成立，在 内单调递减. 则 为极值 综上：当 时 有极小值为 ，无极大值；当 时 无极值 （2） ， ， ， 则 = ， 又 ，构造函数 则当 时， 恒成立， 在 内单调递增当 时， 即 ，则有 成立即 即请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 （为参数）， 曲线 （为参数）.（1）求直
14、线与曲线 的普通方程；（2）已知点 ，若直线与曲线 相交于 两点（点 在点 的上方） ，求 的值.【答案】(1) ， (2) 【解析】试题分析：（1）根据加减消元法得直线的普通方程；根据三角函数平方关系得曲线 的普通方程（2）由椭圆的定义知： ，根据直线参数方程几何意义得 ，将直线参数方程代入曲线 的普通方程，根据韦达定理可得结果试题解析：解：（1）由直线已知直线 （为参数） ，消去参数得： 曲线 （ 为参数）消去参数 得： . （2）设将直线 的参数方程代入 得： 由韦达定理可得： 结合图像可知 ，由椭圆的定义知： .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若函数 的图像与直线 所围成封闭图形的面积为 8，求实数的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再求直线交点，最后根据梯形面积公式表示面积，根据面积为 8 求实数的值.试题解析：解：（1）由 得 等价于即 或 或 即 或故不等式 的解集为 ；（用绝对值几何意义解同样给分）（2）由 得：由题意可得：设直线 与 交于 两点不妨设： 所以封闭图形面积为：即： 或 （舍去）故 .
