1、赣州市 2017-2018 学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 1lg|xA， 42|xB，则 BA（ ）A 210|x B 0| C 102|x D 10|x2.复数 3)(i（ 为虚数单位）的虚部是（ ）A i2 B 2 C i25 D 253.已知函数 0),4(log)xfxf ，则 )18(f（ ）A 0 B 1 C 3l2 D 24.若函数 )sin()xf的部分图像如图所示，则 和 的取值可以为（ ）A 3,1 B 3,1
2、C. 6,21 D 6,215.设实数 yx,满足约束条件 0832yx，则 xyz的最大值为（ ）A2 B 7 C. 5 D66.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 0x，则一开始输入的 x的值为（ ）A 43 B 87 C. 165 D 3217.在 C中，内角 A,的对边分别为 cba,，满足 BcCbAaosos，且 4cb，则a的最小值为（ ）A 2 B 2 C. 3 D 328. 6)1(x的展开式中 4x的系数为（ ）A -160 B32
3、0 C. 480 D6409.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，如图所示画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A 32 B3 C. 6 D 510.双曲线 12yx的左右顶点分别为 21,A，右支上存在点 P满足 5（其中 ,分别为直线P21,的倾斜角） ，则 （ ）A 36 B 24 C. 18 D 1211.已知圆 :yxO交 轴正半轴于点 A，在圆 O内随机取一点 B，则 1|OA成立的概率为（ ）A 634 B 1234 C. 1 D 6112.命题 p：关于 x的不等式 0lnmxe（ e为自然对数的底数）的一切 ),0(x恒成立；命题 q：613,
4、(m；那么命题 p是命题 q的（ ）A充要条件 B充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D既不充分也不必要条件第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ),12(ka， )14,(kb，若 ba，则实数 k 14.已知 36cos，其中 为锐角，则 )163sin(的值为 15.若三棱锥 ABCS的底面是以 AB为斜边的等腰直角三角形， 32AB， 7SCB，则该三棱锥的外接球的表面积为 16.已知过抛物线 yx42的焦点 F的直线交抛物线于 ,两个不同的点，过 ,分别作抛物线的切线且相交于点 ，则 AB的面积的最小值为 三、解答题 （本
5、大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na的前 项和 nS，满足 52nan， )(N.（1）求证：数列 2为等比数列；（2）记 nnab1，求数列 nb的前 项和 nT.18. 如图，在直三棱柱 1CBA中， ED,分别是棱 ABC,的中点，点 F在 1C棱上，且ACB， 31， 2F.（1）求证： /1EC平面 ADF；（2）当 2AB时，求二面角 11BECA的余弦值.19. 计划在某水库建一座至多安装 4 台发电机的水电站，过去 0 年的水文资料显示，水库年入流量 X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在
6、40 以上，其中，不足 80 的年份有 10年，不低于 80 且不足 120 的年份有 30 年，不低于 120 且不足 160 的年份有 8 年，不低于 160 的年份有 2年，将年入流量在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求在未来 3 年中，至多 1 年的年入流量不低于 120 的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X的限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 500 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损 1500万元，水电站计划在该水库安装 2 台或 3 台发电机，你认为应安装 2
7、 台还是 3 台发电机？请说明理由.20. 已知椭圆2:1(0)xyCab的左、右顶点分别为 21,A，其离心率 5e，过点 )0,2(B的直线 l与椭圆 交于 QP,两点（异于 21,A） ，当直线 l的斜率不存在时， 34|PQ.（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 A1与 2交于点 S，试问：点 是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.21. 已知函数 baxxfln)( ),1(e在点 )1(,f处的切线与直线 xy平行，且函数)(xf有两个零点.（1）求实数 a的值和实数 的取值范围；（2）记函数 )(xf的两个零点为 21,x，求证： ex21（其中 为自然对
8、数的底数）.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 tyxl21:（ 为参数） ，曲线 sin3co2:1yxC（ 为参数）.（1）求直线 l与曲线 1C的普通方程；（2）已知点 )0,1(),F，若直线 l与曲线 1C相交于 BA,两点（点 在点 B的上方） ，求|11BAF的值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 |2|)(axxf)0(.（1）当 a时，求不等式 6f的解集；（2）若函数 )(xf的图像与直线 5y所围成封闭图形的面积为 8，求实数 a的值.20172018 赣州市期末考试试题（理）参考答
9、案一选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D B C D C A B B D A C12解析：由题设可记 elnxf，则1exf，显然 fx在 0,上单调递增，又21320,e0ff，故存在012,3，使得0exf，当 0,x， fx，当 0,x， 0fx，所以00min 1elnffmx，因为012,3x，所以01236x，记0，知36n，故 elnxm，故得 ,，又1,，故选 C二填空题13 6； 14426； 1549； 16 4；16解析：点 C在抛物线的准线上，设直线 :1lykx， 12,AyBx，则 2,1Ck联立214ykx240kx进而得：
10、 11,易得以 A为切点的方程为：214xy， B处的切线方程为：214xy解得：1212,CCxk224ABSd当 0k时 minC.三解答题17解：（1）由 52aSn当 n时， 13，得 1当 2时， 7n 得： 12a即 nn且 -=故数列 是首项为 ，公比为 等比数列（2）由（1）知： 1122nnnaa故 111n nnnnb 1.022 2T013nnn18解：（1）(法一)连接 CE交 AD于点 P，连接 F由 ,DE分别是棱 ,BCA中点，故点 P为 ABC的重心在 1中，有 123F 1/PF，又 1平面 D CE平面 A （法二）取 B的中点 G，连接 1E,C由 E是棱
11、 AB的中点， G为 D的中点， 为 C的中位线，即 /E平面 AF又 D为棱 的中点， 为 B的中点由 23，由 1,2F，且 1CB为直三棱柱123CF，进而得 1CDFG /D，即 1/平面 A 又 1E= 平面 1/E平面 DF 又 C平面 1GC平面 （2）由 BA为直三棱柱1平面 ，取 1的中点 M，连接 ,CEE是棱 的中点， 1/EA，即 平面 AB2ABCB为等边三角形为 的中点 且 3 故以 E为坐标原点，以射线 ,EAMC分别为 x轴， y轴， z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系则 1110,(,30)(,)(0,3)EABC1,， ， ,E设平面 C的法向量为 1
12、,zyxm则：1130EAxyz，不妨取 1，则 3,1m设平面 B1的法向量为 2,zyxn则：2130nxECyz，不妨取 21，则 3,n记二面角 11BECA为 935cosmn故二面角 11BECA的余弦值为 319解：（1）依题意：518041XP，5312082XP，256023XP，64. 所以年入流量不低于 120 的概率为51120435 PXP由二项分布，在未来 3 年中，至多 1 年的年入流量不低于 120 的概率为：125435122513503 CP（2）记水电站的总利润为 Y（单位：万元）若安装 2 台发电机的情形：3500 10000P5154870541035
13、EY若安装 3 台发电机的情形： Y2000 8500 15000P515351801538012EY因为 7，故应安装 2 台发电机 20解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为 c，由题意得：5231920435cbaac所以椭圆 C的方程为：1492yx(2)设直线 l的方程为 m， ,xP， 2,yQ联立 01614922yyx由 21,y是上方程的两根可知：12490my121245m直线 PA的方程为： 31xy直线 Q2的方程为： 2得： 1133xyxy 22155m把 114代入得：12122 593yyyxy 即 9，故点 S恒在定直线 x上 （由对称性可知，若存在定直线，则该直
14、线应垂直 x轴，故也可由特殊位置当直线斜率不存在时，探究得出该直线方程，给 2 分）21解：（1）由 lnfxaxb，1,e得： ()ln1fxa由 12fa进而得 lxx， ()ln1fx故当1,ex时， ()0fx；当 e,时， ()0fx；所以函数 )(f在,单调递减，在 ,单调递增，要使函数 fx在1,e有两个零点，则e2011lnefb,b且 （用分离参数，转化为数形结合，可对应给分）（2）由（1） ，我们不妨设 12,e,x欲证 2ex，即证 2又函数 )(f在 ,单调递增，即证 21efxfx 由题设 12xf，从而只须证 1 记函数 eFffx，,eln2ln2xxxel4则
15、F，记 gx，得 12exgx因为1,e，所以 0恒成立，即 Fx在1,e上单调递增，又 e0F 所以 0Fx在,e上恒成立，即 ()在,单调递减 所以当1,e时， ()e0Fx，即 112efxfx 从而得 12x 上恒成立，即 ()Fx在 0,e单调调递 所以当 ,时， 0，即 112efxfx从而得 12 22解：（1）由直线已知直线,2:,xtly（ 为参数） ，消去参数 t得： 10xy曲线 12cos,:3inC（ 为参数）消去参数 得： 142yx.（2）设 21,1tBtA将直线 l的参数方程代入 342yx得： 01867tt 由韦达定理可得： ,62121tt结合图像可知 0,t，由椭圆的定义知： 1FABFA 21267FBtt. 23解：（1）由 a得 xf等价于 62x即 26x或 24或 6即 3或故不等式 xf的解集为 3x或 ；（用绝对值几何意义解同样给分）（2）由 0a得： 2,2,2xaxxf由题意可得： 35a设直线 y与 f交于 BA,两点不妨设：5,23,7aBA所以封闭图形面积为：8251axSAB即： 2450aa或 （舍去）故 1.
