1、93 圆的方程1圆的定义在平面内，到_的距离等于_的点的_叫圆确定一个圆最基本的要素是_和_2圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程：方程(x a) 2(yb) 2r 2(r0)叫做以点_为圆心，_为半径长的圆的标准方程(2)圆的一般方程：方程 x2y 2DxEyF0(_)叫做圆的一般方程注：将上述一般方程配方得 ，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以(x D2)2 (y E2)2 D2 E2 4F4_为圆心，_为半径长的圆3点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：圆的标准方程(xa) 2(y b) 2r 2(r0)，点 M(x0，y 0)，(1)点 M 在圆上： _；(2)点 M 在圆
2、外： _；(3)点 M 在圆内： _.4确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；(3)解出 a，b，r 或 D，E ，F ，代入标准方程或一般方程自查自纠1定点 定长 集合 圆心 半径长2(1)(a ，b) r(2)D2E 24F0 ( D2， E2)12D2 E2 4F3(1)(x 0a) 2( y0b) 2r 2(2)(x0a) 2(y 0b) 2r2(3)(x0a) 2(y 0b) 20，所以 20，所以 3a24a40，即 a0，由 4a，解得 a ，所以
3、该圆的方程为 y 2 .故填 y 2 .a2 432 (x 32)2254 (x 32)22549已知圆经过 A(2，3) 和 B(2，5)两点，若圆心在直线 x2y 30 上，求圆的方程解法一：线段 AB 中垂线的方程为 2xy 40，它与直线 x2y 30 的交点(1，2)为圆心，由两点间的距离公式得 r210，所以圆的方程为(x1) 2(y2) 210.解法二：设方程(两种形式均可以 )，由待定系数法求解10已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1，0) 和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且|CD|4 .10(1)求直线 CD 的方程；(2)求圆 P 的
4、方程解：(1)因为直线 AB 的斜率 k1，AB 的中点坐标为(1，2)所以直线 CD 的方程为 y2(x1)，即 xy30.(2)设圆心 P(a，b)，则由圆心 P 在 CD 上得 ab30.又因为直线|CD|4 ，所以|PA |2 .10 10所以(a1) 2b 240.由解得 或a 3，b 6，) a 5，b 2.)所以圆心 P( 3，6) 或 P(5，2)所以圆 P 的方程为(x3) 2(y6) 240 或(x5) 2(y2) 240.11已知定点 A(4，0) ，P 点是圆 x2y 24 上一动点，Q 点是 AP 的中点，求 Q 点的轨迹方程解：设 Q 点坐标为(x ，y )，P 点
5、坐标为(x P，y P)，则 x 且 y ，即 xP2x4，y P2y，又点 P 在4 xP2 0 yP2圆 x2y 24 上，所以 x y 4，将 xP2x 4，y P2y 代入得(2x 4) 2(2y) 24，即(x2) 2y 21.故所求2P 2P轨迹方程为(x 2)2y 21.在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 f(x)x 22x b( xR)与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆 C.(1)求实数 b 的取值范围；(2)求圆 C 的方程；(3)圆 C 是否经过定点( 与 b 的取值无关) ？证明你的结论解：(1)令 x0，得抛物线与 y 轴的交点是(0，b) 令 f(x)0，得
6、 x22x b0，由题知 b0，且 0，解得 b1 且 b0.(2)设所求圆的一般方程为 x2y 2DxEyF0，令 y0，得 x2DxF 0，这与 x22xb0 是同一个方程，故 D2，Fb.令 x0，得 y2Eyb0，此方程有一个根为 b，代入得 Eb1.所以圆 C 的轨迹方程是 x2y 22x(b1) yb0.(3)圆 C 过定点，证明如下：假设圆 C 过定点(x 0，y 0)(x0， y0 不依赖于 b)，将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为x y 2x 0 y0b(1y 0)0.(*)20 20为使(*)式对所有满足 b1 且 b0 的 b 都成立，必须有 1y 00，结合(*) 式得 x 2x 00，解得 或20 x0 0，y0 1，)经检验知，点(0， 1)，( 2，1)均在圆 C 上因此，圆 C 过定点x0 2，y0 1. )
