高等数学（上）,二、几个初等函数的麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,第三节 泰勒公式,第三章,高等数学（上）,特点:,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x的一次多项式,一、泰勒公式的建立,高等数学（上）,要求:,令,则,一、泰勒公式的建立,1.求n次近似多项式,高等数学（上）,故,n次泰勒多项式,一、泰勒公式的建立,高等数学（上）,n+1阶的导数,时,有,其中,则当,2.泰勒(Taylor)中值定理,一、泰勒公式的建立,高等数学（上）,(1) 公式称为f(x)按(x-x0)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒多项式;公式称为n阶泰勒公式的拉格朗日型余项.,说明,从而泰勒公式又可写为:,公式称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)型余项.,一、泰勒公式的建立,高等数学（上）,则有,由此得近似公式,(3) 当n=0时,泰勒公式给出拉格朗日中值公式,麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,(4)在泰勒公式中若取,高等数学（上）,例1,注意 拉格朗日型余项为0,说明近似公式已成为精确,的等式.,一、泰勒公式的建立,高等数学（上）,二、几个初等函数的麦克劳林公式,例2 求f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.,其中,高等数学（上）,二、几个初等函数的麦克劳林公式,
