1、2018 届江西省南城县第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1集合 ，则 中子集的个数为（ 2*|70AxxN， *6|ByNA，）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个4815【答案】D【解析】 ， ，即子集的个数为2*|70AxxN， *6|ByNA，选 D.42162设 ， ，则“ 或 ”是“ ”的（ ）xyR1xy1xyA. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“ ” 是“ ”的必要而不充分条件，所以“ 或1xy1xy且 1x”是“ ”的必要而不充分条件，选 B.1y3若 是等差数列 的前 项和，且
2、，则 的值为( )nSna830S1SA. 12 B. 18 C. 22 D. 44【答案】C【解析】试题分析： ，由等差数列的性质可得，8345678Saa， ，由等差数列的求和公式可得， 6510a62，故选 C.116sa【考点】1、等差数列性质； 2、等差数列求和公式.4若 为 的内角，且 ，则 等于（ ）ABC3sin5Acos4AA. B. C. D. 25【答案】A【解析】 3sin25A3sinco0,52AA所以 21coi1i,选 A.22105scosin45AA5我国古代数学著作九章算术 有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几
3、何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（ ）A. 6 斤 B. 9 斤 C. 9.5 斤 D. 12 斤【答案】A【解析】由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重 2 斤，第五段重 4 斤，由等差中项性质可知，第三段重 3 斤，第二段加第四段重斤.36如图所示，点 从点 处出发，按逆时针方向沿边长为 的正三角形 运动一PAaABC周， 为 的中心，设点 走过的路程为 ， 的面积为
4、 （当OBCxOAP()fx三点共线时，记面积为 0） ，则函数 的图象大致为（ ）,A()f【答案】A【解析】试题分析：由于 为等边三角形的中心，故 到 边的距离为高的 ，即OOAB13，故当 在 上运动时，面积为 为一次3126aPAB1262axfx函数，排除 选项.当 在 上运动时，以 为底，高为 ，故面积为BOCOA32ax，也是一个一次函数，故选 A.32afxAx【考点】函数图象与性质7已知函数 是 上的偶函数，当 ， 时，都有yfR1x20x，设 ， ， ，则（ 12120xxlnalnblnc）A. B. C. fafbfcfbffcffafbD. ca【答案】C【解析】由
5、， 时，都有 ，得1x20x， 12120xfxf在 上单调递减， yf0， 2lnllnlnlfbfffafc选 C.8已知函数 与 ，则它们所有交点的横坐标之和为（ 2l1|fxxgx）A. B. C. D. 0248【答案】C【解析】作函数 图像，由图可知所有交点的横坐标之和为2ln1|,yxyx，选 C.点睛：(1)图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间 a， b上是否有 f(a)f(b)0，还需考虑函数的单调性9在 中，内角 ， ， 的对边分别
6、为 ， ， ，若ABCBCc，则这个三角形必含有（ ）tanABcbA. 的内角 B. 的内角 C. 的内角 D. 的内角90604530【答案】B【解析】由 得tancAB2n2siosin1cost 23bABAC选 B.10已知函数 在 上单调，且函数 的图象关于 对称，fx1， yfx1x若数列 是公差不为 的等差数列，且 ，则 的前 项的和na05051fana0为（ ）A. B. C. D. 5021【答案】D【解析】因为函数 的图象关于 对称，所以函数 的图象关于yfxxfx对称，因为 ，所以 ，因此 的前 项的和1x5051a5012ana10为 ，选 D.05012a点睛：1
7、在解决等差数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 mnpq，则 am+ana p+aq”，可以减少运算量，提高解题速度2等差数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等差中项的变形，三是前 n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口11已知点 是圆 上的动点，点 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且 ，则 的最小值为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】由题设 是圆的直径，则 ，故时， ，应选答案 B。点睛：解答本题的突破口是先由题设 是圆的直径，进而得到，从而借助向量的几何运算将 ，然后运用向量
8、的数量积公式得到目标函数，最后求出其最小值。12函数 （ ） ，若 的解集为 ，且4lnfxkx10fxst，中只有一个整数，则实数 的取值范围为（ ）st， kA. B. 12lnl3， 42lnl3，C. D. 41ll， 1ll，【答案】A【解析】由 得 ,因为 ,作函0fx4lnxk2ln10lxxye数 图像如图4,lnyk由图得， 2401410,2,30 23lnln3klnfff k选 A.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从
9、而构建不等式求解.二、填空题13已知向量 ， ， ，且 ，sin1a， sin0b， cos1， 2abcA则 等于_tn【答案】 23【解析】由题意得 2sin:2cos:13sin2cos,tan314数列 满足 （ ， ） ， 是 的前 项和，若na11na*NS，则 _516S【答案】 4【解析】设 ，由 得： ， ak11nna 3541ak， ， 2432 32123ak，故65k，故答案为 4.126314Sakk15在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足ABCBCabc，若 ，则 的最小值为_ 2cosinA6bc【答案】 1623【解析】由 得2cosin1B2s
10、icosinta1,4BB由 ，得 ，所以CA3C222 9cos922baacacac因此 ，即 的最小值为16164893c16bc16316已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围12xaf2， a_【答案】 ，【解析】令 ， 2,8xtt2afxt当 时 单调递增，满足题意；0aft当 时 在 单调递增，所以 ；2afxt,201aa当 时 在 非负，所以 ；0at,82综上实数 的取值范围为 1，点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，,ab除注意各段的单调性外，还要注意衔
11、接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.三、解答题17在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，已知ABCBCabca， ， ，求：21cos3b（1） 和 的值；a（2） 的值.【答案】 （1） ， .（2）3c7【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得 ，即得 .再根据余cos2aB6ac弦定理得 .解方程组得 和 的值；（2）由正弦定理得 ，再由平方2a sinC关系以及两角差余弦公式得 的值.cosBC试题解析：（1）由 ，得 ，又 ，所以 .Acsa1cos3B6ac由余弦定理，得 ，又 ，所以 .22oa
12、cbb29213解 得 ， 或 ， .因 ，所以 ， .26 13c3acacc（2）在 中， .ABC221sin1cos3B由正弦定理，得 .4ii39b因 ，所以 为锐角，因此 .abcC2247cos1in9C于是 .73ososin392BB18已知 （ ）的最小值为 .2cicsifxmxx0m（1）求函数 的单调递增区间；（2）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且ABCBCabc，求 的取值范围.coscosbaf【答案】 （1） （2）63k， 1，【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得最小值，解出
13、 m，最后根据正弦函数性质求单调区间（2）先根据正弦定理将条件化为角的关系式，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得 ，可得 C 角范围，再根据正弦函数性质求取值范围3A试题解析：解：（） 2 2cosincosinsincosinfxmxxmxx，其中 ，1i21i4ta由其最小值为 ，可得： ，解得： ，221 ，可得： ， ， ，0m33tan6 ，令 ， ，解得： 2sin6fxx22kxkkZ， .63kkZ函数 的单调递增区间为： ， fx63k， kZ（） ，即 ，cos2cosbAaBsco2sbAaBA由正弦定理可得 ，可得： ini2inC，siniC 为三角形内角，
14、 ，0C ，可得 ，1co23 ，可得 ，0， 76， ，1sin262C， .if，19等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， na13nnSnb，公比为 （ ） ，且 ， .1bq2aq2（1）求 与 ；n（2）求数列 的前 项和 .nSnT【答案】 （1） ， （2）3na1nb31nT【解析】试题分析：（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解得 ， 3d，再代入等差与等比数列通项公式即得结果（2）先根据等差数列求和公式得 ，3q nS由于 ，1nS再利用裂项相消法求数列 的前 项和 .nSnT试题解析：解：（1）等差数列 的公差为 ，ad， ， ， .2aq2b
15、6q21bq整理得： ，解得： 或 （舍去） ，1034 ， ，3dnn1nb（2）数列 前 项和为 ， ，nanS2，12133nS数列 的前 项和nnT数2111212323433nTn 列 的前 项和nS1nT点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的1ncana等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .3220 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， （ 且 ）.（1）求 的值；（2）若数列 满足 ，求数列
16、的前 项和【答案】(1)5;(2) 【解析】试题分析：（1）结合已知两个条件，采用方程思想，求解 与公差 d，从而利用等差数列的通项公式求解 m；（2）借助第一问结论，化简 求得 ，明确所求数列的通项公式 ，采用错位相减法求和.（）由已知得 ， 且 ，设数列 的公差为 ，则有 ，由 ，得 ，即 ， （）由（）知 ， ，得 设数列 的前 项和为 ，得点睛：本题主要考查等差数列的通项公式及前 项和公式、错位相减法求数列的和，以数列为载体，通过利用错位相减法求和，考查逻辑思维能力、运算能力形如 的数列，其中是等差数列， 是等比数列，则可在求和等式两边同乘 的公比，然后两等式错位相减，即如果一个数列是
17、由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列，求此数列的前 项和可利用21设 ，函数 .kRlnfxk（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；2y12P，（2）若 无零点，求实数 的取值范围；fxk（3）若 有两个相异零点 ， ，求证： 1x221xe【答案】 （1） （2） （3）见解析0xye，【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得切线斜率为 ，再根据点斜式求切1f线方程（2）由于无零点，且函数恒有负值，所以函数最大值必小于零，根据导数可得函数最值，即得实数 的取值范围；也可先变量分离，根据两函数交点情况求实数k的取值范围（3）利用分析法证不等式，要证 ，只要证 ，根k 21xe12
18、lnx据零点条件可得 ，令 ，构造函数12212lnlnx2t， ，利用导数可得 单调性，即得 ，ltgt0tgt10gt逆推可得结论试题解析：（1）函数的定义域为 ， ， 1kxfx当 时， ，则切线方程为 ，2k12f 2y即 .0xy（2）若 时，则 ， 是区间 上的增函数，k0fxfx0， ， ，1f1kakee ，函数 在区间 有唯一零点；10kfefx0，若 ， 有唯一零点 ；lnfx1若 ，令 ，得 ，kxk在区间 上， ，函数 是增函数；10， 0ff在区间 上， ，函数 是减函数；k， fxfx故在区间 上， 的极大值为 ，0， f1lnl1fkk由于 无零点，须使 ，解得
19、，fx1ln0fke故所求实数 的取值范围是 .ke，（3）要证 ，两边同时取自然对数得 .21x 21lnlxe由 得 ，得 .0f120 lnax2121nx所以原命题等价于证明 .22121lnlx因为 ，故只需证 ，即 .12x1212lnxx1212ln0x令 ，则 ，设 （ ） ，只需证 .12tx0tl1tgt0tgt而 ，故 在 单调递增，所以22140tgtt gt，.10t综上得 .2xe22已知函数 .21lnafx（1）当 时，求 在区间 上的最值；12afx1,e（2）讨论函数 的单调性；f（3）当 时，有 恒成立，求 的取值范围.10a1ln2afxa【答案】 （1
20、） ， max4effmin514fxf（2）当 时， 在 单调递增；当 时， 在0f0,0afx单调递增，在 上单调递减；当 时， 在,1a,1a1f上单调递减 （3） 0, ,0e【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数在区间上符号变化规律，确定函数最值（2）先求导数，根据导函数符号是否变化进行分类讨论： 时， ， 时， ， 时，先负后正，最后a0fxa0fx10a根据导数符号对应确定单调性（3）将不等式恒成立转化为对应函数最值，由（2）得，即 ，整理化简得 ，min1fxf1ln(2af ln1解得 的取值范围.a试题解析：解：（）当 时， ， .2a2l14xfx
21、2xf 的定义域为 ，由 得 .fx0， 0f 在区间 上的最值只可能在 ， ， 取到，而f1e， 1f1fefe， ， ，54f234fe24fe ， max1ffmin51fxf（） ， .2xaf 0，当 ，即 时， ， 在 上单调递减；10a1fxfx0，当 时， ， 在 上单调递增；fx0，当 时，由 得 ， 或 （舍去）10a0fx21a1ax1ax 在 单调递增，在 上单调递减；fx1a， a，综上，当 ， 在 上单调递增；0fx0，当 时， 在 单调递增，在 上单调递减；1af1a， 01a，当 时， 在 上单调递减；fx0，（）由（）知，当 时， 1amin1afxf即原不等式等价于 即l12f a整理得1lnln2aaln1 ，又 ， 的取值范围为 .e00e，点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
