1、数学（文科）试卷 第 1 页（共 4 页） 数学（文科）试卷 第 2 页（共 4 页）密封线内不要答题/密封装订线/_学校 _班 姓名_学籍号_考号益中学校 20172018 学年度高三年级四月考数学（文科）学科试卷温馨提示：本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟，祝各位考生考试顺利！第卷 选择题（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 若复数 z 满足 z1 i2 1 i，其中 i 为虚数单位，则 z 在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象
2、限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 设 xR，则“ x 21”是“x 2 x 2 0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设动点 Px y满足 则 z 5x 2y 的最大值是240,yA. 50 B. 60C. 90 D. 1004. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 1 B. 2C. 3 D. 45. 已知双曲线 （b 0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的21xy圆与双曲线的两条渐近线相交于 A B C D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为A. B. C. D. 2314xy2413xy214
3、0xy214xy6. 已知实数，a 0，b 0， ，则 a 2b 的最小值是abA. B. C. 3 D. 23227. 已知函数 则对任意 x1 x2R，若 ，下列21,0,().xxf210x不等式成立的是A. f x1 f x2 0 B. f x1 f x20C. f x1 f x2 0 D. f x1 f x208. 已知向量 ， ， 满足 ， ， ，E，F 分别ABCDABDA1D是线段 BC，CD 的中点，若 ，则向量 与 的夹角为54EFA. B. C. D. 632356第卷 非选择题（共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 若集合
4、， ，则 .Ax20BxAB10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .11.若函数 f x x3 6bx 3b 在 0 1内有极小值，则实数b 的取值范围是 .12. 已知圆 C 的圆心与抛物线 y2 4x 的焦点关于直线 y x对称，直线 4x 3y 2 0 与圆 C 相交于 A B 两点，且AB 6，则圆 C 的标准方程为 .13. 已知函数 （ 0）在 上有最()sin()4f(,)123大值，但没有最小值，则 的取值范围是 .14. 已知函数 函数 gx f x ax 恰有三个不同的零点，21,()63.xaf则实数 a 的取值范围是 .是否开 始S 0 n 2n n 1
5、MS S l o g2MS Z 输 出 S结 束1221主主主主主主主主主数学（文科）试卷 第 3 页（共 4 页） 数学（文科）试卷 第 4 页（共 4 页）/密封装订线/密封线内不要答题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分 13 分）家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中 A 类服务员12 名，B 类服务员 x 名.（）若采用分层抽样的方法随机抽取 20 名家政服务员参加技术培训，抽取到 B类服务员的人数是 16，求 x 的值；（）某客户来公司聘请 2 名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和
6、，只有 3 名 A 类家政服务员和 2 名 B 类家政服务员可供选择 .（）请列出该客户的所有可能选择的情况；（）求该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的概率.16. （本小题满分 13 分）ABC 的内角 A B C 的对边分别是 a b c，若 ，B 2C .54c（）求 cos B；（）若 c 5，点 D 为边 BC 上一点，且 BD 6，求ADC 的面积.17. （本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，且 PA PD ，设 E、F 分别为 PC、BD 的中点.2miyonAD微 信（）
7、求证：EF 平面 PAD；（）求证：平面 PAB平面 PDC；（）求 直 线 EF 与 平 面 ABCD 所 成 角 的 大 小 .18. （本小题满分 13 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn 2an 2（nN *），数列b n满足 b1 1，且点 Pbn bn1（ nN*）在直线 y x 2 上.（）求数列a n、b n的通项公式；（）求数列a nbn的前 n 项和 Dn；（）设 ，求数列c n的前 2n 项和 T2n.22sicosmiyoca微 信19. （本小题满分 14 分）已知函数 （aR）.21()(1)2lnfxax（）当 a 1 时，求 f x在点 1 f
8、1处的切线方程；（）当 a 0 时，求函数 f x的单调递增区间；（）当 a 0 时，证明：f x2e x x 4（其中 e 为自然对数的底数）.20. （本小题满分 14 分）已知椭圆 C： （a b 0）的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 .21xy 1(3,)2（）求椭圆 C 的方程；（）若在椭圆上有相异的两点 A，B （A O B 三点不共线）， O 为坐标原点，且直线 AB，直线 OA，直线 OB 的斜率满足 （k AB 0）.2miyonk微 信（）求证： 是定值；22OA（）设AOB 的面积为 S，当 S 取得最大值时，求直线 AB 的方程.CDP EF BA数学（理科）答案 第
9、 -1 页（共 4 页） 数学（理科）答案 第 0 页（共 4 页）/密封装订线/密封线内不要答题益中学校 20172018 学年度高三年级四月考数学（文科）参考答案一. 选择题：每小题 5 分，满分 40 分.1. C 2. A 3. D 4. A5. D 6. B 7. D 8. B二. 填空题：每小题 5 分，满分 30 分.9. 0 10. 11. 531(0,)212. x2 y 12 10 13. 14. (,)4,36三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分 13 分）解 （）20 16 4，由 ，可得 x 48.
10、12x（）（）设 3 名 A 类家政服务员的编号为 a，b，c ，2 名 B 类家政服务员的编号为 1，2，则所有可能情况有：ab，ac ， a1，a2，bc， b1， b2，c1 ， c2，12 共 10 种选择（）该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的情况有：a1，a2 ，b1， b2， c1，c2，共 6 种选择.所以，该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的概率 .63105P16. （本小题满分 13 分）解 （）因为 B 2C，所以有 sin Bsin 2C 2sin Ccos C从而有 sin5cobc故 cos B cos 2C 2cos2 C 1
11、 .3（）由题意，得 ，由余弦定理得，b 2 a2 c2 2accos B45即 ，化简得 a2 6a 55 0，解得 a 11 或 a 5（舍）23805a从而 DC 5，又 ，则cos5C5sinC所以 .11i41022ABCSD17. （本小题满分 13 分）解 （）ABCD 为平行四边形，连结 AC BD F，F 为 AC 中点， E 为 PC 中点在PAC 中， EFPA又PA平面 PAD，EF平面 PADEF平面 PAD（）平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD ADABCD 为正方形 CDADCD平面 ABCD CD平面 PAD CDPA又 PAD 是等腰直角
12、三角形2PADPAPD 又CD PD D，且 CD平面 ABCD，PD 平面 ABCDPA平面 PCD 又PA平面 PAB平面 PAB 平面 PCD（）直线 EF 与平面 ABCD 所成角即直线 PA 与平面 ABCD 所成角即PAD因为 PAD 45，所以所求角为 45.18. （本小题满分 13 分）解 （）当 n 1 时，a 1 2当 n 1 时，a n Sn Sn1 2an 2an1a n 2an1（n2）a n是等比数列，公比为 2，首项 a1 2 a n 2n又点 Pbn bn1（n N*）在直线 y x 2 上 b n1 bn 2b n是等差数列，公差为 2，首项 b1 1 b
13、n 2n 1（）a nbn 2n 12nD n 1 21 3 22 5 23 7 24 2n 3 2n1 2n 1 2n2Dn 1 22 3 23 5 24 7 24 2n 3 2n 2n 1 2n1两式相减，整理得 Dn 2n 32n1 6（） ,(1),nc为 奇 数为 偶 数T2n a1 a3 a 2n1b2 b4 b 2n 12()(37)3n 数学（理科）答案 第 1 页（共 4 页） 数学（理科）答案 第 2 页（共 4 页）密封线内不要答题/密封装订线/19. （本小题满分 14 分）解 （）当 a 1 时， ，21()lnfxx2()1fxxf 1 2，f 1 2f x在点 1
14、 f 1处的切线方程是 4x 2y 3 0.（）f x的定义域为0 (1)2(1)2()(2)axaxamionx微 信当 ，即 时，由 f x 0 解得 或 x 2.11当 时，x0 ，f x 02a当 ，即 时，由 f x 0 解得 0x2 或 .112a 1a综上所述，当 时，f x的单调递增区间为 ，2 ；当 时，f x(,)12的单调递增区间为0 ；当 时，f x的单调递增区间为 0 2， .102a (,)a（）当 a 0 时，由 f x2ex x 4 知，需证明 ex ln x2令 hx ex ln x 2（x 0），则 1()xh设 （0x 01），则 hx0 001当 x0x
15、0时 ， hx0， hx单 调 递 减 ； 当 xx0时 ， hx 0， hx单 调 递 增当 x x0 时，h x取得唯一的极小值即最小值hx的最小值是 0 00011()eln2ln22ex（0 x01， ） 另解：证明 ex 1xln x 1（等号不能同时成立）0x20. （本小题满分 14 分）解 （）由题意知 a 2b，可设椭圆方程为 ，24yb椭圆过点 ，解得 a 2，b 11(3,)214椭圆的方程为 .2xy（）设直线 AB 的方程为 y kx m（k 0），Ax 1 y1，Bx 2 y2 （k AB 0）2ABOBk ，化简得 kmx1 x2 m2 01122()()yxmA、O、B 三点不共线m 0 则 kx1 x2 m 0将直线 AB 与椭圆方程联立，消去 y，整理得1 4k 2x2 8kmx 4m2 1 0 161 4k2 m2 0由韦达定理得 ，128kx212(1)mx上述两式代入，得 （k 0），解得 .()42k于是，x 1 x2 2m，x 1x2 2m2 1.（） 2 2111233()44OAByxxx所以， .22 2ion()5m微 信（） 22 211221()4AOBSdkxxmk 易得， (2,0)(,)m所以， 22()1AOBSm 当且仅当 m 1 时，AOB 取得最大值，此时直线 AB 方程为 .12yx
