1、第一讲 不等式和绝对值不等式1.1.1 不等式的基本性质学习目标 1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质;2 .掌握比较两个实数大小的一般步骤 奎 屯王 新 敞新 疆学习重难点 学习重点：不等式的基本性质 学习难点：不等式的基本性质在解题中的运用学习过程 一、课前准备实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知： 0ba0ba0ba结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。二、新课导学不等式的基本性质：10. 对称性： ba ；20. 传递性： c, ；30. 同加性： ；推论：同加性： dba, ；30. 同乘性： 0c ， 0
2、,cba ；推论 1：同乘性： , ；推论 2：乘方性： Nnba ；推论 3：开方性： ,0 ；推论 4：可倒性： .比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)典型例题例 1 已知 0,cba，求证： bca 例 2 若 0ab， 0cd，则下列命题中能成立的个数是( )1dc； ； 3acbd； 4acbd .A1 .B2 .C 3 .D4.例 3 若 0xy，试比较 2xy与 2xy的大小2设 0a， b，且 ab，试比较 ab与 a的大小.例 4 若 2()fxac满足 4 (1)f ， (2)f 5，求 (3)f的取值范围.变式训练 1：（1）已知 0ab， dc，用不等式性质
3、证明： abcd（2）已知 ,abc满足： bcR、 、 ， 22abc，当 nN， 2时，比较 nc与n的大小.（3）设 ()1log3,()2logxxf，其中 0,1x，比较 ()fx与 g的大小1.1.2 基本不等式学习目标 1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的件2 . 初步掌握不等式证明的方法 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆学习重难点 学习重点： 基本不等式的运用学习难点：基本不等式的运用学习过程 一、课前准备二、新课导学探究 1：重要不等式 1. 2(,)abaR（当且仅当 时取“ ”）ab2重要不等式的几何解释3变式：（1） 22ab（2） （3）若
4、 ，则2abcc0b2ab例 1若 ，求证：,R22acb探究 2：基本不等式（均值不等式）1.ab(0,)（当且仅当 时取“ ”） ，其中 2ab和 分别叫ab做正数 a,b 的算数平均数和几何平均数2基本不等式的几何解释3推广：若 0,ab,则有22abba（当且仅当 时取“ab”）例 2已知 yx,都是正数如果 是定值 p，那么当 yx时，和 yx有最小值 p2；如果和 是定值 s，那么当 时，积有最大值 41s利用基本不等式求最值应注意:x,y 一定要都是正数;求积 xy 最大值时,应看和 x+y 是否为定值;求和 x+y 最小值时,看积 xy 是否为定值;等号是否能够成立.以上三点可
5、简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时,一定要检验等号是否能取到,若取到等号,则解法是合理的,若取不到,则必须改用其他方法.例 3(1) 设 .120, 的 最 小 值， 求且 yxyxx ；(2) 设 x、y 是正实数，且 x+y=5,则 lgx+lgy 的最大值是_.(3) 若正数 ba,满足 3ba，则 a的取值范围是 例 4 （1）已知 是正常数, , (0,)xy，求证： 22()abxy,指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数 29()1fx（ 1(,)2）的最小值，指出取最小值时x的值例 5为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求ACB=60
6、，BC 长度大于 1 米， 且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了广告牌稳固，要求 AC 的长度越短越好，求 AC最短为多少米？ 且当 AC 最短时，BC 长度为多少米？变式训练 2：（1）已知 54x，求函数 1425yx的最大值。（2）求函数 的最小值. xy22sini（3）已知 ，求函数 y=x(1-3x)的最大值。103x（4）已知 ，求函数 的值域。0,1x243yx（5）已知 x , yR +,且 ，求 的最小值.324xy32xy（6）两个正数 ,xy满足 4，求使不等式 14xy m恒成立的实数 m 的取值范围。（7）设 Rx且 12y，求 2yx的最大值.1.1.3 三个
7、正数的算术几何平均不等式学习目标 1. 三个正数的基本不等式2 . 初步掌握不等式证明和应用 奎 屯王 新 敞新 疆学习重难点 学习重点： 三个正数基本不等式的运用学习难点：三个正数基本不等式的运用学习过程 一、课前准备1重要不等式：2基本不等式：二、新课导学问题：已知 ,abcR, 求证： 33.abca当且仅当 abc时, 等号成立.定理 3 如果 ,abcR, 那么 3abc, 当且仅当 abc时, 等号成立.定理 3 的文字语言表述: 推论 对于 n个正数 12,n , 它们的 即 当且仅当 abc时, 等号成立.例 6已知 ,xyzR, 求证：(1) 3()27; (2)()()9x
8、yzx; (3) )9xyzz例 7用一块边长为 a的正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？例 8 （1）求函数 )0(,32xy的最大值。（2）设 7,9x，求 3(log7l3的最大值变式训练 3：1求下列函数的最值（1） 0x时, 求 xy362的最小值（2）若 14x，求 2x的最小值（3）已知 ，求 的最小值320xy3271xy（4）若 10, 求 )(24的最大值（5）若 0ba，求 )(1ba的最小值.2某单位建造一间地面面积为 12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长 度 x 不
9、得超过 a 米，房屋正面的造价为 400 元/ m2,房屋侧面的造价为 150 元/m2，屋和地面的造价费用合计为 5800 元，如果墙高为 3m，且不计房屋背面的费用（1）把房屋总造价 y表示成 x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？二 绝对值不等式1.2.1 绝对值三角不等式学习目标 1. 深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握;2.理解关于绝对值三角不等式并会简单应用 奎 屯王 新 敞新 疆学习重难点 学习重点： 绝对值三角不等式的应用学习难点：绝对值三角不等式的应用学习过程 一、课前准备1 如果 ,abR, 那么 2ab.当且仅当
10、ab时, 等号成立.2. 如果 , 那么 . 当且仅当 时, 等号成立.3.如果 ,c, 那么 3c, 当且仅当 c时, 等号成立.二、新课导学1绝对值的定义： aR， 2. 绝对值的几何意义：（1）实数 的绝对值 |，表示数轴上坐标为 a的点 A (2)对任意两个实数 ,ab，它们在数轴上对应的点分别为 ,B，那么 |ab的几何意义是 3. 绝对值三角不等式：探究 |， |， |ab之间的关系. 0ab时,如下图, 容易得： |. 时,如图, 容易得： |abb. 0ab时,显然有： |abb.定理 1：如果 R, 则 |. 当且仅当 时, 等号成立.在上面不等式中,用向量 ,ab分别替换实
11、数 ,ab, 则当ab不共线时, 由向量加法三角形法则:向量 ,构成三角形, 因此有 它的几何意义就是: 定理 1 的证明:定理 2 如果 ,abcR, 那么 ，当且仅当 时, 等号成立.acbc(1) (2)aba例 1.（1） ,证明 ， （2）已知 2,cbyax，求证 .)()(cyx。例 2 （1）对任意实数 x， |1|2|xa恒成立，则 的取值范围是 （2）对任意实数 ， |3|恒成立，则 的取值范围是 变式训练 1：1 （1） 若关于 x的不等式 |4|3|xa的解集不是空集，则 a的取值范围是 （2）方程 23x23x的解集为 ,不等式 22|xx的解集是 2 （1）已知 .
12、6,4ay 求证： ayx32。（2）已知 cb求证： cb3。（3）已知 .,3, sCsBsaA 求证： scbaCBA)()(1.2.2 含绝对值不等式的解法学习目标 1. 巩固 cbax与 )0(cbax型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；2. 培养数形结合的能力，分类讨论的思想，培养通过换元转化的思想方法，培养抽象思维的能力；学习重难点 学习重点：分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式。学习难点：如何正确分类与分段，简单的参数问题。 学习过程 一、课前准备 ax与 )0(型不等式 cbax与 )0(cbax型不等式的解法与解集不等式 的解集是 ;不等式 )(x的解集是 x或,不等式 0cba的解集为 )0(| cbac;不等式 )(x的解集为 )(,|xx或二新课导学例 1.解不等式:(1) 752x （2） 14x例 2解不等式(1) 13; (2) 13.例 3. 解不等式(1) 52312x; (2) 512x .例 4解关于 x的不等式： 解关于 x的不等式 31mx； ax132)(Ra变式训练 2：1解下列不等式 (1)4|3|7x . （2） |4x-3|2x+1. （3）|x-3|-|x+1|1.2已知 23Axa， Bx 10，且 AB，求实数 a的范围.
