1、2018 届江西省赣州市高三第一学期期末考试理科数学试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，则 ，故选 A。2. 复数 （ 为虚数单位）的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，所以虚部是 ，故选 D。3. 已知函数 ，则 （ ）A. 0 B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】 ,选 B.4. 若函数 的部分图像如图所示，则 和 的取值可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意， ，
2、得 ，则 ，又 ，得 ，故选 C。5. 设实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. 2 B. C. 5 D. 6【答案】D【解析】作可行域,则 的最大值为 ,选 D.6. 元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，所以输出 ，得 ，故选 C。7. 在 中，内角 的对边分别为 ，满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）A. 2 B. C. 3 D.
3、 【答案】A【解析】 ，得 ，由余弦定理 ，即 ，所以 的最小值为 2。故选 A。8. 的展开式中 的系数为（ ）A. -160 B. 320 C. 480 D. 640【答案】B【解析】 ，展开通项 ，所以 时， ； 时， ，所以 的系数为 ，故选 B。点睛：本题考查二项式定理。本题中，首先将式子展开得 ，再利用二项式的展开通项分别求得对应的系数，则得到问题所要求的 的系数。9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，如图所示画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A. B. 3 C. D. 【答案】B【解析】如图，可知最长的棱长为 3，故选 B。10. 双曲线
4、的左右顶点分别为 ，右支上存在点 满足 （其中 分别为直线 的倾斜角），则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，则 ，则 ，又 ，所以 ，则 ，即 ，所以 ，故选 D。11. 已知圆 交 轴正半轴于点 ，在圆 内随机取一点 ，则 成立的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，所以 ，故选 A。点睛：本题考查面积型的几何概型。由题可知，点 的轨迹是以 为圆心，半径为 1 的圆内，所以重合部分就是所求的面积，通过几何方法解得， ，解得概率。12. 命题 ：关于 的不等式 （ 为自然对数的底数 ）的一切 恒成立；命题 ：；那么命题 是命题 的（ ）A. 充要条
5、件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题 ： ，令 ，则 ，则存在 ，满足 ，且 在 单调递减， 单调递增， 则，记 ，则 ，所以 ，所以命题 是命题 的必要不充分条件，故选 C。点睛：本题考查命题之间的充分必要关系。本题的题干为导数的应用。在本题中，首先分参，得到函数，通过求导我们可知无法求出具体的极值点，所以才去记根法，令 ，通过导数计算，得到答案。二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，若 ，则实数 _【答案】【解析】由题意， ，则 。14. 已知 ，其中 为锐角，则 的值为 _【答案】
6、【解析】15. 若三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】由题意， ，得 ，所以 。16. 已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两个不同的点，过 分别作抛物线的切线且相交于点 ，则 的面积的最小值为_【答案】【解析】由题意，设直线 ，联立 ，得 ， ，所以 ，当 时， 。点睛：本题考查抛物线的双切线问题。双切线问题首先通过联立切线看出解得切线交点，三角形面积利用面积公式，求得底边 和高 ，解得面积最小值。学+科+网.学+科+ 网.学+科+网.学+科+ 网.学+科+网.学+科+网.学+科+网.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70
7、 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和 ，满足 ， .（1）求证：数列 为等比数列；（2）记 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由公式 ，解得 ，即 ，则数列 是等比数列；（2） ，得 试题解析：解：（1）由 当 时， ，得 当 时， 得： 即 且 故数列 是首项为 ，公比为 等比数列 （2）由（1）知： 故 点睛：本题考查数列的综合应用。首先考查公式 的应用，通过定义证明数列 为等比数列， ，由裂项相消法求和。18. 如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 的中点，点 在 棱上，且 ， .（1）求证： 平面 ；（2）
8、当 时，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由线面平行的判定定理证明；（2）利用空间直角坐标系解题。试题解析：解：（1）(法一)连接 交 于点 ，连接由 分别是棱 中点，故点 为 的重心 在 中，有 ，又 平面 平面 （法二）取 的中点 ，连接由 是棱 的中点， 为 的中点， 为 的中位线，即 平面 又 为棱 的中点， 为 的中点由 ，由 ，且 为直三棱柱，进而得 ，即 平面 又 平面 平面 又 平面 平面 （2）由 为直三棱柱平面 ，取 的中点 ，连接是棱 的中点， ，即 平面为等边三角形为 的中点 且 故以 为坐标原点，以射线 分别为 轴， 轴， 轴的正
9、半轴建立如图所示的空间直角坐标系则， ， 设平面 的法向量为则： ，不妨取 ，则 设平面 的法向量为则： ，不妨取 ，则 记二面角 为故二面角 的余弦值为 19. 计划在某水库建一座至多安装 4 台发电机的水电站，过去 0 年的水文资料显示，水库年入流量 （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不足 120 的年份有 30 年，不低于 120 且不足 160 的年份有 8 年，不低于 160 的年份有 2 年，将年入流量在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求在未来 3 年
10、中，至多 1 年的年入流量不低于 120 的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 的限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 500 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损 1500万元，水电站计划在该水库安装 2 台或 3 台发电机，你认为应安装 2 台还是 3 台发电机？请说明理由.【答案】 （1） （2）应安装 2 台发电机【解析】试题分析：（1） ，由二项分布可知 ；（2）分别计算安装 2 台发电机的期望和安装 3 台发电机的期望，比较得应安装 2 台发电机试题解析：解：（1）依题意： ， ， . 所以年入流量不低于
11、 120 的概率为 由二项分布，在未来 3 年中，至多 1 年的年入流量不低于 120 的概率为：（2）记水电站的总利润为 （单位：万元）若安装 2 台发电机的情形：3500 10000若安装 3 台发电机的情形：2000 8500 15000因为 ，故应安装 2 台发电机20. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，其离心率 ，过点 的直线 与椭圆交于 两点（异于 ） ，当直线 的斜率不存在时， .（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与 交于点 ，试问：点 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.【答案】 （1） （2）点 恒在定直线 上【解析】试题分析：（1）椭圆 的方程
12、为： ；（2）设直线 的方程为 ，联立方程得， ，得 ，故点 恒在定直线 上试题解析：解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为 ，由题意得： 所以椭圆 的方程为： (2)设直线 的方程为 ， ，联立 由 是上方程的两根可知： 直线 的方程为：直线 的方程为：得： 把 代入得：即 ，故点 恒在定直线 上21. 已知函数 在点 处的切线与直线 平行，且函数 有两个零点.（1）求实数 的值和实数 的取值范围；（2）记函数 的两个零点为 ，求证： （其中 为自然对数的底数）.【答案】 （1） ， 且 （2）见解析【解析】试题分析：（1）由切线求出 ，再由求导得到 在 单调递减，在 单调递增，则 且 ；（2）
13、设 ，欲证 ，即证，只须证 ，记函数 ，通过求导分析得 试题解析：解：（1）由 ， 得：由 进而得 ，故当 时， ；当 时， ；所以函数 在 单调递减，在 单调递增，要使函数 在 有两个零点，则且（用分离参数，转化为数形结合，可对应给分）（2）由（1） ，我们不妨设 欲证 ，即证又函数 在 单调递增，即证 由题设 ，从而只须证 记函数 ，则 ，记 ，得 因为 ，所以 恒成立，即 在 上单调递增，又 所以 在 上恒成立，即 在 单调递减 所以当 时， ，即 从而得 上恒成立，即 在 单调调递 所以当 时， ，即 从而得 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.2
14、2. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 （ 为参数），曲线 （ 为参数）.（1）求直线 与曲线 的普通方程；（2）已知点 ，若直线 与曲线 相交于 两点（点 在点 的上方） ，求 的值.【答案】 （1） ， （2）【解析】试题分析：（1）根据加减消元法得直线 的普通方程；根据三角函数平方关系得曲线 的普通方程（2）由椭圆的定义知： ，根据直线参数方程几何意义得 ，将直线参数方程代入曲线 的普通方程，根据韦达定理可得结果试题解析：解：（1）由直线已知直线 （ 为参数） ，消去参数 得： 曲线 （ 为参数）消去参数 得： . （2）设将直线 的参数方程代入 得： 由韦达定理可得： 结合图像可
15、知 ，由椭圆的定义知： .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若函数 的图像与直线 所围成封闭图形的面积为 8，求实数 的值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再求直线交点，最后根据梯形面积公式表示面积，根据面积为 8 求实数 的值.试题解析：解：（1）由 得 等价于即 或 或 即 或故不等式 的解集为 ；（用绝对值几何意义解同样给分）（2）由 得：由题意可得：设直线 与 交于 两点不妨设： 所以封闭图形面积为：即： 或 （舍去）故 .
