1、12010 年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2010 四川）i 是虚数单位，计算 i+i2+i3=（ ）A1 B1 C i Di【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权所有【分析】利用复数 i 的幂的运算，容易得到答案【解答】解：由复数性质知：i 2=1故 i+i2+i3=i+（ 1）+（ i）=1故选 A【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题2 （5 分） （2010 四川）下列四个图象所表示的函数，在点 x=0 处连续的是（ ）A B C D【考点】函数的连续性菁优网版权所有【专题】数形结合【分析】
2、根据连续的定义，函数 f 在 x=0 连续，满足两个条件 f 不仅在 x=0 处有极限且有定义，而且等于它的函数值根据图象可知 A 函数在 x=0 无定义，B 有间断点即极限不存在，C 虽然有极限但是极限不等于 f（0） ，得到正确答案即可【解答】解：由图象及函数连续的性质知，A 中的函数在 x=0 处无意义，所以不连续；B中的函数 x 趋于 0 无极限，所以不连续；C 中虽然有极限，但是不等于 f（0） ，所以不连续；只有 D 满足连续的定义，所以 D 中的函数在 x=0 连续所以 D 正确故选 D【点评】考查学生掌握连续的定义，会利用数学结合的数学思想解决实际问题3 （5 分） （2010
3、 四川）2log 510+log50.25=（ ）2A0 B1 C2 D4【考点】对数的运算性质菁优网版权所有【分析】根据对数运算法则可直接得到答案【解答】解：2log 510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故选 C【点评】本题主要考查对数的运算法则4 （5 分） （2010 四川）函数 f（x）=x 2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是（ ）Am= 2 Bm=2 Cm= 1 Dm=1【考点】函数的图象菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可【解答】解：函数 f（x）=x 2+mx+1 的对
4、称轴为 x= =1m=2答案：A【点评】本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题5 （5 分） （2010 四川）设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， ，则 =（ ）A8 B4 C2 D1【考点】向量的线性运算性质及几何意义菁优网版权所有【分析】先求出| |=4，又因为 =| |=2 =4，可得答案【解答】解：由 =16，得| |=4， =| |=4，而 =2故选 C【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属基础题6 （5 分） （2010 四川）将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变
5、） ，所得图象的函数解析式是（ ）3Ay=sin（2x ） By=sin（2x ） Cy=sin （ x ） Dy=sin（ x ）【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】分析法【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的 2 倍时 w 变为原来的 倍进行横向变换【解答】解：将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度，所得函数图象的解析式为 y=sin（x ）再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象的函数解析式是y=sin（ x ） 故选 C【点评】本题主要考查三角函数的平移变换平移的原则是左加右减、上加
6、下减7 （5 分） （2010 四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利40 元乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元甲、乙两车间每天共能完成至多 70 多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）A甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱B甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱C甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱
7、D甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱【考点】简单线性规划的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数【解答】解：设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱，则目标函数 z=280x+200y结合图象可得：当 x=15，y=55 时 z 最大故选 B【点评】在解决线性规划问题是，我们常寻找边界点，代入验证确定最值8 （5 分） （2010 四川）已知数列a n的首项 a10，其前 n 项的和为 Sn，且 Sn+1=2Sn+a1，则 =（ ）4A0 B C1 D2【考点】极限及其运算；等比数列的前
8、n 项和菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由题意知 an+2=2an+1，再由 S2=2S1+a1，即 a2+a1=2a1+a1a2=2a1，知a n是公比为2 的等比数列，所以 Sn=a1+2a1+22a1+2n1a1=（2 n1）a 1，由此可知答案【解答】解：由 Sn+1=2Sn+a1，且 Sn+2=2Sn+1+a1作差得 an+2=2an+1又 S2=2S1+a1，即 a2+a1=2a1+a1a2=2a1故a n是公比为 2 的等比数列Sn=a1+2a1+22a1+2n1a1=（2 n1）a 1则故选 B【点评】本题考查数列的极限和性质，解题时要认真审题，仔细解答9 （5 分） （2
9、010 四川）椭圆 的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A （0， B （0， C ，1） D ，1）【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与A 点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA| 的范围，进而求得 的范围即离心率 e 的范围【解答】解：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而|FA|=|PF|ac，a+c 于是
10、 ac，a+c 即 acc2b2ac+c25又 e（0，1）故 e 【点评】本题主要考查椭圆的基本性质属基础题10 （5 分） （2010 四川）由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（ ）A72 B96 C108 D144【考点】排列、组合的实际应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有 3 种选法，对于 5 要求比较多，需要分类，若 5 在十位或十万位，则 1、3 有三个位置可排，若 5 排在百位、千位或万位，则 1、3 只有两个位置可排，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知，本题是一
11、个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有 3 种选法，若 5 在十位或十万位，则 1、3 有三个位置可排，有 A32 种，然后剩下的两个位置全排列，共有 2A32A22=24 个；若 5 排在百位、千位或万位，则 1、3 只有两个位置可排，有 A22 种，然后剩下的两个位置全排列，共 3A22A22=12 个根据分步计数原理知共计 3（24+12）=108 个故选 C【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个数字问题，这种问题的限制条件比较多，注意做到不重不漏11 （5 分） （2010 四川）半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 ，垂足为 B，B
12、CD 是平面 内边长为 R 的正三角形，线段 AC、AD 分别与球面交于点 M、N ，那么 M、N 两点间的球面距离是（ ）A B C D【考点】球面距离及相关计算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题6【分析】求解本题需要根据题意求解出题目中的角 MON 的余弦，再代入求解，即可求出MN 的两点距离【解答】解：由已知，AB=2R，BC=R，故 tanBAC=cosBAC=连接 OM，则OAM 为等腰三角形AM=2AOcosBAC= ，同理 AN= ，且 MNCD而 AC= R，CD=R故 MN：CD=AM ：ACMN= ，连接 OM、ON，有 OM=ON=R于是 cosMON=所以 M、N 两
13、点间的球面距离是 故选 A【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题12 （5 分） （2010 四川）设 abc 0，则 的最小值是（ ）A2 B4 C D5【考点】基本不等式菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】先把 整理成，进而利用均值不等式求得原式的最小值7【解答】解：=0+2+2=4当且仅当 a5c=0，ab=1，a（ab）=1 时等号成立如取 a= ，b= ，c= 满足条件故选 B【点评】本题主要考查了基本不等式的应用主要口考查了运用基本不等式求最值的问题二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）13 （4 分） （2010
14、四川） 的展开式中的第四项是 【考点】二项式定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用二项式的展开式的通项公式求出第 4 项【解答】解：T 4=故答案为：【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具14 （4 分） （2010 四川）直线 x2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A、B 两点，则|AB|= 2 【考点】直线与圆的位置关系菁优网版权所有【分析】可以直接求出 A、B 然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解【解答】解：圆心为（0，0） ，半径为 2 ，圆心到直线 x2y+5=0 的距离为 d= ，故 ，得|AB|=2 故答案为：2 【点评】本题考查
15、直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题815 （4 分） （2010 四川）如图，二面角 l 的大小是 60，线段 ABB l，AB 与 l 所成的角为 30则 AB 与平面 所成的角的正弦值是 【考点】平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C，在 内过 C 作 l 的垂线垂足为 D，连接AD，从而ADC 为二面角 l 的平面角，连接 CB，则ABC 为 AB 与平面 所成的角，在直角三角形 ABC 中求出此角即可【解答】解：过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C，在 内过 C 作 l 的垂线
16、垂足为 D连接 AD，有三垂线定理可知 ADl，故ADC 为二面角 l 的平面角，为 60又由已知，ABD=30连接 CB，则ABC 为 AB 与平面 所成的角设 AD=2，则 AC= ，CD=1AB= =4sinABC= ；故答案为 【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题16 （4 分） （2010 四川）设 S 为复数集 C 的非空子集若对任意 x，y S，都有x+y，x y，xy S，则称 S 为封闭集下列命题：集合 S=a+bi|（a，b 为整数，i 为虚数单位） 为封闭集；若 S 为封闭集，则一定有
17、0S；封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集，则满足 STC 的任意集合 T 也是封闭集其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集；复数的基本概念菁优网版权所有9【专题】计算题；综合题；压轴题；新定义【分析】由题意直接验证即可判断正误；令 x=y 可推出是正确的；找出反例集合S=0，即可判断的错误 S=0，T=0，1 ，推出 1 不属于 T，判断 是错误的【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合 S=a+bi|（a，b 为整数，i 为虚数单位）为封闭集， 正确当 S 为封闭集时，因为 xyS，取 x=y，得 0S，正确对于集合 S=
18、0，显然满足所有条件，但 S 是有限集，错误取 S=0，T=0，1 ，满足 STC，但由于 01=1 不属于 T，故 T 不是封闭集，错误【点评】本题考查复数的基本概念，集合的子集，集合的包含关系判断及应用，是中档题三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17 （12 分） （2010 四川）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“ 奖励一瓶”或“谢谢购买” 字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料（）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（）求中奖人数 的分布列及数学期望 E【考点】离散型随机变量及其分布列；随机事件菁优网版权所有【专题】
19、计算题【分析】 （1）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为 ，乙、丙没有中奖的概率为 ，相乘即可（2）中奖人数 的所有取值为 0，1，2，3，是二项分布B（3， ）【解答】解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那么P（A）=P（B ）=P（C）= ，P（ ）=P（A）P（ ）P（ ）= ，答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 （2） 的可能值为 0，1，2，3，P（=k）= （k=0，1，2，3）所以中奖人数 的分布列为 0 1 2 3P10E=0 +1 +2 +3 = 【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列
20、、二项分布及期望等知识同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力18 （12 分） （2010 四川）已知正方体 ABCDABCD的棱长为 1，点 M 是棱 AA的中点，点 O 是对角线 BD的中点（）求证：OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线；（）求二面角 MBCB的大小；（）求三棱锥 MOBC 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；转化思想【分析】 （）连接 AC，取 AC 中点 K，则 K 为 BD 的中点，连接 OK，证明MOAA，MO BDOM 是异面直线 AA和 BD都相交，即
21、可证明 OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线；（）取 BB中点 N，连接 MN，则 MN平面 BCCB，过点 N 作 NHBC于 H，连接MH，说明 MHN 为二面角 MBCB的平面角，解三角形求二面角 MBCB的大小；（）利用 VMOBC=VMOAD=VOMAD，求出 SMAD以及 O 到平面 MAD距离 h，即可求三棱锥 MOBC 的体积【解答】解：（）连接 AC，取 AC 中点 K，则 K 为 BD 的中点，连接 OK因为 M 是棱 AA的中点，点 O 是 BD的中点所以 AM所以 MO由 AAAK，得 MOAA因为 AKBD， AKBB，所以 AK平面 BDDB所以 AKBD所以 M
22、OBD11又因为 OM 是异面直线 AA和 BD都相交故 OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线（）取 BB中点 N，连接 MN，则 MN平面 BCCB过点 N 作 NHBC于 H，连接 MH则由三垂线定理得 BCMH从而，MHN 为二面角 MBCB的平面角MN=1，NH=BNsin45=在 RtMNH 中， tanMHN=故二面角 MBCB的大小为 arctan2（）易知，S OBC=SOAD，且 OBC 和 OAD都在平面 BCDA内点 O 到平面 MAD距离 h=VMOBC=VMOAD=VOMAD= SMADh=【点评】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等
23、基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力19 （12 分） （2010 四川） （） 证明两角和的余弦公式 C+：cos（+）=coscossinsin；由 C+推导两角和的正弦公式 S+：sin （+）=sincos+cossin（）已知ABC 的面积 ，且 ，求 cosC【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】 （）建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；由诱导公式 cos （ +） =sin（+）变形整理可得12
24、（） ，求出角 A 的正弦，再由 ，用 cosC=cos（A+B）求解即可【解答】解：（）如图，在直角坐标系 xOy 内做单位圆 O，并作出角 、 与，使角 的始边为 Ox，交O 于点 P1，终边交O 于 P2；角 的始边为 OP2，终边交O 于 P3；角 的始边为 OP1，终边交O 于 P4则 P1（1，0） ，P 2（cos，sin ）P3（cos （ +） ，sin（+ ） ） ，P 4（cos （ ） ，sin（ ） ）由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式，得cos（+）1 2+sin2（+）=cos （）cos 2+sin（） sin2展开并整理得：22cos（+ ）=2 2（
25、cos cossinsin）cos（+）=coscossinsin （4 分）由易得 cos（ ）=sin ，sin （ ）=cossin（+）=cos （+ ）=cos （ ）+（ ）=cos（ ）cos（ ） sin（ ）sin （）=sincos+cossin（6 分）（）由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c则 S= bcsinA= =bccosA=30A（0 ， ） ，cosA=3sinA又 sin2A+cos2A=1，sinA= ，cosA=由题意，cosB= ，得 sinB=cos（A+B ）=cosAcosB sinAsinB=故 cosC=cos（A+B ） =
26、cos（A+B）= （12 分）13【点评】本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力20 （12 分） （2010 四川）已知定点 A（1，0） ，F（2，0） ，定直线 l：x= ，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交E 于 B、C 两点，直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N （）求 E 的方程；（）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由【考点】圆与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】计算题；证明题；压轴题【分析】 （）设 P（x，y） ，欲求点
27、 P 的轨迹方程，只须求出 x，y 之间的关系式即可，结合题中条件：“动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍”利用距离公式即得；（）先分类讨论：当直线 BC 与 x 轴不垂直时；当直线 BC 与 x 轴垂直时，对于第种情形，设 BC 的方程为 y=k（x2） ，将直线的方程代入双曲线的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题对于第种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证【解答】解：（）设 P（x，y） ，则化简得 x2 =1（y 0） ；（）当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程为 y
28、=k（x2） （k0）与双曲线 x2 =1 联立消去 y 得（3k 2）x 2+4k2x（4k 2+3）=0由题意知 3k20 且0设 B（x 1，y 1） ，C（x 2，y 2） ，则14y1y2=k2（x 12） （x 22）=k 2x1x22（x 1+x2）+4 =k2（ +4）=因为 x1、x 21，所以直线 AB 的方程为 y= （x+1）因此 M 点的坐标为（ ） ，同理可得因此 = =0当直线 BC 与 x 轴垂直时，直线方程为 x=2，则 B（2，3） ，C（2，3）AB 的方程为 y=x+1，因此 M 点的坐标为（ ） ，同理可得因此 =0综上 =0，即 FMFN故以线段 M
29、N 为直径的圆经过点 F【点评】本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力21 （12 分） （2010 四川）已知数列a n满足 a1=0，a 2=2，且对任意 m、n N*都有a2m1+a2n1=2am+n1+2（mn） 2（1）求 a3，a 5；（2）设 bn=a2n+1a2n1（nN *） ，证明：b n是等差数列；（3）设 cn=（a n+1an）q n1（q0，nN *） ，求数列c n的前 n 项和 Sn【考点】数列递推式；数列的求和菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；转化思想【分析】 （1）欲求 a3，a 5 只需令 m=2，n=
30、1 赋值即可（2）以 n+2 代替 m，然后利用配凑得到 bn+1bn，和等差数列的定义即可证明（3）由（1） （2）两问的结果可以求得 cn，利用乘公比错位相减求c n的前 n 项和 Sn15【解答】解：（1）由题意，令 m=2，n=1，可得 a3=2a2a1+2=6再令 m=3，n=1，可得 a5=2a3a1+8=20（2）当 nN*时，由已知（以 n+2 代替 m）可得a2n+3+a2n1=2a2n+1+8于是a 2（n+1 ）+1 a2（n+1）1 （ a2n+1a2n1）=8即 bn+1bn=8所以b n是公差为 8 的等差数列（3）由（1） （2）解答可知b n是首项为 b1=a3
31、a1=6，公差为 8 的等差数列则 bn=8n2，即 a2n+1a2n1=8n2另由已知（令 m=1）可得an= （n 1） 2那么 an+1an= 2n+1= 2n+1=2n于是 cn=2nqn1当 q=1 时，S n=2+4+6+2n=n（n+1）当 q1 时，S n=2q0+4q1+6q2+2nqn1两边同乘以 q，可得qSn=2q1+4q2+6q3+2nqn上述两式相减得（1q） Sn=2（1+q+q 2+qn1）2nq n=2 2nqn=2所以 Sn=216综上所述，S n= 【点评】本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力
32、同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法22 （14 分） （2010 四川）设 ，a0 且 a1） ，g（x）是 f（x）的反函数（）设关于 x 的方程求 在区间2，6上有实数解，求 t 的取值范围；（）当 a=e， e 为自然对数的底数）时，证明： ；（）当 0a 时，试比较| |与 4 的大小，并说明理由【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；函数与方程的综合运用；不等式菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；压轴题；转化思想【分析】 （）求出 g（x） ， 在2，6上有实数解，求出 t 的表达式，利用导数确定 t 的范围；（）a=e 求出 ，利用导数推出是增函数，求出最
33、小值，即可证明；（）利用放缩法，求出| |的取值范围，最后推出小于 4 即可【解答】解：（1）由题意，得 ax= 0故 g（x）= ，x（ ，1）（1，+ ）由 得 t=（x 1） 2（7x） ，x2，617则 t=3x2+18x15=3（x1） （x 5）列表如下：x2（2，5）5 （5，6）6 t + t 5递增极大值 32 递减 25 所以 t 最小值 =5，t 最大值 =32所以 t 的取值范围为5，32 （5 分）（）=ln（ ）=ln令 u（z）= lnz2 =2lnz+z ，z0则 u（z ）= =（1 ） 20所以 u（z）在（0，+）上是增函数又因为 10，所以 u（ ）u（1）=0即 ln 0即 （9 分）（3）设 a= ，则 p1，1f（1）= 3，当 n=1 时，|f（ 1）1|= 24，当 n2 时，设 k2，kN *时，则 f（k）= ，18=1+所以 1f（k）1+ ，从而 n1 n1+ =n+1 n+1，所以 n f（1） +n+1n+4，综上所述，总有| n|4【点评】本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力
