1、2018 届河南省商丘市高三第一学期期末理科数学试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 1|2-x|A， 1)23ln(|xB，则 BA（ ）A )3,( B ), C , D 3,2(2.已知非零向量 nm,的夹角为 3，且 )2(nm，则 |（ ）A 1 B2 C 1 D 33.九章算术上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠
2、第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚 16 尺，现用程序框图描述该问题，则输出 n（ ）A 2 B 4 C 6 D 84.以 ),0(pF为焦点的抛物线 的准线与双曲线 22yx相交于 NM,两点，若 F为正三角形，则抛物线 的标准方程为（ ）A xy62 B xy642 C. 642 D yx625.定义在 R上的偶函数 )(xf满足 )1()(ff，当 10x时， )(f，则|log|)(5xfy的零点个数为（ ）A 4 B8 C. 5 D106.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A )21(38 B )1(38 C. )32(
3、4 D )2(347.下列命题中的假命题是（ ）A R， ，使 sinsin B ，函数 )2()xf都不是偶函数 C. x0，使 0030cba（ Rcba,且未常数） D a，函数 ln2有零点8.如图，在由 0x， y， x，及 xycos围成区域内任取一点，则该点落在 0x，ysin及 cos围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）A 21 B 21 C. 23 D 129.正项等比数列 na中， 201420152016a，若 216anm，则 nm4的最小值等于（ ）A1 B 23 C. 5 D 61310.函数 )2|(sin)(xxf的部分图像如图所示，且 0)(bfa，对不同的
4、,21ba，若 1f，有 321x，则（ ）A )(xf在 )12,5上是减函数 B 在 63上是减函数 C. )(xf在 )12,5上是增函数 D 在 63上是增函数11.设双曲线2:1(0,)xyCab的左、右焦点分别为 21,F， c2|1，过 2F作 x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A，已知 23acQ， |22AQ，点 P是双曲线 C右支上的动点，且|23|11FPQF恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ),0( B )67,( C. )210,67( D )210,(12.设曲线 xexf（ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 1l，总存在曲线agcos23)(
5、上某点处的切线 2l，使得 21l，则实数 a的取值范围是（ ）A ,1 B ),3( C. 3, D 32,第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若点 ),(yxP是不等式组 yx30，表示的平面区域 内的一动点，且不等式02a恒成立，则实数 a的取值范围是 14.已知 nxi)(2的展开式中第五项与第七项的系数之和为 0，其中 i为虚数单位，则展开式中常数项为 15.在三棱锥 BCDA中，侧棱 ADCB,两两垂直， ADBCAB，,的面积分别为263，则三棱锥 的外接球的体积为 16.设点 P是函数 2)1(4xy的图像上的任意一点，点 )
6、3,2(aQ(R，则 |PQ的最小值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na的前 项和 nS， 123an )(*N，且 1a， 2， 73a成等差数列.（1）求数列 的通项公式；（2）令 nnab9log)(*N，求数列 1nb的前 项和 nT.18. 已知 ABC的外接圆半径为 R，三个内角 ,ABC的对边分别为 ,abc，且baRsi)3()sin(i22.（1）求角 ；（2）若 4a， c，求 ABC的面积.19. 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的
7、方法抽取 50 名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，统计情况如下表：（单位：人）几何题 代数题 总计男 同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50（1）能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择几何题的 8 名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为 X，求 的分布列及数学期望.附表及公式： 20()PKk0.15 010 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00102.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822()(n
8、adbck20. 如图，在四棱锥 ABCDP中，底面 AB为直角梯形， 09BADC， PC和BDC均为等边三角形，且平面 平面 C，点 E为 P的中点.（1）求证： /AE平面 PDC；（2）求平面 B与平面 所成的锐二面角的余弦值.21. 已知圆 4:2yxO，点 )3,0(F，以线段 FP为直径的圆内切于圆 O，记点 P的轨迹为 C.（1）求曲线 的方程；（2）若 ),(),(21BA为曲线 C上的两点，记 )2,(1yxm， )2,(yxn，且 nm，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.22.函数 xmxf 2ln)(2，其中 .（1）求函数 的单调区间；（
9、2）已知当 2e（其中 718.是自然对数）时，在 21,(ex上至少存在一点 0x，使)(0xf成立，求 m的取值范围；（3）求证：当 1m时，对任意 )1,0(,21x， 2x，有 31)(2xff.商丘市 20172018 学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）（1）B （2）A （3）D （4）C （5）C （6）A（7）B （8）D （9）B （10）C （11） B （12）D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）（13） 3,) （14） （15） 6 （16） 2三、解答题（共 70 分）（17）解：（）由 132nSa得
10、13nSa，由 1123nSa，做差得 2n， 又 123,7a成等差数列，所以 21347a，即 19a，解得 13，所以数列是以 3 为首项公比为 3 的等比数列，即 n. （）由 92loglnnnb， 得 1n，于是 1231nT . （18）解：（） 22(sini)(3)siRACabB，两边同乘以 得 )s2inR，由正弦定理得 2(3acb，即 2c，由余弦定理得22oscC， 6C. （）由 22oscab得 281+43b，即 24380b，解得 3b，当 2时， sin2ABCSa， 当 时， 13b. （19）解：（）由表中数据得 2K的观测值2250(18)5.6.0
11、2430，所以根据统计有 097.5的把握认为视觉和空间能力与性别有关. （）由题可知 X可能取值为 0，1，2， 1()28P， 3()87P， 1(2)8PX， 故 X的分布列为： 1521()088E. （20）解：（）过点 E作 F BC交 P于点 F，连接 D；取 BC的中点 G，连接 D， G是等边 底边 BC的中线， 90， A，四边形 A是矩形， 12， BC， EF是 BCP底边 的中位线， 12EF， BC， AD， ， 四边形 是平行四边形， A D， F平面 P， E平面 PC. （）以点 A为坐标原点， B为 x轴正方向， 为单位长度建立空间直角坐标系 Axyz，如图
12、所示，各个点的坐标分别为 (0,)A， (3,0)B， (3,20)C， 3(,)2P， (3,)AB， (,)2P， (,)， 设平面 和平面 CB的法向量分别为 1,mxyz， 2(,)nxyz则 0mP，得11302xyz，不妨令 1，解得 3(0,1)2m，X0 1 25288同理得 (2,01)n.设平面 ABP和平面 C所成的锐二面角为 ，则 5cos3mn. （21）解：（）取 (0,)F，连结 PF，设动圆的圆心为 M，两圆相内切， 12OMP，又 12O， 43， 点 的轨迹是以 ,F为焦点的椭圆，其中 4,23ac， 2,3ac， 221bac， C的轨迹方程为21yx.
13、（）当 ABx轴时，有 12x， 12，由 mn，得 12yx，又214yx， 12x， 1y， 121AOBS. 当 与 x轴不垂直时，设直线 AB的方程为 ykxm，由 214ykm得 22(4)40xkm，7 分则 12kx，214k， 由 0mn，得 120yx， 1212()40xmkx，整理得 2 21(4)()kkm， ， 12AOBSx211()4xx241km，综上所述， 的面积为定值 . （22）解：（）易知 ()fx的定义域为 1,2x 2()()11mmfxxx 由 0 得： 或 x 2， 0 1,x（ ） 时 ()fx， ()f为增函数；0m（ ）时 ， x为减函数；
14、,2x（ ）时 ()0f， ()f为增函数，函数的递增区间为 1,2x（ ） 和 1,2xm（ ） ，递减区间为 0,m（ ） （）在 ex（ 上至少存在一点 0x，使 0()1fe成立，等价于当1,2（时， max()1f em， 2e由（）知，(,0x时， ()fx为增函数， 10,)2ex时， ()fx为减函数在 1(,e时， ma 22em即 检验，上式满足 ，所以 1e是所求范围 :Z.X.X.K（）当 1时，函数 2()ln2fxx构造辅助函数()3gxfx， 并求导得24651(6)1()13()32xx显然当 0,x时， ()0gx， 为减函数 对任意 12，都有 12g成立，即 121()()3ffx即 21()()3ff又 0x， 12x
