1、峨眉山市第七教育联盟 2018 年高考适应性考试数学试题(文史类)第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知 ，则 =（ ）A. 1 B. C. -1 D. 【答案】D【解析】分析：把 z 代入 ，得 ，分子分母同时乘以 ，即可化简得到答案。详解：所以 所以选 D点睛：本题考查了利用共轭复数对复数化简求值，属于简单题目，主要注意符号的变化。2. 已知集合 , ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：解对数不等式，可以得到 ，解一元二次不等式，得到 ，注意 B 集合取非
2、负整数，然后求交集即可得到正确答案。详解：解 不等式得 ，所以 解 不等式得 ，又因为 ，所以所以 所以选 C点睛：本题主要考查了对数不等式和一元二次不等式的解法，注意本题中一元二次不等式的系数为负数，所求解集为非负整数解，属于简单题目。3. 如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出( )A. 性别与喜欢理科无关B. 女生中喜欢理科的比例为 80%C. 男生比女生喜欢理科的可能性大D. 男生中不喜欢理科的比例为 60%【答案】C【解析】本题考查学生的识图能力，从图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些考点：识图判断变量关系.4. 已知双曲
3、线 的一条渐近线为 ，且与椭圆 有公共焦点，则 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：通过椭圆的焦点，可以求出双曲线的 ，根据双曲线的渐近线可以得到 ，再由双曲线中 的等量关系可以通过方程组求出 的值。详解：椭圆的焦点坐标为 ，所以由渐近线方程 ，得 所以 ，可解得所以标准方程为所以选 A点睛：本题综合考查了椭圆与双曲线的性质，双曲线的渐近线、椭圆的焦点问题，通过建立方程组的关系求得 的值，从而确定双曲线的标准方程，属于中档题目。5. 等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ,己知 ,则 =( ）A. 32 B. 16 C. 4 D. 64【答案】A【解析】分析： 通过
4、讨论 的取值情况，确定 ，利用等比数列的求和公式 ，建立方程组，求出 和 ，进而求得 的值。详解：当公比 时 可得代入 ，与 矛盾，所以 由等比数列的前 n 项和公式 ，可得 两式相除，得 ，可解得 或 （舍）当 时，代入原式可求得则由等比数列的通项公式 所以选 A点睛：本题主要考查了等比数列求和公式的应用，利用方程思想求出首项和公比，属于简单题。6. 关于函数 ，下列叙述有误的是( ）A. 其图象关于直线 对称B. 其图象关于点 对称C. 其值域是D. 其图象可由 图象上所有点的横坐标变为原来的 得到【答案】B【解析】分析：把横坐标代入三角函数表达式，如果得到最大值或最小值，则为对称轴；把点
5、的横坐标代入三角函数表达式中，若得到函数值为 0，则点为对称中心；通过系数确定三角函数的值域为 ；三角函数平移变化中，横坐标伸长或缩短为原来的 。详解：选项 A，将 代入 中， 为最小值，所以 是函数的一条对称轴选项 B，将 代入 中， ，从而 ，所以点 不是函数的一个对称中心选项 C，函数的最大值为 3，最小值为-1 ，所以值域为选项 D， 从 3 变为 1，所以横坐标变为原来的所以选 B点睛：本题综合考查了三角函数的轴对称、中心对称、值域和平移变化，主要根据每个性质的特征进行甄别判断，属于中档题。7. 某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 4 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几
6、何体的体积是( ）A. B. C. D. 32【答案】A【解析】分析：根据三视图可知，该几何体是将正方体去掉一个正四棱锥后的几何体，去掉的正四棱锥的体积为 ，用正方体的体积减去正四棱锥的体积即为剩余部分的体积。详解：由三视图可知，该几何体是在正方体中挖去一个正四棱锥后得到的几何体，正四棱锥的顶点为正方体的中心。所以选 A点睛：本题考查根据三视图确定几何体的空间结构，空间几何体体积的求法。属于简单题目。8. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析：根据程序框图的流程，代入 的值计算；通过归纳法找出 b 与 a 的关系，从而求出 b
7、 的值。详解：根据程序框图可知， 所以 此时 不成立，所以输出的 所以选 B点睛：本题考查了框图推断的应用，注意按照流程的步骤去求解，并归纳出规律，属于简单题。9. 九章算术中,将底面为正方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 为鳖臑， 平面 , ,三棱锥 四个顶点都在球 的球面上,则球 的表面积为( )A. 8 B. 12 C. 20 D. 24【答案】C【解析】分析：根据所给定义，画出空间结构图如下，结合长方体的外接球半径的求法得出最后答案。详解：由题意可画出如图所示的空间几何体，则三棱锥 的外接球半径即为长方体的外接球半径，所以，
8、所以 外接球的表面积 所以选 C点睛：本题主要考查了空间结构体外接球表面积的求法，主要是根据题意，画出立体图形，分析得到外接球的半径，从而得到正确答案，属于简单题。10. 己知命题 : “关于 的方程 有实根”,若非 为真命题的充分不必要条件为 ,则实数 的取值范围是( ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：通过方程有实数根的条件，确定 ，然后确定非 条件下 ；根据充分不必要条件确定，进而求出 m 的取值范围。详解：由命题 有实数根，则 则 所以非 时是非 为真命题的充分不必要条件，所以 ，则 m 的取值范围为所以选 A点睛：本题主要考查了一元二次方程存在根的条件，复合命题和充分必
9、要条件。尤其注意条件给出的方式，确定充分不必要条件，题目不难，属于易错题。11. 设 ,是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的点，以 为直径的圆经过 ,若不等式 则椭圆 的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题设 ,所以 ,由勾股定理可得,依据椭圆的定义可得 ,即 ,故离心率,应选 D.考点：椭圆的几何性质及运用.【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为求点 的值的问题.解答时充分运用题设条件 和勾股定理,通过解直角三角形求得 ,然后运用
10、椭圆的定义建立方程求得离心率 .借助椭圆的定义建立方程是解答好本题的关键.12. 已知函数 ,在区间(0,1)内任取两个实数 ,且 ，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据给出不等式关系，并变形得到 ，进而构造 ，根据所给条件判断出 的单调性；通过分离参数法，确定在恒成立条件下的取值范围。详解：由已知 可得 令 ，则有因为 所以又因为所以 在 上为单调递增函数在 上恒成立即 恒成立，令 在 上为单调递增函数，所以所以 ，即的取值范围为所以选 D点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，通过构造函数法建立联系 。通过分离参数求参数取值范围，进而
11、转化为求函数的取值范围。综合性强，属于难题。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】-5. 【解析】分析：根据所给不等式组，画出可行域，将目标函数化成 ，可知 z 的最小值即为截距的最大值。详解：根据二元一次不等式组，画出可行域，把线性目标函数化为所以当截距 取得最大值时，z 的值最小。由图像可知，当直线经过点 时，线性目标函数 的截距最大，所以所以 z 的最小值为-5点睛：本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，在可行域内求线性目标函数的最值问题。属于基础题14. 平面向量与
12、 的夹角为 60， ， ，则 等于._【答案】 .【解析】 15. 已知数列 的前 项和为 ，且 ,求 =._【答案】 .【解析】分析：根据 可以求出通项公式 ；判断 与 是否相等，从而确定 的表达式。详解：根据递推公式，可得 由通项公式与求和公式的关系，可得 ，代入化简得经检验，当 时， 所以所以 .点睛：本题考查了利用递推公式 求通项公式的方法，关键是最后要判断 与 是否相等，确定的表达式是否需要写成分段函数形式。16. 对于函数 ,若其定义域内存在两个不同的实数 ， 使得 成立，则称函数 具有性质 ,若函数 具有性质 ，则实数的取值范围是_【答案】 .【解析】分析：通过分离参数法，确定
13、；构造函数 ，求出函数 的导函数和极值点；画出函数图像研究的取值范围。详解：若函数 具有性质 ，则 有两个不等实数根代入得 即 在 R 上有个两个不等实数根令 则 ，令得 ，所以列出函数及其导数的表格如下所示：-1 0 +单调递减极小值 单调递增根据表格，画出如下图所示的函数图像由图像可知， 在 R 上有个两个不等实数根即 与 的图像有两个不同交点，由极小值 可知当有两个交点时， 的取值范围为 .点睛：本题考查了函数与导数的综合应用，分离参数、构造函数、利用单调性与极值画出函数图像，进而分析取值范围，涉及知识点多、综合性强，是函数的常考点。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应
14、写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中， 是 边的中线， ,且 的面积为 .(1)求 的大小及 的值;(2)若 ,求 的长.【答案】(1) ， .(2) .【解析】分析：(1)根据所给的式子，利用余弦定理 可以求出 ，再根据三角形的面积公式即可求出 的值。(2) 根据 ,可求得 ，利用余弦定理可求得 , 中应用余弦定理即可求得 AD 的值。详解：(1)在 中,由 可得,故因为 ,所以 ,解得 .所以 .(2) 由 得在 中,出余弦定理得得 ,由正弦定理得 . 故在 中,解得 .点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，结合面积公式求相应的边长和角。理清条件与所求结果间的关
15、系，综合选择合适的方法，属于简单题。18. 某机构为了了解 2017 年当地居民网购消费情况，随机抽取了 100 人，对其 2017 年全年网购消费金额(单位:千元)进行了统计，所统计的金额均在区间 内，并按 分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中的值;(2)若将全年网购消费金额在 20 千元及以上者称为网购迷.结合图表数据，补全 列联表，并判断是否有99%的把握认为样本数据中的网购迷与性别有关系?说明理由.男 女 合计网购迷 20非网购迷 45合计(3)己知所有网购迷中使用甲软件支付的用户占了 (非网购迷不使用甲软件)，现要从甲软件用户中随机抽取 2 人进行调查，问恰好抽到
16、 1 男 1 女的概率为多少?下面的临界值表仅供参考:0.10 0.05 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 6.635 7.879 10.828附：【答案】(1) .(2)列联表见解析，没有 99%的把握认为样本数据中的网购迷与性別有关.(3) .【解析】分析：(1)根据频率分布直方图中，各个小矩形的面积和为 1，可以求得的值。(2)根据所给数据列出 列联表，求出 ，与所给 值比较即可判断。 . . . . . . . . . .(3)所有网购迷共有 35 人，使用甲软件的共有 人，7 人中有 3 男 4 女，从中抽取 1 男一女的概率为 详解：(1) ,解之得:(2)
17、男 女 合计网购迷 15 20 35非网购迷 45 20 65合计 60 40 100没有 99%的把握认为样本数据中的网购迷与性別有关 .(3)使用甲软件的 7 人中有 3 男 4 女 .点睛：本题考查了频率分布直方图的应用，独立性检验基本思想，古典概率等知识点，考查学生的计算能力，属于中档题。19. 如图，在四棱锥 中,平面 平面 ， ， ， 是 的中点.(1)求证: /平面 ;(2)求三棱锥 的体积.【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：(1)取 PD 中点，通过中位线证明线线平行，得到线面平行。(2)根据等体积法，求三棱锥的体积。详解： 证:取 中点 ,连接为 的中位线.又
18、 ,则 为平行四边形又 面 面 /面 .(2)过 作 的垂线，垂足为面 面 为三棱锥的 的高的高为 4, .点睛：本题考查了空间几何体的线面平行与用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题20. 如图，圆 与 轴相切于点 ,与 轴正半轴相交于两点 (点 在点 的下方)，且 .(1)求圆 的方程;(2)过点 任作一条直线与椭圆 相交于两点 ，连接 ，求证:【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】分析：(1)设圆心坐标为 ，根据 .可由勾股定理求出 r，求得圆的方程。(2)讨论当斜率不存在时 ；当斜率存在时，设出直线 方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出 ，表示出 ，即可判定 。详解：(1)由题可
19、知圆心的坐标为 圆 方程为:(2) 由圆 方程可得当 斜率不存在时，当 斜率存在时，设 直线方程为: . 设综上所述点睛：本题考查了求圆标准方程，直线与椭圆的关系，通过韦达定理解决相交弦问题，也是高考的常考点，属于难点。21. 已知函数 ,其中为自然对数的底数.(1)当 时，讨论函数 的单调性;(2)当 时，求证:对任意的 .【答案】(1) 在 上单调递减.(2)证明见及解析.【解析】分析：(1)将 代入 ，对函数求导即可判定函数的单调性。(2)将不等式转化为关于的一次函数，讨论在 时一次函数对任意的 两个端点都小于 0，即可证明 。详解：(1) ; 在 上单调递减(2)要证 对 恒成立即证;
20、 对 恒成立令 ,即证当 时， 恒成立即证; 成立式成立现证明式成立:令设在 ,使得 ,则在 単调递增, 在 単调递減 ,= ， 综上所述.在 , 恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 的极坐标方程为, 点的极坐标为 ，在平面直角坐标系中，直线经过点 ，斜率为 .(1)写出曲线 的直角坐
21、标方程和直线的参数方程;(2)设直线与曲线 相交于 两点，求 的值.【答案】(1) 直线的参数方程为 (参数).(2) .【解析】分析：(1)根据 （是参数） ，将 左右两边同时乘以 ，得 。将点 P 的极坐标化为直角坐标，根据斜率写出直线的参数方程。(2)将 A、B 设成参数方程，联立曲线 C 得 ，整理化简利用韦达定理求 的值。详解：(1)曲线 的方程为点 的直角坐标为(0,3)直线的参数方程为 (参数).(2)设 ,将直线的参数方程代入曲线 的方程得整理得 , 由韦达定理可知, ,则.点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标间的关系。通过联立参数方程和直角坐标方程，建立 与关系的方法是
22、解决参数方程的重点，关键是在联立是保证直线的方程为标准参数方程。23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .(1)求不等式 的解集;(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围.【答案】(1) 的解集为 .(2) .【解析】分析：(1)绝对值不等式，讨论绝对值内的正负情况，确定 的解集。(2)通过分离参数，得到关于 m 的不等式 在 上有解或 在 上有解或 在 有解，解各不等式得到 m 的取值范围。详解：(1) 当 时,由 解得 :当 时,由 解得 :当 时,由 解得 .所以, 的解集为 .(2)不等式 解集非空,即 有解,即 在 上有解或 在 上有解或 在 有解则 或 或 ，所以 . 点睛：绝对值不等式是选考内容，主要涉及分类讨论的数学思想。讨论时，注意不等式成立的条件和去绝对值的范围，属于中档题。
