1、第十二章 立体几何一、基础知识公理 1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内则这条直线在这个平面内，记作：aa公理 2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P，则存在唯一的直线 m，使得 =m,且 Pm。公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面推论 l 直线与直线外一点确定一个平面推论 2 两条相交直线确定一个平面推论 3 两条平行直线确定一个平面公理 4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行定义 1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角
2、中，不超过 900 的角叫做两条异面直线成角与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离定义 2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行) 统称直线在平面外定义 3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直定理 2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直定理 4 平面外
3、一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角定理 4 (三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线，b 为它在平面 a 内的射影，c 为平面 a 内的一条直线，若 cb，则 c a逆定理：若 ca，则 c b定理 5 直线 d 是平面 a 外一条
4、直线，若它与平面内一条直线 b 平行，则它与平面 a 平行定理 6 若直线。与平面 平行，平面 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6，则 a/b结论 2 若直线。与平面 和平面 都平行，且平面 与平面 相交于 b，则 a/b定理 7 (等角定理 )如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等定义 6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交没有公共点即平行，否则即相交定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a，b 都与平面 平行，则 /. 定理 9 平面 与平面 平行，平面 =a ，=b，则 a/b定义 7 (二面角)，经过同一条直线 m 的两个半平面 ,(包括直线 m，称
5、为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作 m，也可记为 Am 一 B，AB 等过棱上任意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP，BP，则APB(90 0)叫做二面角的平面角它的取值范围是0，特别地，若APB90 0，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即 .定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直定理 11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内定理 12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直定义 8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互
6、相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱两个互相平行的面叫做底面如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做长方体棱长都相等的正四棱柱叫正方体定义 9 有一个面是多边形(这个面称为底面) ，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥定理 13 (凸多面体的欧拉定理) 设多面体的顶点数为 V，棱数为 E，面数为 F，则V+F-E=2定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面球面所围成的几何体叫做球定长叫做球的半径，定点叫做球心 定理 14
7、如果球心到平面的距离 d 小于半径 R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直设截面半径为 r，则 d2+r2R 2过球心的截面圆周叫做球大圆经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离定义 11 (经度和纬度 )用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点) 叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经定理 15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的
8、任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.定理 16 (三面角定理 )从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于 3600定理 17 （面积公式）若一个球的半径为 R，则它的表面积为 S 球面 =4R 2。若一个圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，则它的侧面积 S 侧 =rl.定理 18 （体积公式）半径为 R 的球的体积为 V 球 = 34；若棱柱（或圆柱）的底面积为s，高 h，则它的体积为 V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为 s，高为 h，则它的体积为 V=.31定理 19 四面体 ABCD 中，记B
9、DC=，ADC=，ADB=，BAC=A，ABC=B，ACB=C。DH 平面 ABC 于 H。（1）射影定理：S ABD cos=S ABH ，其中二面角 DABH 为 。（2）正弦定理： .sinisinCBA（3）余弦定理：cos=coscos+sinsincosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos.（4）四面体的体积公式 31VDHSABC= coss2cosco1622absind（其中 d 是 a1, a 之间的距离， 是它们的夹角）a32SABD SACD sin(其中 为二面角 BADC 的平面角)。二、方法与例题1公理的应用。例 1 直线 a,b,c 都与直线
10、 d 相交，且 a/b,c/b，求证：a,b,c,d 共面。例 2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？2 异面直线的相关问题。例 3 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对？例 4 正方体，ABCDA 1B1C1D1棱长为 1，求面对角线 A1C1与 AB1所成的角。3平行与垂直的论证。例 5 A，B，C，D 是空间四点，且四边形 ABCD 四个角都是直角，求证：四边形 ABCD 是矩形。例 6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明：它的另两条高线也相交。例 7 在矩形 ABCD 中，AD=2AB ，E 是 AD 中点，沿 BE 将 ABE 折起，并使 AC=AD，求证：
11、平面 ABE平面 BCDE。4直线与平面成角问题。例 8 正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，G 为 BF 的中点，将正方形沿 EF 折成1200的二面角，求 AG 和平面 EBCF 所成的角。例 9 OA 是平面 的一条斜角，AB 于 B，C 在 内，且ACOC，AOC=，AOB=，BOC=。证明：cos=coscos.5二面角问题。例 10 设 S 为平面 ABC 外一点，ASB=45 0，CSB=60 0，二面角 ASBC 为直角二面角，求ASC 的余弦值。例 11 已知直角 ABC 的两条直角边 AC=2，BC=3，P 为斜边 AB 上一点，沿 CP 将此三角形折
12、成直二面角 ACPB，当 AB= 7时，求二面角 PACB 的大小。6距离问题。例 12 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，求对角线 AC 与 BC1的距离。例 13 在三棱维 SABC 中，底面是边长为 24的正三角形，棱 SC 的长为 2，且垂直于底面，E，D 分别是 BC，AB 的中点，求 CD 与 SE 间的距离。分析 取 BD 中点 F，则 EF/CD，从而 CD/平面 SEF，要求 CD 与 SE 间的距离就转化为求点 C 到平面 SEF 间的距离。7凸多面体的欧拉公式。例 14 一个凸多面体有 32 个面，每个面或是三角形或是五边形，对于 V 个顶点每个顶点均有 T
13、个三角形面和 P 个五边形面相交，求 100P+10T+V。8与球有关的问题。例 15 圆柱直径为 4R，高为 22R，问圆柱内最多能装半径为 R 的球多少个？9四面体中的问题。例 16 已知三棱锥 SABC 的底面是正三角形，A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是 SBC 的垂心，二面角 HABC 的平面角等于 300，SA= 32。求三棱锥 SABC 的体积。例 17 设 d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h 是四面体的最小高的长，求证：2dh.注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读者在解题中认真总结。三、基础训练题1正三角形 ABC 的边长
14、为 4，到 A，B，C 的距离都是 1 的平面有_个.2空间中有四个点 E，F，G，H，命题甲：E，F，G，H 不共面；命题乙：直线 EF 和 GH 不相交，则甲是乙的_条件。3动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点 P运动的最大距离为_。4正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是面 ADD1A1、面 ABCD 的中心，G 为棱 CC1中点，直线 C1E，GF 与 AB 所成的角分别是 ，。则 +=_。5若 a,b 为两条异面直线，过空间一点 O 与 a,b 都平行的平面有_个。6CD 是直角 ABC 斜边 AB 上的高，BD=2AD，将
15、ACD 绕 CD 旋转使二面角 ACDB 为600，则异面直线 AC 与 BD 所成的角为_。7已知 PA平面 ABC，AB 是O 的直径，C 是圆周上一点且 AC= 21AB，则二面角 APCB 的大小为_。8平面 上有一个 ABC，ABC=105 0，AC= )6(2，平面 两侧各有一点 S，T，使得 SA=SB=SC= 41，TA=TB=TC=5，则 ST=_.9在三棱锥 SABC 中，SA 底面 ABC，二面角 ASBC 为直二面角，若BSC=45 0，SB=a，则经过 A，B，C，S 的球的半径为_.10空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为_.11异面直线 a,b
16、满足 a/,b/,b/,a/，求证：/。12四面体 SABC 中，SA，SB，SC 两两垂直，S 0，S 1，S 2，S 3分别表示ABC，SBC，SCA，SAB 的面积，求证： .213正三棱柱 ABCA1B1C1中，E 在棱 BB1上，截面 A1EC侧面 AA1C1C， （1）求证：BE=EB1；（2）若 AA1=A1B1，求二面角 EC-A1-B1C1的平面角。四、高考水平训练题1三棱柱 ABC-A1B1C1中，M 为 A1B1的中点，N 为 B1C 与 BC1的交点，平面 AMN 交 B1C1于 P，则 1P=_.2.空间四边形 ABCD 中，AD=1，BC= 3，且 ADBC，BD=
17、 213，AC= ，则 AC 与 BD 所成的角为_.3平面 平面 ， =直线 AB，点 C，点 D，BAC=45 0，BAD=60 0，且CD AB，则直线 AB 与平面 ACD 所成的角为_.4单位正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 ABD1B1大小为_.5如图 12-13 所示，平行四边形 ABCD 的顶点 A 在二面角 MN 的棱 MN 上，点B，C，D 都在 上，且 AB=2AD，DAN=45 0，BAD=60 0，若ABCD 在半平面 上射影为为菜，则二面角 MN=_.6已知异面直线 a,b 成角为 ，点 M，A 在 a 上，点 N，B 在 b 上，MN 为公垂线，且MN=
18、d，MA=m，NB=n。则 AB 的长度为_.7已知正三棱锥 SABC 侧棱长为 4，ASB=45 0，过点 A 作截面与侧棱 SB，SC 分别交于M，N，则截面 AMN 周长的最小值为_.8l 1与 l2为两条异面直线，l 1上两点 A，B 到 l2的距离分别为 a,b，二面角 Al2B 大小为 ，则 l1与 l2之间的距离为_.9在半径为 R 的球 O 上一点 P 引三条两两垂直的弦 PA，PB，PC，则PA2+PB2+PC2=_.10过 ABC 的顶点向平面 引垂线 AA1，BB 1，CC 1，点 A1，B 1，C 1，则BAC 与B 1A1C1的大小关系是_.11三棱锥 ABCD 中A
19、CB=ADB=90 0，ABC=60 0，BAD=45 0，二面角 ACDB 为直角二面角。 （1）求直线 AC 与平面 ABD 所成的角；（2）若 M 为 BC 中点，E 为 BD 中点，求 AM与 CE 所成的角；（3）二面角 MAEB 的大小。12四棱锥 PABCD 底面是边长为 4 的正方形，PD 底面 ABCD，PD=6，M，N 分别是PB，AB 的中点， （1）求二面角 MDNC 的大小；（2）求异面直线 CD 与 MN 的距离。13三棱锥 SABC 中，侧棱 SA，SB，SC 两两互相垂直，M 为 ABC 的重心，D 为 AB 中点，作与 SC 平行的直线 DP，证明：（1）DP
20、 与 SM 相交；（2）设 DP 与 SM 的交点为 ，则D为三棱锥 SABC 外接球球心。五、联赛一试水平训练题1现有边长分别为 3，4，5 的三角形两个，边长分别为 4，5， 1的三角形四个，边长分别为 265，4，5 的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_个四面体。2一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数 nm，那么 mn=_。3已知三个平面 ， 每两个平面之间的夹角都是 20，且 =a,cb,，命题甲： 3；命题乙：a,b,c 相交于一点。则甲是乙的_条件。4棱锥 MABCD 的底面是正方形，且 MAAB，如
21、果 AMD 的面积为 1，则能放入这个棱锥的最大球的半径为_.5将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱长为 2，则最远两个顶点间距离为_。6空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线，那么与 a,b,c 都相交的直线有_条。7一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为 a，这个球的体积为_。8由曲线 x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1，满足 x2+y216,x 2+(y-2)24,x 2+(y+2)24 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2，
22、则 1_。9顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆围上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB OB，垂足为 B，OH PB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的中点，则当三棱锥 CHPC 体积最大时，OB=_。10 B,是三个互相垂直的单位向量， 是过点 O 的一个平面， ,BA分别是A，B，C 在 上的射影，对任意的平面 ，由 22BA构成的集合为_。11设空间被分为 5 个不交的非空集合，证明：一定有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点。12在四面体 ABCD 中，BDC=90 0，D 到平面 ABC 的垂线的垂足 S 是 ABC 的垂心，试证：(AB
23、+BC+CA)26(AD 2+BD2+CD2)，并说明等号成立时是一个什么四面体？13过正四面体 ABCD 的高 AH 作一平面，与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直线与四面体的底面夹角为 ，求 tan2+tan 2+tan 2 之值。六、联赛二试水平训练题1能否在棱长为 1 的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为 1 的正四面体？2P，Q 是正四面体 ABCD 内任意两点，求证： .21cosPAQ3P，A，B，C，D 是空间五个不同的点，APB=BPC=CPD=DPA=，这里 为已知锐角，试确定APC+BPD 的最大值和最小值。4空间是否存在有限点集 M，使得对 M 中的任意两点 A，B，可以在 M 中另取两点 C，D，使直线 AB 和 CD 互相平行但不重合。5四面体 ABCD 的四条高 AA1，BB 1，CC 1，DD 1相交于 H 点（A 1，B 1，C 1，D 1分别为垂足） 。三条高上的内点 A2，B 2，C 2满足 AA2：AA=BB 2：B 2B1=CC2：C 2C1=2：1。证明：H，A 2，B 2，C 2，D 1在同一个球面上。6设平面 ， 与四面体 ABCD 的外接球面分别切于点 A，B，C，D。证明：如果平面 与 的交线与直线 CD 共面，则 与 的交线与直线 AB 共面。
