1、123 直接证明与间接证明1直接证明(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或_法(2)分析法：一般地，从要证明的_出发，逐步寻求使它成立的 _，直至最后，把要证明的_归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止，这种证明方法叫做分析法分析法又叫逆推证法或_法(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式2间接证明反证法：一般地，假设原命题_( 即在原命题的条件下，结论_) ，经过_，最后得出_这个矛盾可以是与已知条件矛盾，
2、或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾因此说明假设_，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法自查自纠1(1)推理论证 成立 由因导果 (2)结论 充分条件 结论 执果索因2不成立 不成立 正确的推理 矛盾 错误要证明 0，所以 a b c 6，举反例可排除 A、B、C.或直接由 abc1 排除1b 1c 1aA，B，C. 故选 D.用反证法证明“如果 ab，那么 ”，假设内容应是_3a3b解：原条件不变，假设结论不成立故填 或 180，这与三角形内角和为 180矛盾，则AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C 中有两个角是直角
3、，不妨设AB90.正确顺序的序号排列为_解：由反证法证明的步骤知，先反设，即，再推出矛盾，即，最后作出判断，肯定结论，即，顺序应为.故填.类型一 直接证明已知 a，b，cR ，求证： .a2 b2 c23 a b c3证法一：采用分析法要证 ，a2 b2 c23 a b c3只需证 ，a2 b2 c23 (a b c3 )2只需证 3(a2b 2c 2)a 2b 2c 22ab2bc2ca，只需证 2(a2b 2c 2)2ab 2bc2ca，只需证(ab) 2( bc) 2( ca) 20，而这是显然成立的，所以 成立 (当且仅当 abc 时等号成立)a2 b2 c23 a b c3证法二：采
4、用综合法因为 a，b，cR ，所以(a b)2(bc) 2(ca) 20，所以 2(a2b 2c 2)2(abbcac )，所以 3(a2b 2c 2)a 2b 2 c22ab2bc2ac，所以 3(a2b 2c 2)(abc) 2，所以 (当且仅当 abc 时等号成立)a2 b2 c23 a b c3【点拨】分析法与综合法是直接证明常用的两种方法，前者是“执果索因” ，后者是“由因导果” 常用分析法探索证明路径，再用综合法进行表述已知：a0，b0 ，ab1.求证： 2.a 12 b 12证明：要证 2，a 12 b 12只需证 a b 2 4，12 12 (a 12)(b 12)又 ab1，
5、故只需证 1，(a 12)(b 12)只需证 ab (ab) 1，(a 12)(b 12) 12 14只需证 ab .14因为 a0，b0，1ab2 ，所以 ab ，ab14故原不等式成立 .(当 且 仅 当 a b 12时 取 等 号 )类型二 间接证明已知 a，b，c(0 ，1) ，求证：(1a)b，(1 b)c，(1c) a 不能同时大于 .14证法一：假设三式同时大于 ，14即(1a) b ，(1b)c ，(1c)a ，14 14 14因为 a，b，c(0，1)，所以三式同向相乘得(1a)b(1b) c(1c )a .164又(1a) a ，(1 a a2 )214同理(1b) b ，
6、(1 c)c ，14 14所以(1a) a(1b)b(1c )c ，164这与假设矛盾，故原命题正确证法二：假设三式同时大于 ，14因为 00， ，（1 a） b2 （1 a）b 14 12同理 ， ，（1 b） c2 12 （1 c） a2 12三式相加得 ，这是矛盾的，故假设错误，3232所以原命题正确【点拨】一般地，对于结论是“都是” “都不是” “至多” “至少”形式的数学问题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑用反证法，这体现了“正难则反”的思想，用反证法解题时，推导出矛盾是关键一步，途径很多，可以与已知矛盾、与假设矛盾、与已知事实相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的(
7、1)(2016周口模拟)用反证法证明命题“若 abc 为偶数，则自然数 a，b，c 中恰有 1 个或 3 个偶数”时正确反设为( )A自然数 a，b，c 都是奇数B自然数 a，b，c 都是偶数C自然数 a，b，c 中恰有两个偶数D自然数 a，b，c 中都是奇数或恰有两个偶数解：由于“自然数 a，b，c 中恰有 1 个或 3 个偶数”的否定是“自然数 a，b，c 都是奇数或恰有两个偶数” ，故选 D.(2)已知 f(x)a x (a1)，证明方程 f(x)0 没有负数根x 2x 1解：假设 x0 是 f(x)的负数根，则 x0B，只需C bc BbcaCcab Dacb解：因为 a ，b ，3
8、213 2 6 5 16 5c ，且 0，所以 abc.故选 A.7 617 6 7 6 6 5 3 24若 ab0，且 xa ，yb ，则( )1b 1aAxy Bx 0.所以 a b .故选 A.1b (b 1a) (1 1ab) 1b 1a5已知 ab0，且 ab1，若 0 q Bpab1，所以 plog c logc log c 0，所a2 b22 a2 b22 ( 1a b)21a b 2ab 14ab 14以 qp.故选 B.6设x 表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，y，有( )Ax x B2 x2xCxy xy D xy x y解：取 x1.6，y 2.7，则x1.6
9、1， y2.72，2 x3.2 3，x 1.62，故 A，B 错误；xy1.6 2.74，故 C 错故选 D.7设 ab0，xa b ， ya b ，则 x，y 的大小关系是_a b b a解：xya( )b( )( ab)( )( )2( )0.所以 xy.故填 xy.a b b a a b a b a b8(2015河北保定高二期末) 设 a，b 是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a 2b 22；ab1.其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是_(填序号)解：若 a ，b ，则 ab1，但 a2，故推不出；若 a2，b3，则 ab1，故推不出；对于，若ab2，则
10、 a，b 中至少有一个大于 1，反证法：假设 a1 且 b1，则 ab2 与 ab2 矛盾，因此假设不成立，故 a，b 中至少有一个大于 1.故填.9已知函数 f(x)是(，) 上的增函数，a，bR .(1)若 ab0，求证：f (a) f(b)f (a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论解：(1)证明：因为 ab0，所以 ab.因为 f(x)在 R 上单调递增，所以 f(a)f (b)同理，ab0baf(b)f(a) 两式相加即得：f(a)f( b)f(a) f (b)(2)(1)中命题的逆命题为：若 f(a)f(b) f(a)f(b) ，则 ab0.该命题成立
11、，下面用反证法证之假设 aba2abb 2 得(ab) 2ab，又 ab0，所以 ab1.要证 ab0，所以只需证明 3(ab) 20.因为 a，b 是不等正数，故(a b) 20 成立故 ab0，b0 ，且 ab1，求证： .(a 1a)(b 1b) 254证明：要证 ，(a 1a)(b 1b) 254只需证 ab ，a2 b2 1ab 254只需证 4(ab)24( a2b 2)25ab40，只需证 4(ab)28ab25ab40，只需证 4(ab)217ab40，即证 ab4 或 ab ，只需证 ab ，14 14而由 1ab2 ，所以 ab 显然成立，ab14所以原不等式 成立(a 1
12、a)(b 1b) 254已知 为锐角，且 tan 1，函数 f(x)x 2tan2 xsin ，数列a n的首项2 (2 4)a1 ，a n1 f(a n)12(1)求函数 f(x)的表达式；(2)求证：a n1 an；(3)求证：10，所以 an1 an.2n(3)证明： ，1an 1 1an（1 an） 1an 11 an所以 ，11 an 1an 1an 1所以 2 ，11 a1 11 a2 11 an 1a1 1a2 1a2 1a3 1an 1an 1 1a1 1an 1 1an 1因为 a2 ，a 3 1，又因为 n2，a n1 an，(12)212 34 (34)234所以 n2 时，a n1 a 31，所以 12 2，所以 1 2.1an 1 11 a1 11 a2 11 an
