1、 最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部1北辰教育学科老师辅导讲义学员姓名： 年 级： 高二 辅导科目： 数学 学科教师：授课日期 3 月 19 日 授课时段 授课主题 几何体表面积与体积教学内容知识回顾：知识梳理一要求：了解球、棱柱、棱锥表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式） 。二考点总结：考试中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求
2、解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。三考点精讲1多面体的面积和体积公式名称 侧面积(S 侧 ) 全面积(S 全 ) 体 积(V)最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部2棱柱 直截面周长lS 底 h=S 直截面 h棱柱直棱柱 chS 侧 +2S 底S 底 h棱锥 各侧面积之和棱锥 正棱锥 ch21S 侧 +S 底 S 底 h31表中 S 表示面积，c、c 分别表示上、下底面周长， h 表斜高，h表示斜高，l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称 圆柱 圆锥 圆台 球S 侧 2rl rl (r 1+r2)lS 全 2r(l+r) r(l+r) (r 1+r2)l+(r
3、21+r22) 4R 2V r2h(即r 2l) r2h31h(r 21+r1r2+r22)3R 34表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2 分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。4题型解析：题型 1：柱体的体积和表面积例 1一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长.最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部3点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例 2如图 1 所示，在平行六面体 ABC
4、DA1B1C1D1 中，已知AB=5， AD=4， AA1=3，AB AD，A 1AB=A 1AD= 。3（1 ）求证：顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在BAD 的平分线上；（2 ）求这个平行六面体的体积。图 1 图 2题型 2：柱体的表面积、体积综合问题例 3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 ，这个长方体对角线的长是（ ）6,32A2 B3 C6 D2最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部4点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例 4如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1将三棱柱分成体积为 V1
5、、V 2的两部分，那么 V1V 2= _ _。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型 3：锥体的体积和表面积例 5在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60 ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ，求四棱锥 PABCD 的体积？最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部5点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。例 6在三棱锥 SABC 中，SAB=SAC =ACB =90，且
6、 AC=BC=5，SB=5 。 （如图所示）5（）证明：SCBC；（）求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小；（）求三棱锥的体积 VSABC 。点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型 4：锥体体积、表面积综合问题例 7ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GB 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，且GC2 ，求点 B 到平面 EFC 的距离？最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部6点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B 为顶点，EFG 为底面的三
7、棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例 8如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC 分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 ABEFD 与三棱锥 AEFC 的表面积分别是S1，S 2，则必有（ ）AS 1S 2 BS 1S 2CS 1=S2 DS 1，S 2的大小关系不能确定点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。DBAOCEF最受信赖的教育品牌北辰教
8、育 教学部7题型 6：圆柱的体积、表面积及其综合问题例 11一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A B C D214121241例 12如图 99，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球，水面高度恰好升高 r，则 = 。R点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部8题型 7：圆锥的体积、表面积及综合问题例 13 （ 1）在ABC 中，AB=2，BC=1.5，ABC=120 （如图所示） ，若将ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A
9、 B C D 29272523（2 ）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的全面积是（ ）3A3 B3 C6 D9 点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。例 14如图所示，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线， OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A B C D3212121421点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部9题型 8：球的体积、表面积例 15已知过球面上 三点的截面
10、和球心的距离为球半径的一半，且 ，求球的表,ABC 2ABC面积。点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例 16如图所示，球面上有四个点 P、A 、B、C，如果 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部10点评：本题也可用补形法求解。将 PABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径 R= a,下略。23题型 9：球的面积、体积综合问题例 17如图，正四棱锥 底面的四个顶点 在球 的同一个大圆上，点 在球面上，如PABCD,ABCDOP果 ，则球 的
11、表面积是（ ）A B C D163PABCDVO481216（2 ）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ，求球的表面积和体积。最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部11点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。例 18 （ 1）表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这个正四棱柱的表面积。32414（2）正四面体 ABCD 的棱长为 a，球 O 是内切球，球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个小球，求球 O1 的体积。最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部12点评：正四面体的内切球与各面的切点是面
12、的中心，球心到各面的距离相等。题型 10：球的经纬度、球面距离问题例 19 （ 1）我国首都靠近北纬 纬线，求北纬 纬线的长度等于多少 ？（地球半径大约为 ）4040 km6370km（2 ）在半径为 的球面上有 三点， ，求球心到经过这三点的截面的距离。3cm,ABC12BACc最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部13例 20在北纬 圈上有 两点，设该纬度圈上 两点的劣弧长为 （ 为地球半径） ，求45,AB,AB24R两点间的球面距离。,AB点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。五思维总结1正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a，
13、则这个正四面体的(1)全面积：S 全 = a2；(2)体积：V= a3；(3)对棱中点连线段的长：d= a；3122(4)内切球半径：r= a；(5)外接球半径 R= a；12646(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部14如图，在直角四面体 AOCB 中，AOB=BOC=COA=90， OA=a,OB=b,OC=c。则：不含直角的底面 ABC 是锐角三角形；直角顶点 O 在底面上的射影 H 是ABC 的垂心；体积 V= abc；6
14、1底面 ABC= ；222acbaS 2ABC =SBHC SABC ；S 2BOC =S2AOB +S2AOC =S2ABC = + + ; 21OHa2b1c外切球半径 R= ；22cba内切球半径 r= cbaABCOABS-S3圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.如图，圆锥的顶角为 ，母线与下底面所成角为 ，母线为 l，高为 h，底面半径为 r，则sin=cos = ，2lh+ =90 2最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部15cos=sin = .2lr球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截
15、面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离 d,球半径 R，截面半径 r 有关系：r= .2d-R4经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。0最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部16纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。5. 两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 奎 屯王 新 敞新 疆两点的球面距离公式：（其中 R 为球半径， 为 A,B 所
16、对应的球心角的弧度数）课后作业1、如图， 中， ， ， ，在三角形内挖去一个半圆（圆心 在边ABC=9030ABC=3BCO上，半圆与 、 分别相切于点 、 ，与 交于点 ） ，将MNAB绕直线 旋转一周得到一个旋转体。（1 ）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2 ）求图中阴影部分绕直线 BC旋转一周所得旋转体的体积最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部172、如图，四面体 中， 、 分别是 、 的中点， 平面 ，ABCDOEBDCAOBCD2CA（1 ）求三棱锥 的体积；（2 ）求异面直线 与 所成角的大小AECD最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部18DCBAP3、 （本题满分 12 分
17、）在正四棱锥 中，侧棱 的长为 ， 与 所成的角的大小等于 ABCDPPA52PACD510arcos（1 ）求正四棱锥 的体积；（2 ）若正四棱锥 的五个顶点都在球 的表面上，求此球 的半径OO最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部194、 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ,ABCPABC4BCAP30A分别是 的中点ED、 、（1 ）求三棱锥 的体积；（2 ）若异面直线 与 所成角的大小为 ，求 的值ABEDtan最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部205、(本题满分 12 分) 本题共有 2
18、 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分如图已知四棱锥 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 的长为 8，且垂直于底面，ABCDPPA点 分别是 的中点求NM、 、（1 ）异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；（2 ）四棱锥 的表面积 .ABP6、 （本小题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分）如图，直三棱柱 1ABC中， , 1ABC45ABC最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部21AA1B1c1BCD（1 ）求直三棱柱 1ABC的体积；（2 ）若 是 的中点，求异面直线 与 所成的角 DBD1AC最受信赖的教育品牌北辰教育 教学部22
