1、2012 年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2012四川） （ 1+x） 7的展开式中 x2的系数是（ ）A42 B35 C28 D212 （5 分） （2012四川）复数 =（ ）A1 B 1Ci D i3 （5 分） （2012四川）函数 在 x=3 处的极限是（ ）A不存在 B等于 6 C等于 3 D等于 04 （5 分） （2012四川）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE=1，连接 EC、ED则 sinCED=（ ）ABCD5 （5 分） （2012四川）函数 的图象可能是（ ）AB
2、CD6 （5 分） （2012四川）下列命题正确的是（ ）A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7 （5 分） （2012四川）设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ）ABCD且8 （5 分） （2012四川）已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点M（2，y 0） 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|=（ ）ABC4 D9 （5 分） （2012四
3、川）某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 1 千克每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、B 原料都不超过12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A1800 元 B2400 元 C2800 元 D3100 元10 （5 分） （2012四川）如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 内，过点 O 作平面 的垂线交半球面于点 A，过圆 O 的直径 CD
4、作平面 成 45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为 B，该交线上的一点 P 满足BOP=60，则 A、P 两点间的球面距离为（ ）ABCD11 （5 分） （2012四川）方程 ay=b2x2+c 中的 a，b，c 3，2，0，1，2，3，且 a，b，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A60 条 B62 条 C71 条 D80 条12 （5 分） （2012四川）设函数 f（x）=2x cosx，a n是公差为 的等差数列，f（a 1）+f（a 2）+f（a 5）=5 ，则 =（ ）A0 BCD2、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分
5、，共 16 分把答案填在答题纸的相应位置上 ）13 （4 分） （2012四川）设全集 U=a，b，c，d，集合 A=a，b，B=b，c，d，则（ UA）（ UB）= _ 14 （4 分） （2012四川）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是 CD、CC 1的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 _ 15 （4 分） （2012四川）椭圆 的左焦点为 F，直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B，当FAB的周长最大时，FAB 的面积是 _ 16 （4 分） （2012四川）记 x为不超过实数 x 的最大整数，例如，2=2，1.5=1，0.3= 1设 a为正整数
6、，数列x n满足 x1=a， ，现有下列命题：当 a=5 时，数列x n的前 3 项依次为 5，3，2；对数列x n都存在正整数 k，当 nk 时总有 xn=xk；当 n1 时， ；对某个正整数 k，若 xk+1xk，则 其中的真命题有 _ （写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （12 分） （2012四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和 B，系统A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 p（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求 p 的值；（）设系统 A 在 3
7、 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的概率分布列及数学期望 E18 （12 分） （2012四川）函数 f（x）=6cos 2 sinx3（0）在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B、C 为图象与 x 轴的交点，且ABC 为正三角形（）求 的值及函数 f（x）的值域；（）若 f（x 0）= ，且 x0（ ） ，求 f（ x0+1）的值19 （12 分） （2012四川）如图，在三棱锥 PABC 中，APB=90，PAB=60，AB=BC=CA，平面PAB平面 ABC（）求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小；（）求二面角 BAPC 的大小20 （12 分） （
8、2012四川）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a2an=S2+Sn对一切正整数 n 都成立（）求 a1， a2的值；（）设 a1 0，数列 的前 n 项和为 Tn，当 n 为何值时，T n最大？并求出 Tn的最大值21 （12 分） （2012四川）如图，动点 M 到两定点 A（1，0） 、B（2，0）构成 MAB，且MBA=2MAB，设动点 M 的轨迹为 C（）求轨迹 C 的方程；（）设直线 y=2x+m 与 y 轴交于点 P，与轨迹 C 相交于点 Q、R，且|PQ| |PR|，求 的取值范围22 （14 分） （2012四川）已知 a 为正实数，n 为自然数，抛物线 与 x 轴正
9、半轴相交于点A，设 f（n）为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距（）用 a 和 n 表示 f（n ） ；（）求对所有 n 都有 成立的 a 的最小值；（）当 0a 1 时，比较 与 的大小，并说明理由2012 年四川省高考数学试卷（理科）答案解析一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2012四川） （1+x） 7的展开式中 x2的系数是（ ）A 42 B 35 C 28 D 21分析： 由题设，二项式（1+x） 7，根据二项式定理知，x 2项是展开式的第三项，由此得展开式中 x2的系数是 ，计算出答案即可得出正确选项解答： 解：由题意，二项式（
10、1+x） 7的展开式通项是 Tr+1= xr故展开式中 x2的系数是 =21故选 D点评： 本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键2 （5 分） （2012四川）复数 =（ ）A 1 B 1 C i D i分析： 由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项解答：解：由题意得，故选 B点评： 本题考查复合代数形式的混合运算，解题的关键是根据复数的运算规则化简分子3 （5 分） （2012四川）函数 在 x=3 处的极限是（ ）A 不存在 B 等于 6 C 等于 3 D 等于 0分析： 对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案解答：解：
11、=x+3； f（x）= （ ）=6；而 f（x）= ln（x2）=0即左右都有极限，但极限值不相等故函数 在 x=3 处的极限不存在故选：A点评： 本题主要考察函数的极限及其运算分段函数在分界点处极限存在的条件是：两段的极限都存在，且相等4 （5 分） （2012四川）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE=1，连接 EC、ED 则 sinCED=（ ）A B C D考点： 两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义1973858专题： 计算题分析： 由题意，可得CED=AEDAEC，根据图象可得 tanAED=1，tanAEC= ，从而有tanCED=tan（A
12、EDAEC）= = = ，再由三角函数的定义即可求出sinCED 选出正确选项解答： 解：由题设及图知CED=AEDAEC，又正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE=1tanAED=1，tanAEC=tanCED=tan（AEDAEC）= = =由图知，可依 EC 所在直线为 X 轴，以垂直于 EC 的线向上的方向为 Y 轴建立坐标系，又CED 锐角，由三角函数的定义知，CED 终边一点的坐标为（3，1） ，此点到原点的距离是故 sinCED= =故选 B点评： 本题考查任意角三角函数的定义及两角各与差的正切函数，解题的关键是根据图象求出 tanCED，本题综合考查了正切
13、的差角公式及三角函数的定义，综合性强，知识性强，题后要注意总结做题的规律5 （5 分） （2012四川）函数 的图象可能是（ ）A B C D考点： 指数函数的图像变换1973858专题： 计算题分析： 根据指数函数的图象变换以及指数函数的单调性和特殊点，分 a1 和 1a0 两种情况，结合所给的各个选项，排除不符合条件的选项，从而得到结论解答： 解：函数 可以看成把函数 y=ax的图象向下平移 个单位得到的当 a1 时，函数 是增函数，图象过点（0，1 ） ，且 11 0，故排除 A、B当 1a0 时，函数 是减函数，图象过点（0，1 ） ，且 1 0，故排除 C，故选 D点评： 本题主要考
14、查指数函数的单调性和特殊点的应用，指数函数的图象变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题6 （5 分） （2012四川）下列命题正确的是（ ）A 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点： 命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系1973858专题： 证明题分析： 利用直线与平面所成的角的定义，可排除 A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除 B；利用线面平行的判定定理和性质
15、定理可判断 C 正确；利用面面垂直的性质可排除 D解答： 解：A，若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面；排除 A；B，若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，排除 B；C，设平面 =a，l，l，由线面平行的性质定理，在平面 内存在直线 bl，在平面 内存在直线 cl，所以由平行公理知 bc，从而由线面平行的判定定理可证明 b，进而由线面平行的性质定理证明得 ba，从而 la；故 C 正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除 D；故选 C点评： 本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面
16、面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题7 （5 分） （2012四川）设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ）A B C D 且考点： 充分条件1973858专题： 证明题分析： 利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件解答：解： 与 共线且同向 且 0，故选 C点评： 本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题8 （5 分） （2012四川）已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M（2，y 0） 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|=（ ）A B C 4 D考点
17、： 抛物线的简单性质1973858专题： 计算题分析： 关键点 M（2，y 0）到该抛物线焦点的距离为 3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点 M 的坐标，由此可求|OM|解答： 解：由题意，抛物线关于 x 轴对称，开口向右，设方程为 y2=2px（p0）点 M（2，y 0）到该抛物线焦点的距离为 3，2+ =3p=2抛物线方程为 y2=4xM（2，y 0）|OM|=故选 B点评： 本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程9 （5 分） （2012四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2
18、千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 1800 元 B 2400 元 C 2800 元 D 3100 元考点： 简单线性规划1973858专题： 应用题分析： 根据题设中的条件可设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可解答： 解：设分别生产甲乙两种产品为 x 桶，y 桶，利润为
19、y 元则根据题意可得 ，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线 L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由 可得 x=y=4，此时 z 最大 z=2800点评： 本题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件10 （5 分） （2012四川）如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 内，过点 O 作平面 的垂线交半球面于点 A，过圆 O 的直径 CD 作平面 成 45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 的距离最大的点为 B，该交线上的一点 P 满足BOP=60，则 A、P 两点间的球面距离
20、为（ ）A B C D考点： 反三角函数的运用；球面距离及相关计算1973858专题： 计算题分析： 由题意求出 AP 的距离，然后求出AOP，即可求解 A、P 两点间的球面距离解答： 解：半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 内，过点 O 作平面 的垂线交半球面于点 A，过圆 O 的直径CD 作平面 成 45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 的距离最大的点为 B，所以 CD平面AOB，因为BOP=60，所以OPB 为正三角形，P 到 BO 的距离为 PE= ，E 为 BQ 的中点，AE= ，AP= = ，AP2=OP2+OA22OPOAcosAOP， ，cosAOP= ， AO
21、P=arccos ，A、P 两点间的球面距离为 ，故选 A点评： 本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力11 （5 分） （2012四川）方程 ay=b2x2+c 中的 a，b，c3，2，0，1，2，3，且 a，b，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A 60 条 B 62 条 C 71 条 D 80 条考点： 排列、组合及简单计数问题1973858专题： 综合题分析： 方程变形得 ，若表示抛物线，则 a0，b0，所以分 b=3，2，1，2，3 五种情况，利用列举法可解解答： 解：方程变形得 ，若表示抛物线，则 a0，b0，所以
22、分 b=3，2，1，2，3 五种情况：（1）当 b=3 时，a=2，c=0，1，2，3 或 a=1，c=2，0，2，3 或 a=2，c=2，0，1，3 或a=3，c=2，0，1，2；（2）当 b=3 时，a=2，c=0，1，2，3 或 a=1，c=2，0，2，3 或 a=2，c=2，0，1，3 或a=3，c=2，0，1，2；以上两种情况下有 9 条重复，故共有 16+7=23 条；（3）同理当 b=2 或 b=2 时，共有 16+7=23 条；（4）当 b=1 时，a=3，c=2，0，2，3 或 a=2，c=3，0，2，3 或 a=2，c=3，2，0，3 或a=3，c=3，2，0，2；共有 1
23、6 条综上，共有 23+23+16=62 种故选 B点评： 此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的 9 条抛物线列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法要能熟练运用12 （5 分） （2012四川）设函数 f（x）=2xcosx，a n是公差为 的等差数列，f（a 1）+f（a 2）+f（a 5）=5，则 =（ ）A 0 B C D考点：数列与三角函数的综合1973858专题：计算题；综合题分析：由 f（x）=2xcosx，又a n是公差为 的等差数列，可求得 f（a 1）+f（a 2）+f（a 5）=10a 3cosa 3（1+ + ） ，由题意可求得 a3=，从而可求得
24、答案解答：解：f（x）=2xcosx，f（a 1）+f（a 2）+f（a 5）=2（a 1+a2+a5）（cosa 1+cosa2+cosa5） ，a n是公差为 的等差数列，a 1+a2+a5=5a3，由和差化积公式可得，cosa1+cosa2+cosa5=（cosa 1+cosa5）+（cosa 2+cosa4）+cosa 3=cos（a 3 2）+cos（a 3+ 2）+cos（a 3 ）+cos（a 3+ ）+cosa 3=2cos cos +2cos cos +cosa3=2cosa3 +2cosa3cos（ ）+cosa 3=cosa3（1+ + ） ，f（a 1）+f（a 2）+
25、f（a 5）=5，cosa 3=0，故 a3= ，= 2（ ）= 2= 故选 D点评：本题考查数列与三角函数的综合，求得 cosa3=0，继而求得 a3= 是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在答题纸的相应位置上 ）13 （4 分） （2012四川）设全集 U=a，b，c，d，集合 A=a，b，B=b，c，d，则（ UA）（ UB）= a，c，d 考点： 交、并、补集的混合运算1973858专题： 计算题分析： 由题意全集 U=a，b，c，d，集合 A=a，b，B=b，c，d，可先求出两集合 A，B 的补集，
26、再由并的运算求出（ UA）（ UB）解答： 解：集 U=a，b，c，d，集合 A=a，b，B=b，c，d，所以（ UA=c，d， UB=a，所以（ UA）（ UB）=a，c，d故答案为a，c，d点评： 本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则14 （4 分） （2012四川）如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，M、N 分别是 CD、CC 1的中点，则异面直线 A1M 与 DN所成的角的大小是 90 考点： 异面直线及其所成的角1973858专题： 计算题分析： 以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出 与 夹角求出异面直线 A1M
27、与 DN 所成的角解答： 解：以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为 2，则 D（0，0，0） ，N（0，2，1） ，M（0，1，0） ，A 1（2，0，2） ， =（0，2，1） ， =（2，1，2） =0，所以 ，即 A1MDN，异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 90，故答案为：90点评： 本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确否则容易由于计算失误而出错15 （4 分） （2012四川）椭圆 的左焦点为 F，直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B，当FAB 的周长最大时，FAB 的面积是 3
28、考点： 椭圆的简单性质1973858专题： 计算题分析： 先画出图象，结合图象得到FAB 的周长最大时对应的直线所在位置即可求出结论解答： 解：设椭圆的右焦点为 E如图：由椭圆的定义得：FAB 的周长：AB+AF+BF=AB+（2aAE）+（2aBE）=4a+ABAEBE；AE+BEAB；ABAEBE0，当 AB 过点 E 时取等号；AB+AF+BF=4a+ABAEBE4a；即直线 x=m 过椭圆的右焦点 E 时FAB 的周长最大；此时FAB 的高为：EF=2此时直线 x=m=c=1；把 x=1 代入椭圆 的方程得：y= AB=3所以：FAB 的面积等于：S FAB = 3EF= 32=3故答
29、案为：3点评： 本题主要考察椭圆的简单性质在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式16 （4 分） （2012四川）记x为不超过实数 x 的最大整数，例如，2=2，1.5=1，0.3=1设 a 为正整数，数列x n满足 x1=a， ，现有下列命题：当 a=5 时，数列x n的前 3 项依次为 5，3，2；对数列x n都存在正整数 k，当 nk 时总有 xn=xk；当 n1 时， ；对某个正整数 k，若 xk+1x k，则 其中的真命题有 （写出所有真命题的编号）考点： 命题的真假判断与应用1973858专题：
30、 证明题；新定义分析： 按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，列举即可；需举反例；可用数学归纳法加以证明；可由归纳推理判断其正误解答： 解：当 a=5 时，x 1=5，正确当 a=8 时，x 1=8，此数列从第三项开始为 3，2，3，2，3，2为摆动数列，故错误；当 n=1 时，x 1=a，a（ ）= 0，x 1=a 成立，假设 n=k 时， ，则 n=k+1 时， ， 对任意正整数 n，当 n1 时， ；正确； x k，由数列规律可知 一定成立故正确答案为点评： 本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，
31、需有较强的推理和思维能力三、解答题（本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （12 分） （2012四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和 B，系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 p（）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求 p 的值；（）设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的概率分布列及数学期望 E考点： 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列1973858专题： 计算题分析： （）求出“至少有一个系统不发生故障”
32、的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求 p 的值；（） 的所有可能取值为 0，1，2，3，求出相应的概率，可得 的分布列与数学期望解答： 解：（）设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，则 ；（） 的可能取值为 0，1，2，3P（=0）= ；P（=1）= ；P（=2）= = ；P（=3）= ； 的分布列为 0 1 2 3P数学期望 E=0 +1 +2 +3 =点评： 本题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题18 （12 分） （2012四川）函数 f（x）=6cos 2 sinx3（0）在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B、C
33、为图象与 x 轴的交点，且ABC 为正三角形（）求 的值及函数 f（x）的值域；（）若 f（x 0）= ，且 x0（ ） ，求 f（x 0+1）的值考点： 由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域1973858专题： 计算题；综合题分析： （）将 f（x）化简为 f（x）=2 sin（x+ ） ，利用正弦函数的周期公式与性质可求 的值及函数f（x）的值域；（）由 ，知 x0+ （ ， ） ，由 ，可求得即 sin（ x0+）= ，利用两角和的正弦公式即可求得 f（x 0+1） 解答： 解：（）由已知可得，f（x）=3cosx+ sinx=2 s
34、in（x+ ） ，又正三角形 ABC 的高为 2 ，从而 BC=4，函数 f（x）的周期 T=42=8，即 =8，= ，数 f（x）的值域为2 ，2 6 分（）f（x 0）= ，由（）有 f（x 0）=2 sin（ x0+ ）= ，即 sin（ x0+ ）= ，由 ，知 x0+ （ ， ） ，cos（ x0+ ）= = f（x 0+1）=2 sin（ x0+ + ）=2 sin（ x0+ ）+ =2 sin（ x0+ ）cos +cos（x0+ ）sin =2 （ + ）= 12 分点评： 本题考查由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查
35、分析转化与运算能力，属于中档题19 （12 分） （2012四川）如图，在三棱锥 PABC 中，APB=90，PAB=60，AB=BC=CA，平面 PAB平面ABC（）求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小；（）求二面角 BAPC 的大小考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角1973858分析： 解法一（）设 AB 中点为 D，AD 中点为 O，连接 OC，OP，CD可以证出OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角不妨设 PA=2，则 OD=1，OP= ，AB=4在 RTOCP 中求解（）以 O 为原点，建立空间直角坐标系，利用平面 APC
36、 的一个法向量与面 ABP 的一个法向量求解解法二（）设 AB 中点为 D，连接 CD以 O 为坐标原点，OB，OE，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz利用 与平面 ABC 的一个法向量夹角求解（）分别求出平面 APC，平面 ABP 的一个法向量，利用两法向量夹角求解解答： 解法一（）设 AB 中点为 D，AD 中点为 O，连接 OC，OP，CD因为 AB=BC=CA，所以 CDAB，因为APB=90，PAB=60，所以PAD 为等边三角形，所以 POAD，又平面 PAB平面 ABC，平面PAB平面 ABC=ADPO平面 ABC，OCP 为直线 PC 与平面 AB
37、C 所成的角不妨设 PA=2，则 OD=1，OP= ，AB=4所以 CD=2 ， OC= = =在 RTOCP 中，tanOCP= = = 故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan （）过 D 作 DEAP 于 E，连接 CE由已知，可得 CD平面 PAB根据三垂线定理知，CEPA所以CED 为二面角BAPC 的平面角由（）知，DE= ，在 RTCDE 中，tanCED= = =2，故二面角 BAPC 的大小为 arctan2解法二：（）设 AB 中点为 D，连接 CD因为 O 在 AB 上，且 O 为 P 在平面 ABC 内的射影，所以 PO平面 ABC，所以 POAB，
38、且 POCD因为 AB=BC=CA，所以 CDAB，设 E 为 AC 中点，则EOCD，从而 OEPO，OEAB如图，以 O 为坐标原点，OB，OE，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP= ，CD=2 ，所以 O（0，0，0） ，A（1，0，0） ，C（1，2 ，0） ，P（0，0， ） ，所以=（1 ，2 ， ） =（0，0， ）为平面 ABC 的一个法向量设 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角，则 sin= = = 故直线 PC 与平面 ABC所成的角大小为 arcsin（）由（）知， =（1 ，0，
39、 ） ， =（2，2 ，0） 设平面 APC 的一个法向量为 =（x，y，z） ，则由 得出 即 ，取 x= ，则 y=1，z=1，所以 =（ ，1，1） 设二面角 BAPC 的平面角为 ，易知 为锐角而面 ABP 的一个法向量为 =（0，1，0） ，则 cos= = = 故二面角 BAPC 的大小为 arccos 点评： 本题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力20 （12 分） （2012四川）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2an=S2+Sn对一切正整数 n 都成立（）求 a1，a 2的值；（）设
40、a10，数列 的前 n 项和为 Tn，当 n 为何值时，T n最大？并求出 Tn的最大值考点： 数列递推式；数列的函数特性；数列的求和1973858专题： 计算题分析： （I）由题意，n=2 时，由已知可得，a 2（a 2a 1）=a 2，分类讨论：由 a2=0，及 a20，分别可求 a1，a 2（II）由 a10，令 ，可知 = = ，结合数列的单调性可求和的最大项解答： 解：（I）当 n=1 时，a 2a1=s2+s1=2a1+a2当 n=2 时，得 得，a 2（a 2a 1）=a 2若 a2=0，则由（I）知 a1=0，若 a20，则 a2a 1=1联立可得 或综上可得，a 1=0，a
41、2=0 或 或（II）当 a10，由（I）可得当 n2 时， ， （n2） =令由（I）可知 = =b n是单调递减的等差数列，公差为 lg2b 1b 2b 7=当 n8 时，数列 的前 7 项和最大， = =7点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力21 （12 分） （2012四川）如图，动点 M 到两定点 A（1，0） 、B（2，0）构成MAB，且MBA=2MAB，设动点M 的轨迹为 C（）求轨迹 C 的方程；（）设直线 y=2x+m 与 y 轴交于点 P，与轨迹 C 相交于点 Q、R，且|PQ|
42、PR|，求 的取值范围考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题1973858专题： 综合题分析： （）设出点 M（x，y） ，分类讨论，根据MBA=2MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点 M的轨迹方程；（）直线 y=2x+m 与 3x2y 23=0（x1）联立，消元可得 x24mx+m 2+3=0，利用有两根且均在（1，+）内可知，m1，m2 设 Q，R 的坐标，求出 xR，x Q，利用 ，即可确定 的取值范围解答： 解：（）设 M 的坐标为（x，y） ，显然有 x0，且 y0当MBA=90时，点 M 的坐标为（2，3）当MBA90时，x2，由MBA=2MAB 有 ta
43、nMBA= ，化简可得 3x2y 23=0而点（2，3）在曲线 3x2y 23=0 上综上可知，轨迹 C 的方程为 3x2y 23=0（x1） ；（）直线 y=2x+m 与 3x2y 23=0（x1）联立，消元可得 x24mx+m 2+3=0有两根且均在（1，+）内设 f（x）=x 24mx+m 2+3， ，m1，m2设 Q，R 的坐标分别为（x Q，y Q） ， （x R，y R） ，|PQ|PR|，x R=2m+ ，x Q=2m ， = =m1，且 m2 ，且 ，且 的取值范围是（1，7）（7，7+4 ）点评： 本题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力
44、，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围22 （14 分） （2012四川）已知 a 为正实数，n 为自然数，抛物线 与 x 轴正半轴相交于点 A，设f（n）为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距（）用 a 和 n 表示 f（n） ；（）求对所有 n 都有 成立的 a 的最小值；（）当 0a1 时，比较 与 的大小，并说明理由考点： 圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用1973858专题： 综合题分析：（）根据抛物线 与 x 轴正半轴相交于点 A，可得 A（ ） ，进一步可求抛物线在点 A处的切线方程，从而可得 f（n） ；（）由（）知
45、 f（n）=a n，则 成立的充要条件是 an2n 3+1，即知，a n2n 3+1 对所有 n 成立，当 a= ，n3 时，a n4 n=（1+3） n2n 3+1，当 n=0，1，2 时， ，由此可得 a 的最小值；（）由（）知 f（k）=a k，证明当 0x1 时， ，即可证明：解答：解：（）抛物线 与 x 轴正半轴相交于点 A，A（ ）对 求导得 y=2x抛物线在点 A 处的切线方程为 ，f（n）为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距，f（n）=a n；（）由（）知 f（n）=a n，则 成立的充要条件是 an2n 3+1即知，a n2n 3+1 对所有 n 成立，特别的，取
46、n=2 得到 a当 a= ，n3 时，a n4 n=（1+3）n1+ =1+2n3+ 2n 3+1当 n=0，1，2 时，a= 时，对所有 n 都有 成立a 的最小值为 ；（）由（）知 f（k）=a k，下面证明：首先证明：当 0x1 时，设函数 g（x）= x（x 2x） +1，0x1，则 g（x）= x（x ）当 0x 时， g（x）0；当 时，g（x）0故函数 g（x）在区间（0，1）上的最小值 g（x） min=g（ ）=0当 0x1 时，g（x）0，由 0a1 知 0a k1，因此 ，从而 = = =点评： 本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题
