1、 略论 期权的价格决定 A Brief Discussion About The Option Pricing 略论 期权 的价格决定 摘要： BS 期权定价的前提，是认为期权价格由 当前 股票价格、股票价格分布和到期时间唯一决定。本文计算了股票和期权的系统风险，认为在既定股票价格 及其分布、到期时间的情况下，只有价格核与股票 为完全相关 项 与 独立 随机 项 之组合 ，期 权价格才由股票 当前 价格、股票价格分布和到期时间唯一决定。在价格核不满足以上条件 的情况下，这种唯一关系不能成立。 关键词： 期权 定价 价格核 BS 模型 系统风险 一 问题的提出 美国金融的繁荣，推动了衍生品定价理
2、论的发展。而 美国次贷危机， 又 促使我们重新审视衍生品定价。 很多人私下认为，当前的金融危机，固然有金融监管不力的原因，但衍生品定价理论可能存在的问题，也是不可忽略的另一原因。 本论文试图深入期权定价理论的基础推导，来探讨这个问题。 布莱克和斯科尔斯的经典 期权 定价理论，奠定了当代衍生产品定价的理论基础 1。 此后，以价格核为基础的资产定价迅速发展起来。在金融理论上， BS 无套利定价和价格核定价，在本质上是相同的。也因此，从价格核定价得到的结果，与 BS 方程得到的结果完全相同。 但是，在仔细研究 各种方法后，本论文认为，既有期权定价方法，具有一定的局限性。其主要问题是 其前提假设的式子
3、期权价格 V(S,t)，能否真实表达期权价格决定的要素关系。 最基本的期权定价有 5 个假设条件。它们是： 1) 金融资产收益率服从对数正态分布； 2) 在期权有效期内 ，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3) 市场无摩擦，即不存在税收和交易成本； 4) 金融资产在期权有效期内无红利及其它所得 (该假设后被放弃 )； 5) 该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 下面，我们严格按照其假设条件来进行分析 ： 二 从价格核看期权定价 为了更 深入地了解期权定价的直观原理，本论文首先从价格核证明方法着手。 Lucas 于 1978 年提出了同质消费者的纯交换经济下的资产定价模型，这本质上就
4、是一个价格核模型 2。 其 假定 未来消费品和 资本品的生产格局既定， 但是消费者可以在自己的消费偏好下，通过货币来对消费品和资本品数量进行选择。当消费者当期选择资本品更多时，他未来可获得的消费品就更多，反之则更少。这样，消费品和资本品的生产流是既定的，消费者按照偏好却可自由选择。在供需角度来说，就是在 Lucas 定价中，产品供给既定，但产品需求可以调整。供需平衡的结果，是消费品和资本品的价格不断调整，以最后达到消费品和资本品市场的完全出清。此时消费品和资本品的价格，就是 Lucas 资产定价获得资产价格。 严格说来， Lucas 资产定价模型，并不是一般均衡模型， 而是局部均衡模型。因为在
5、这个模型中，假定供给是外生的，内生的只有需求。换句话说，一旦供给发生变化，确定的价格就不再有效。 不过， Lucas 资产定价模型可以推导出价格核的概念。在这个模型中， Lucas 推导出如下结论： 1t t tEmR (1) 上式中 tE 为 t 时期的期望， tm 为价格核 ， tR 为 t 时期的资产风险收益率 。在 Lucas 的消费者资产定价模型中， 价格核 是消费者效用函数、跨期消费数量以及消费者效用折现率的函数。 其经济含义是，下期边际消费效用 与本期边际消费效用之比，与消费贴现率的乘积。在模型假定的经济体系中，资产可以有无数个，但 由于消费者是同质的，所以价格核只有唯一一个。因
6、此，只要知道了 任何资产收益率与价格核的 协方差，就可以由 (1)式的恒等关系，推导出资产收益率的值。 这与 CAPM 的结论本质是一样的。因为 CAPM 中，资产均衡价格也取决于其收益率与市场平均收益率的协方差， 而市场平均收益率也是唯一的。 因此市场平均收益率也就起着价格核的作用。 价格核计算方法，并不仅仅适用于基础资产的价格计算，而且适用于衍生产品例如期权价格的计算 。“ The price of any security, regardless of how complicated the payoff structures is, can be calculated by simpl
7、y knowing the pricing kernel and the actual probabilities of future states.” 3。 所以也可以看出，使用 CAPM 的方法，来计算衍生品价格，也是正确的。事实上， Black 最初写出 BS 方程时，也明确表述 CAPM 是 BS 定价的前提。 “布莱克和斯科尔斯认为，他们的中心假设是 CAPM” 4。 在 cochrane 的 Asset Pricing 5中，明确给出了从价格核推导出 BS 期权定价模型的推导过程。 值得指出的是 ，在资产定价 的后来 历程中， CAPM 被种种理由认为是衍 生品定价的非必要条件，但
8、所有这些理由都赞同价格核方法可以推导出衍生品定价。因此这在根本上是矛盾的。甚至在当代中国的很多金融研究和教学中，认为 CAPM 与衍生品定价完全不是一个金融体系，因此不能统一在一起。这无疑是 由 对资产定价历史发展和根本原理的不了解所导致 的 。 因为 CAPM 本身事实上属于价格核方法的一类。 这样，如果我们把被定价资产与价格核之间的协方差定义为系统风险，被定价资产自身的方差定义为非系统风险，则无论是基础资产还是金融衍生品，其均衡价格都应当取决于系统风险，而并不取决于其自身的非系统风险。 三 期权 价格决定式 ：系统风险的对应关系 现在回头看期权的价格决定式。 在既有金融理论中，期权价格被写
9、为 ,VSt 形式。按照 经典 资产定价理论，由于股票价格中已经包含了市场系统风险信息，因此期权中不需要再特别包含市场系统风险。换句话说， ,VSt 的真正含义是 ,tV S m t ，并不需要写成 ,ttV S m m t的形式。 粗略一看，关于股票价格已经包含了系统风险的说法很有道理，但仔细分析，就发现其可能存在问题。 核心问题是：股票价格的系统风险，与期权的系统风险 是否单值映射。如果两个系统风险之间存在单值映射关系，则期权价格与股票价格也将单值映射 对应，则 可以写成 ,VSt形式。但如果一个股票价格可能对应多个期权价格，则说明期权价格中还有其它因素起决定作用， ,VSt 的写法就值得
10、斟酌。 下面本文就来分析股票和期权的系统风险，也就是计算两者与价 格核的协方差。 特别注意的是，以下推论均在股票自身价格分布不变的前提下进行。因为如果我们允许股票自身价格分布变化，那无疑就破坏了 BS 期权定价的前提。 令期权执行价格为 c ， 股票到期价格的分布密度函数为 fS，期权到期价格的分布密度函数为 fV， 股票与期权到期价格联合概率密度函数为 ,f VS ， 则到期时股票价格与价格核的协方差 为： 00c o v ,S m m E m S f m S d m d S (4) 到期时，期权价格与价格核的协方差为： 0c o v ,cV m m E m S c f m S d m d
11、S (5) 价格核和股票自身的概率分布不变条件： 0 ,f m S dm f S (6) 0 ,f m S dS f m (7) 因此 现在要解决的问题是，在 cov Sm 、 fS、 fm、 c 既定 ， ,f mS 未知 的情况下， 且满足以下方程组时 确定 cov Vm 的值的唯一性。 0000c ov ,Sm m E m Sf m S dm dSf m S dm f Sf m S dS f m (8) 使用反证法： 令在 Sc 时， ,f m S f m f S ，即两个概率 密度 相互独立，则由 (8)式 的第 1式 有： 00c o v ,cS m m E m S f m S d
12、m d S (9) 为了方便，将 (9)式变为离散形式： 1111c ov , , ,paj i j i aijpj i ijqj i jij i j iSm m E m S f m S S c pf m S f S pf m S f m qf m S f m f S i a (10) 从 (10)中可以看到， 第 1 个式子本身为 1 个方程；第 2 个式子中，等号右边的每个股票价格下标变化 1 个单位，就是一个新方程，因此一共有 p 个方程；第 3 个式子一共有 q 个方程；第 4 个式子 排除开股票价格大于期权执行价格部分，剩余的每个股票价格与价格核的下标组合，就为 1 个新方程，因此有
13、 q a p个方程。 这 样， (10)式中总的 方程个数为 11p q q a p p q p q a p ， 而未知数 ,jif m S有 pq 个。 当 p 时， 未知数个数大于方程组个数， 因此 (10)方程组有解 (但并不能保证是唯一解 )。 而当 Sc 时， ,f m S f m f S ，所以 cov 0Vm 。 因此，在任意 既定 连续 概率分布的 cov Sm 、 fS、 fm、 c 下，通过调整 价格核和股票价格的联合概率分布密度函数 ,f mS ，可以改变 covVm 的值 为 0。 当然这仅仅是一个反例，也可以改变 covVm 为其它值。 这说明，当股票自身的概率分布
14、fS既定，价格核自身的概率分布 fm既定，股票的系统风险 cov Sm 既定，股票的执行价格 c 既定时，由于股票局部概率分布与价格核的相关性发生变化，可能导致期权的系统风险 covVm 发生变化。 其实，直观上来说，道理很简单。股 票的系统风险，是股票所有局部概率分布与价格核的系统风险之总和；而期权的系统风险，则是 股票局部概率分布与价格核的系统风险。 在总和不变的情况下，局部发生改变，完全是可能的。 由于期权的系统风险发生变化，则期权的价格就会相 应发生变化。由此，股票价格和期权价格就无法形成单值映射 关系。 一个股票价格，可能对应无穷多的期权价格。 这样，由于股票和期权所包含的风险信息量
15、不同，期权价格写成 ,VSt 的形式就是值得商榷的。准确地应写为 ,V S mt 的形式。 四 具体计算例子 以上 的数学推论比较复杂，现在具体举一个例子说明如下： 为简单起见，我们假定股票价格 S 和价格核 m 各自均只有三个状态，即 联合概率分布如下表 1： 表 -1 S m 1 2 3 1 0 1/3 0 2 0 0 1/3 3 1/3 0 0 在表中， 股票价格 S 值为 1 时的概率为 1/3，值为 2 的概率为 1/3，值为 3 的概率为 1/3；同样，价格核 m 值为 1 时的概率为 1/3，值为 2 的概率为 1/3，值为 3 的概率为 1/3。 依据上表的联合概率分布， co
16、v Sm 的值为： 1c o v ( 1 2 ) ( 1 2 ) 0 ( 1 2 ) ( 2 2 ) ( 1 2 ) ( 3 2 ) 031( 2 2 ) ( 1 2 ) 0 ( 2 2 ) ( 2 2 ) 0 ( 2 2 ) ( 3 2 )31( 3 2 ) ( 1 2 ) ( 3 2 ) ( 2 2 ) 0 ( 3 2 ) ( 3 2 ) 0313Sm 若令 买进 期权的执行价格为 2，则只有当 S 等于 3 时， 期权才有收益。故： 1c ov ( 3 2) ( 1 2) ( 3 2) ( 2 2) 0 ( 3 2) ( 3 2) 0313Vm 现在，我们将 股票价格 S 和价格核 m
17、的联合概率分布改为如下表 2： 表 -2 S m 1 2 3 1 0 0 1/3 2 1/3 0 0 3 0 1/3 0 可以看到 表 2 中 ， 股票价格 S 和价格核 m 各自的值分布没有任何变化，当 S 值为 1 时，概率为 1/3，值为 2 时，概率为 1/3，值为 3 时，概率为 1/3，与表 1 完全相同 ； 价格核 m 的值分布也没有任何变化。产生变化的是 股票价格 S 和价格核 m 的联合概率分布。 现在我们来看 股票价格 S 和价格核 m 的协方差是否发生变化： 1c o v ( 1 2 ) ( 1 2 ) 0 ( 1 2 ) ( 2 2 ) 0 ( 1 2 ) ( 3 2
18、)31( 2 2 ) ( 1 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) 0 ( 2 2 ) ( 3 2 ) 031( 3 2 ) ( 1 2 ) 0 ( 3 2 ) ( 2 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) 0313Sm 可见，依据表 2 中的联合概率分布 ， 股票价格 S 和价格核 m 的系统风险与表 1 的系统风险是完全相同的，都是 -1/3。 显然，表 1 和表 2 完全满足条件：股票价格 S 自身的价格 分布完全相同， 股票价格 S 的系统风险完全相同 。 现在我们计算表 2 下 期权的系统风险。同样 令 买进 期权的执行价格为 2，则只有当 S 等于 3 时， 期权才有收益。故：
19、 1c o v ( 3 2 ) ( 1 2 ) 0 ( 3 2 ) ( 2 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) 030Vm 奇迹出现了，表 2 下 期权的系统风险 与表 1 下期 权的系统风险完全不同。现在期权的系统风险为 0，也就是说，期权收益分布与市场风险不相关。 由此我们看到， 在股票价格分布 S 确定、 股票价格系统风险 确定的情况下，期权 V 的系统风险无法唯一确定 。因此不存在从 S 到 V 的单值映射。 ,VSt 的写法是错误的。 五 现有 期权价格核 计算方法 及分析 综合前文，严格按照价格核的方法，是难以 在仅仅知道股票自身概率分布、股票现价、期权到期时间，股票执行价格信
20、息下，计算出期权价格的。 但是现有金融理论却能通过多种方法来计算出期权价格，这又是为什么呢？ 在概率理论上，有一个基本的原则： 非随机数不影响随机数之间的相关性 。具体来说，就是 若甲随机数与乙随机数的相关系数是 a， 现在对甲随机数增加或减少 、 乘以或除以一个非随机数 (在乘除的情况下 0 除外 )， 其值与乙随机数的相关系数仍然是 a。 从这个基本原则，我们可以直观地判断：如果两 种资产之间不完全相关，那么任何一种资产无论如何改变份额或者无论组合进多少无风险资产，这种组合也丝毫不能改变与另一种资产的相关性，不可能组合成与另一种资产完全相关。 在金融上，如果两个资产之间不完全相关，那么它们
21、就不能彼此复制。 现在来看期权价格计算的几种方法。 方法大体上可分为三类。一类是 BS 期权定价，一类是二叉树定价，一类是价格核定价（鞅定价可包含在二叉树定价或者价格核定价方法中）。 BS 期权定价的前提，就是假定 ,VSt ，然后将其进行 ITO 展开，变换为 ITO 方程 。这种方法不用说，就是本文直接进行探讨的内容。 二叉树定价的基础看起来似乎要牢固一些，那就是构造股票和无风险资产的组合来复制期权，然后通过资产组合的价格来确定期权价格。的确，在假定股票未来的价格只有两种可能时，二叉树的复制方法是对的。因为价格只有两个状态时，股票和期权的未来价格必定完全相关。以买入期权为例，当股票价格变为
22、高价状态时， 期权价格必然也处于高价状态；而当股票价格变为低价状态时，期权价格也必然处于低价状态 。这样，无论股票价格处于高价状态或低价状态的概率为多少，期权价格都与股票价格完全相关，相关系数为 1。所以我们可以用股票和无风险资产来构造复制期权的组合。但是，当股票的未来价格超过两种状态甚至为连续的几何布朗运动时，股票与期权的相关系数不再为 1， 依照本文讲述的概率基础理论， 也就无法再将股票与无风险资产组合来复制期权。二叉树定价方式失效。 因此一些教材上使用二叉树来构造几何布朗运动下的期权价格时， 其仅仅停留在构造出分布和方差相同，并没有保证构造出完全相关性。显然，如果两个资产仅仅是分布相同、
23、方差相同，但相互独立， 那么这两个资产是不能相互复制的。 因此，在比较严格的二叉树证明中，还是不得不引用了 ,VSt 假设，将 ,VSt 展开为 ITO 方程，从而得到股票和期权的价格关系，由此构造二叉树，来最后得到 BS 的结论。显然这种方法又回到本论文探讨的前提。 从非随机的经验和观念来看， ,VSt 是一个几乎完全自由的表达式，它作为前提，就好比没有前提一样 ，因此 没有引入新的限制 。但从随机的观念来看， ,VSt 表示的是从 S 、 t 到 V 的单值映射，而两个不完全相关的随机数，并不存在这样的单值映射。所以 ,VSt 在二叉数证明中的引入，事实上是对股 票和期权的相关性硬性引入了
24、新的限制，从而无意中改变了论证的前提，然后才构成了可以复制的结果 。 第三类方法则是价格核定价。本文之前就是通过价格核方法证明了 ,VSt 的待商榷之处。 但现有金融理论却给出了通过价格核来证明期权价格，并得到与 BS 方法一样的结论，这又是为什么呢？ 价格核定价本质上也是鞅定价。它首先假定价格核与股票为同分布与独立分布的混合，然后将股票 未来 价格通过价格核折现到当前价格， 形成一个鞅，从而求得价格核的表达式。然后将期权未来价格通过价格核折现到当前价格，就得到了期权当前价格。这就是价格核或者鞅方法的期权定价。 例如 Cochrane 论证时 6，就得到 ： ,0dS d t d zSdrr
25、d t d z d E d z d (11) (11)中， 为价格核 ， S 为股票价格 。 (11)中，价格核 就是通过鞅计算出来的，包含股票同分布因素的表达式。但如果价格核和股票不为同分布，通过鞅计算出来的价格核就将是其它解，则最后计算出的期权价格也就不唯一。 事实上从 (11)看出，价格核 和股票 通过共同的随机变量 dz ，形成了 完全相关 关系。 d虽然改变了价格核和股票的完全相关关系，但 由于 与 dz 独立，对协方差没有影响，也就是对系统风险没有任何影响，因此不改变计算结果 。 当假定价格核与 股票价格完全相关时，股票任意局部概率分布与价格核的协方差事实上就被固定了，失去变化的自
26、由度，因此期权的系统风险被固定。由此解出的期权价格为唯一解。 也因为价格核与股票完全相关，所以价格核本身就可以被股票复制 ，因 此期权价格表达式中不需要有独立的价格核符号存在，只需要有股票符号存在就可以了。 综上所述， 期权定价中的 ,VSt 假设，只有在增加“股票与价格核完全相关”的假设时，才能成立。 否则，应当写成 ,V S mt 的形式 。由于期权定价忽略了价格核的作用，使得 对 风险 的 估计大大减小，这恐怕也是美国次贷危机产生的重要原因。 1 Black,Fischer, Myron Scholes. The pricing of Options and Coporate Liabi
27、lities J. Journal of Political Economy, 1973:81 637-659. 2 Robert E.Lucas,Jr. Asset Prices in an Exchange Economy J. Econometrica, 1978:Vol.46 1429-1445 3 Jamil Baz George Chacko. Financial derivatives pricing, applications and mathematics M. 北京 : 北京大学出版社 , 2005: 40. 4 罗伯特 .C.默顿 . 连续时间金融 M. 北京 : 中国人
28、民大学出版社 , 2005: 214. 5 John H.Cochrane. Asset PricingM. Princeton: Princeton University Press, 2000: 293. 6 John H.Cochrane. Asset PricingM. Princeton: Princeton University Press, 2000: 294. A Brief Discussion About The Option Pricing Abstract: The premise of BS option pricing is that option price is
29、 determined by the three factors: current stock price, the stock price distribution and the maturity. This paper calculates the systemic risk of the stock and the option, argues that only if the pricing kernel is entirely relevant with the stock, can the option price be determined by the current stock price, the stock price distribution and the maturity. Otherwise, the option price cant be determined by the three factors. Keywords: Option pricing Pricing kernel BS model Systemic risk
