1、12009 年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） （2009 四川）设集合 S=x|x|5 ，T=x|x 2+4x210 ，则 ST=（ ）Ax|7x 5 Bx|3 x5 Cx| 5x3 Dx|7x5【考点】其他不等式的解法；交集及其运算菁优网版权所有【分析】由绝对值的意义解出集合 S，再解出集合 T，求交集即可【解答】解：由 S=x|5x5，T=x| 7x3 故 ST=x|5x3 ，故选 C【点评】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题2 （5 分） （2009 四川）已知函数
2、 连续，则常数 a 的值是（ ）A2 B3 C4 D5【考点】导数的运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据 x=2 的左右极限和 x=2 时的函数值，结合函数在一点处的连续性的定义求解【解答】解：由题意得：= =4，又 f（2）=a+log 22=a+1，由函数在一点处的连续性的定义知 f（2）= ，故 a+1=4，解得 a=3故选 B【点评】本小题考查分段函数的连续性，是简单的基础题函数 f（x）在点 x0 连续的充要条件是：函数 f（x）在点 x0 既是右连续，又是左连续3 （5 分） （2009 四川）复数 的值是（ ）A1 B1 C i Di2【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网
3、版权所有【专题】计算题【分析】本题是一个复数的运算，包括除法和乘方，解题时要先计算分子上的乘方，再计算除法，注意虚数单位 i 的运算性质【解答】解： = =1，原式 =1故选 A【点评】本题是一个复数的运算，包括除法和乘方运算，实际上是复数的除法运算，解题时只要分子和分母同乘以分母的共轭复数，就可以得到结果4 （5 分） （2009 四川）已知函数 f（x）=sin（x ） （x R） ，下面结论错误的是（ ）A函数 f（x）的最小正周期为 2B函数 f（x）在区间0， 上是增函数C函数 f（x）的图象关于直线 x=0 对称D函数 f（x）是奇函数【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇
4、偶性；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性菁优网版权所有【专题】常规题型【分析】先利用三角函数的诱导公式化简 f（x） ，利用三角函数的周期公式判断出 A 对；利用余弦函数图象判断出 B；利用三角函数的奇偶性判断出 C，D 【解答】解：y=sin（x ） =cosx，T=2 ，A 正确；y=cosx 在0， 上是减函数，y=cosx 在0， 上是增函数，B 正确；由图象知 y=cosx 关于直线 x=0 对称，C 正确y=cosx 是偶函数， D 错误故选 D【点评】本题考查三角函数的诱导公式；三角函数的周期公式；三角函数的奇偶性5 （5 分） （2009 四川）如图，已知六棱锥 PABCDEF
5、 的底面是正六边形，PA 平面ABC，PA=2AB 则下列结论正确的是（ ）3APBADB平面 PAB平面 PBCC直线 BC平面 PAED直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质菁优网版权所有【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案【解答】解：AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直，所以 A 不成立，又，平面 PAB平面 PAE，所以平面 PAB平面 PBC 也不成立； BCAD平面 PAD，直线 BC平面 PAE 也不成立在 RtPAD 中，PA=AD=2AB， PDA=45，故选 D【点评】本题考查直线与平面
6、成的角、直线与平面垂直的性质6 （5 分） （2009 四川）已知 a，b，c ，d 为实数，且 c d则“ ab”是“ acb d”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式菁优网版权所有【分析】由题意看命题“ab”与命题“acb d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断【解答】解：ac bd，cd 两个同向不等式相加得 ab但 cd，aba cbd例如 a=2，b=1，c= 1，d=3 时，a cb d故选 B【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是
7、一道基础题7 （5 分） （2009 四川）已知双曲线 的左、右焦点分别是 F1、F 2，其一条渐近线方程为 y=x，点 在双曲线上、则 =（ ）4A12 B2 C0 D4【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出 a，b 的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出 F1、F 2，及 P 点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解【解答】解：由渐近线方程为 y=x 知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是 x2y2=2，于是两焦点坐标分别是 F1（2，0）和 F2（2，0） ，且 或 、不妨令 ，则 ， =故选 C【点
8、评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与 a，b，c 的关系） ，求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算8 （5 分） （2009 四川）如图，在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点，ABC=90，BA=BC，球心 O 到平面 ABC 的距离是 ，则 B、C 两点的球面距离是（ ）A B C D2【考点】球的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】欲求 B、C 两点的球面距离，即要求出球心角BOC，将其置于三角形 BOC 中解决【解答】解：AC 是小圆的直径所以过球心 O 作小圆的垂
9、线，垂足 O是 AC 的中点OC= ，AC=3 ，BC=3，即 BC=OB=OC ，5则 B、C 两点的球面距离= 故选 B【点评】高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度在球的问题解答时，有时若能通过构造加以转化，往往能化难为易，方便简洁解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系9 （5 分） （2009 四川）已知直线 l1：4x3y+6=0 和直线 l2：x= 1，抛物线 y2=4x 上一动点P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是（ ）A2 B3 C D【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】先确定 x
10、=1 为抛物线 y2=4x 的准线，再由抛物线的定义得到 P 到 l2 的距离等于 P到抛物线的焦点 F（l 2，0）的距离，进而转化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得 P 到点F（l 2，0）和直线 l2 的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值【解答】解：直线 l2：x= 1 为抛物线 y2=4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F（l 2，0）的距离，故本题化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F（ l2，0）和直线 l2 的距离之和最小，最小值为 F（l 2，0）到直线 l1：4x3y+6=0 的距离，
11、即 d= ，故选 A【点评】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用圆锥曲线是高考的热点也是难点问题，一定要强化复习10 （5 分） （2009 四川）某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过13 吨、B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是（ ）A12 万元 B20 万元 C25 万元 D27 万元【考点】简单线性规划的应用菁优网版权所有【专题】应用题；压轴
12、题【分析】先设该企业生产甲产品为 x 吨，乙产品为 y 吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设 z=5x+3y，再利用 z 的几何意义求最值，只需求出直线 z=5x+3y 过可行域内的点时，从而得到 z 值即可6【解答】解：设该企业生产甲产品为 x 吨，乙产品为 y 吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立 解得由图可知，最优解为 P（3，4） ，z 的最大值为 z=53+34=27（万元） 故选 D【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件 由约束条件画出可行域分析目标函数 Z 与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到
13、现实问题中11 （5 分） （2009 四川）2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A60 B48 C42 D36【考点】排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在 A、B 之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙【解答】解：从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A， （A 共有 C32A22=6 种不同排法） ，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲
14、必须在 A、B 之间（若甲在 A、B 两端则为使 A、B 不相邻，只有把男生乙排在 A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 62=12 种排法（A 左 B 右和 A 右 B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，共有 124=48 种不同排法故选 B【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题12 （5 分） （2009 四川）已知函数 f（x）是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 xf（x+1 ）=（1+x）f（x） ，则 的值是（ ）7A
15、0 B C1 D【考点】函数的值；偶函数菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】从 xf（x+1 ）= （1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由 依此求解【解答】解：若 x0，则有 ，取 ，则有：f（ x）是偶函数，则由此得于是，故选 A【点评】本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）13 （4 分） （2009 四川） 的展开式的常数项是 20 （用数字作答）【考点】二项式系数的性质菁优网版权所有【分析】利用二项展开式的通项公式求
16、出第 r+1 项，令 x 的指数为 0 求得常数项【解答】解： ，令 62r=0，得 r=3故展开式的常数项为（1） 3C63=20故答案为20【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具14 （4 分） （2009 四川）若 O1：x 2+y2=5 与O 2：（x m） 2+y2=20（m R）相交于A、B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 4 8【考点】圆的标准方程；两条直线垂直的判定菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】画出草图，O 1AAO2，有勾股定理可得 m 的值，再用等面积法，求线段 AB 的长度【解答】解：由题 O1（0， 0）与
17、O2：（m ，0），O 1AAO2，m=5AB=故答案为：4【点评】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题15 （4 分） （2009 四川）如图所示，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各条棱长都相等，M 是侧棱 CC1 的中点，则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是 90 【考点】异面直线及其所成的角菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由题意设棱长为 a，补正三棱柱 ABCA2B2C2，构造直角三角形 A2BM，解直角三角形求出 BM，利用勾股定理求出 A2M，从而求解【解答】解：设棱长为 a，补正三棱柱 ABCA2B2C2（如图） 平移 AB1 至 A2B
18、，连接 A2M，MBA 2 即为 AB1 与 BM 所成的角，在A 2BM 中， A2B= a，BM= = a，A2M= = a，A2B2+BM2=A2M2，MBA2=90故答案为 909【点评】此题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做16 （4 分） （2009 四川）设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合，对于映射，记 的象为 若映射 f：V V 满足：对所有 及任意实数 ， 都有 ，则 f 称为平面 M 上的线性变换现有下列命题：设 f 是平面 M 上的线性变换，则对 设 ，则 f 是平面 M 上的线性变换；若 是平面 M 上的单位向量，对 设 ，则
19、 f 是平面 M 上的线性变换；设 f 是平面 M 上的线性变换， ，若 共线，则 也共线其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【考点】映射；平行向量与共线向量菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】本题考查的知识点的演绎推理，由已知中，若映射 f：V V 满足：对所有及任意实数 ， 都有 ，则 f 称为平面M 上的线性变换我们根据其定义对题目中的四个结论进行判断，即可得到结论【解答】解：令 = = ，=1，由题有 f（ ）=2f（ ） f（ ）= ，故 正确；由题 f（ + ）=2（ + ） ，f（ ） +f（ ）=2 +2 ）=2（ + ） ，10即 f（ + ）=f（ ）+f（ ） ，故 正
20、确；由题 f（ + ）= + ，f（ ） +f（ ）= + ， ，即 f（ + f（ ）+f（ ） ，故不正确；由题 = ，f （ ）=f（ ）=f（ ）f（ ） f（ ）= f（ ） ，即 f（ ） ，f （ ）也共线，故正确；故答案为：【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的子集，那么 S 中所有元素都具有性质 P三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的
21、内在联系，从而产生了第三个判断结论演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论三、解答题（共 6 小题，满分 74 分）17 （12 分） （2009 四川）在 ABC 中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且 cos2A= ，sinB= （1）求 A+B 的值；（2）若 ab= 1，求 a、b、c 的值【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用菁优网版权所有【分析】 （1）根据同角三角函数的基本关系可得 cosB 的值，再由余弦函数的二倍角公式可得 s
22、inA 和 cosA 的值，最后根据两角和的余弦公式可得答案（2）根据（1）可求出角 C 的值，进而得到角 C 的正弦值，再由正弦定理可求出 abc 的值【解答】解：（1）A、B 为锐角， sinB= ，cosB= = 又 cos2A=12sin2A= ，sinA= ，cosA= = cos（A+B ）=cosAcosB sinAsinB= = 110 A+B，A+B= （2）由（1）知 C= ，sinC= 由正弦定理 = = 得a= b= c，即 a= b，c= bab= 1， bb= 1，b=1 a= ， c= 【点评】本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正
23、弦定理等基础知识及基本运算能力18 （12 分） （2009 四川）为了让更多的人参与 2010 年在上海举办的“ 世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为 2000 万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡） ，向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡） 现有一个由 36 名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中 是境外游客，其余是境内游客在境外游客中有 持金卡，在境内游客中有 持银卡（）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；（）在该团的境内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 E【考点】离
24、散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】 （）由题意得，境外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；境内游客有 9 人，其中 6人持银卡记出事件，表示出事件的概率，根据互斥事件的概率公式，得到结论（）在该团的境内游客中随机采访 3 名游客，其中持银卡人数为随机变量 ，则得到 的可能取值，做出变量在不同取值时对应的概率，写出分布列和期望【解答】解：（）现有一个由 36 名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中 是境外游客，其余是境内游客由题意得，境外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；境内游客有 9 人，其中 6 人持银卡设事件 B 为“采访该团 3
25、 人中，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” ，事件 A1 为“采访该团 3 人中， 1 人持金卡，0 人持银卡”，事件 A2 为“采访该团 3 人中， 1 人持金卡，1 人持银卡”P（B） =P（A 1）+P（A 2）=12=所以，在该团中随机采访 3 人，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 （） 的可能取值为 0，1，2，3P（=0）= ；，P（=1）= P=（=2）= ，P （=3）= ，所以 的分布列为 0 1 2 3PE= 【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的
26、格式19 （12 分） （2009 四川）如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，ABE 是等腰直角三角形， AB=AE，FA=FE， AEF=45（I）求证：EF平面 BCE；（）设线段 CD、AE 的中点分别为 P、M，求证：PM平面 BCE；（）求二面角 FBDA 的大小【考点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】 （1）欲证 EF平面 BCE，根据线面垂直的判定定理可知只需证EFBE，BCEF，BC BE=B，根据条件很显然；（2）取 BE 的中点 N，连接 CN，MN，易证
27、PMCN，根据线面平行的判定定理很快得证；13（3）作 FGAB，交 BA 的延长线于 G，作 GHBD 于 H，连接 FH，易证FHG 为二面角FBDA 的平面角，在 RtFGH 中求出此角即可【解答】解：因为平面 ABEF平面 ABCD，BC平面 ABCD，BCAB，平面 ABEF平面ABCD=AB，所以 BC平面 ABEF所以 BCEF因为ABE 为等腰直角三角形， AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45，所以FEB=90，即 EFBE因为 BC平面 ABCD，BE平面 BCE，BCBE=B所以 EF平面 BCE（ II）取 BE 的中点 N，连接 CN，MN，则 MN= =P
28、CPMNC 为平行四边形，所以 PMCNCN 在平面 BCE 内，PM 不在平面 BCE 内，PM平面 BCE（III）由 EAAB，平面 ABEF平面 ABCD，易知 EA平面 ABCD、作 FGAB，交 BA 的延长线于 G，则 FGEA、从而 FG平面 ABCD，作 GHBD 于 H，连接 FH，则由三垂线定理知 BDFH、FHG 为二面角 FBDA 的平面角、FA=FE，AEF=45，AEF=90，FAG=45、设 AB=1，则 AE=1，AF= ，则在 RtBGH 中， GBH=45，BG=AB+AG=1+ = ，在 RtFGH 中， ，二面角 FBDA 的大小为14【点评】本题主要
29、考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题20 （12 分） （2009 四川）已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F 2，离心率 ，右准线方程为 x=2（1）求椭圆的标准方程；（2）过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M、N 两点，且 ，求直线 l 的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】 （1）由已知得 ，解得 ，由此能得到所求椭圆的方程（2）由题意知 F1（ 1，0） 、F 2（1，0） ， 若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=1，由 得设 、 ，这与已知
30、相矛盾若直线 l 的斜率存在，设直线直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k（x+1） ，设M（x 1，y 1） 、N（x 2，y 2） ，联立 ，消元得（1+2k 2）x 2+4k2x+2k22=0再由根与系数的关系进行求解15【解答】解：（1）由已知得 ，解得 所求椭圆的方程为（ 2）由（1）得 F1（ 1，0） 、F 2（1，0）若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=1，由 得设 、 ， ，这与已知相矛盾若直线 l 的斜率存在，设直线直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k（x+1） ，设 M（x 1，y 1） 、N（x 2，y 2） ，联立 ，消元
31、得（1+2k 2）x 2+4k2x+2k22=0 ， 又化简得 40k423k217=0解得 k2=1 或 k2= （舍去）16k=1所求直线 l 的方程为 y=x+1 或 y=x1【点评】本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，合理解答21 （12 分） （2009 四川）已知 a0 且 a1，函数 f（x）=log a（1a x） （1）求函数 f（x）的定义域，并判断 f（x）的单调性；（2）若 nN*，求 ；（3）当 a=e（ e 为自然对数的底数）时，设 h（x）= （1e f（x） ） （x 2m+1） 若函数的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 h（x）的极值【
32、考点】利用导数研究函数的极值；对数函数的定义域；对数函数的单调区间；极限及其运算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】 （1）据对数函数的真数大于 0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于 0 函数得到递增；导函数小于 0 函数单调递减（2）求出 f（n）代入极限式，利用特殊函数的极限值求出极限（3）求出导函数，令导函数为 0，导函数是否有根进行分类讨论；导函数的根是否在定义域内再一次引起分类讨论，利用极值的定义求出极值【解答】解：（1）由题意知，1a x 0所以当 0a1 时，f （x）的定义域是（0，+） ，a1 时，f （x）的定义域是（ ，0） ，f（x）= =当 0
33、a1 时，x（0，+） ，因为 ax10，a x0，故 f（x）0，所以 f（x）是减函数当 a1 时，x （，0） ，因为 ax10，a x0，故 f（x ）0，所以 f（x）是减函数（2）因为 f（n）=log a（1a n） ，所以 af（n） =1an，由函数定义域知 1an0，因为 n 是正整数，故 0a1，所以 = （3）h（x）=e x（x 2m+1） （ x0） ，所以 h（x）=e x（x 2+2xm+1） ，令 h（x）=0，即x2+2xm+1=0，由题意应有 0，即 m017当 m=0 时，h （x）=0 有实根 x=1，在 x=1 点左右两侧均有 h（x）0，故 h（x
34、）无极值当 0m1 时，h（x）=0 有两个实根 ， 当 x 变化时，h（x）的变化情况如下表：x （，x1）x1 （x 1，x 2）x2 （x 2，0）h（x） + 0 0 +h（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增 h（ x）的极大值为 ，h（x）的极小值为 当 m1 时，h（x）=0 在定义域内有一个实根 同上可得 h（x）的极大值为 综上所述，m（0，+）时，函数 h（x）有极值当 0m1 时，h（x）的极大值为 ，h（x）的极小值为当 m1 时，h（ x）的极大值为 【点评】本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性；利用导数研究函数的极值；在含参数的函数中需要分类讨论22 （14 分
35、） （2009 四川）设数列a n的前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有an=5Sn+1 成立，记 （）求数列b n的通项公式；（）记 cn=b2nb2n1（nN *） ，设数列c n的前 n 项和为 Tn，求证：对任意正整数 n 都有；（）设数列b n的前 n 项和为 Rn已知正实数 满足：对任意正整数 nRnn 恒成立，求 的最小值【考点】数列递推式；数列的求和；数列与不等式的综合菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题18【分析】 （）由题设条件能导出 an+1an=5an+1，即 ，所以 ， （）由 ，知=，当 n=1 时， ；当 n2 时，（）由 知 Rn=b1+b2+b2k+
36、1=4n1由此入手能推导出正实数 的最小值为 4【解答】解：（）当 n=1 时，a 1=5a1+1，又 an=5Sn+1，a n+1=5Sn+1+1an+1an=5an+1，即数列 an 成等比数列，其首项 ，公比是19（）由（）知=又 ，当 n=1 时，当 n2 时，=，故所证结论成立（）由（）知一方面，已知 Rnn 恒成立，取 n 为大于 1 的奇数时，设 n=2k+1（kN +）则 Rn=b1+b2+b2k+1=4n1nRn4n1，即（ 4）n 1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立204 否则， （4）n1 只对满足 的正奇数 n 成立，矛盾另一方面，当 =4 时，对一切的正整数 n 都有 Rn4n事实上，对任意的正整数 k，有=当 n 为偶数时，设 n=2m（m N+）则 Rn=（b 1+b2）+（b 3+b4）+（b 2n1+b2n）8m=4nw、w 、w、k、s 、5 、u、c、o、m当 n 为奇数时，设 n=2m1（ mN+）则 Rn=（b 1+b2）+（b 3+b4）+（b 2n3+b2n2）+b 2n18（m1）+4=8m4=4n对一切的正整数 n，都有 Rn4n综上所述，正实数 的最小值为 4【点评】本题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力
