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高中理数讲座9.3圆的方程.doc

1、93 圆的方程1圆的定义在平面内,到_的距离等于_的点的_叫圆确定一个圆最基本的要素是_和_2圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程:方程(x a) 2(yb) 2r 2(r0)叫做以点_为圆心,_为半径长的圆的标准方程(2)圆的一般方程:方程 x2y 2DxEyF0(_)叫做圆的一般方程注:将上述一般方程配方得 ,此为该一般方程对应的标准方程,表示的是以(x D2)2 (y E2)2 D2 E2 4F4_为圆心,_为半径长的圆3点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种:圆的标准方程(xa) 2(y b) 2r 2(r0),点 M(x0,y 0),(1)点 M 在圆上: _;(2)点 M 在圆

2、外: _;(3)点 M 在圆内: _.4确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤为(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组;(3)解出 a,b,r 或 D,E ,F ,代入标准方程或一般方程自查自纠1定点 定长 集合 圆心 半径长2(1)(a ,b) r(2)D2E 24F0 ( D2, E2)12D2 E2 4F3(1)(x 0a) 2( y0b) 2r 2(2)(x0a) 2(y 0b) 2r2(3)(x0a) 2(y 0b) 20,所以 20,所以 3a24a40,即 a0,由 4a,解得 a ,所以

3、该圆的方程为 y 2 .故填 y 2 .a2 432 (x 32)2254 (x 32)22549已知圆经过 A(2,3) 和 B(2,5)两点,若圆心在直线 x2y 30 上,求圆的方程解法一:线段 AB 中垂线的方程为 2xy 40,它与直线 x2y 30 的交点(1,2)为圆心,由两点间的距离公式得 r210,所以圆的方程为(x1) 2(y2) 210.解法二:设方程(两种形式均可以 ),由待定系数法求解10已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1,0) 和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|4 .10(1)求直线 CD 的方程;(2)求圆 P 的

4、方程解:(1)因为直线 AB 的斜率 k1,AB 的中点坐标为(1,2)所以直线 CD 的方程为 y2(x1),即 xy30.(2)设圆心 P(a,b),则由圆心 P 在 CD 上得 ab30.又因为直线|CD|4 ,所以|PA |2 .10 10所以(a1) 2b 240.由解得 或a 3,b 6,) a 5,b 2.)所以圆心 P( 3,6) 或 P(5,2)所以圆 P 的方程为(x3) 2(y6) 240 或(x5) 2(y2) 240.11已知定点 A(4,0) ,P 点是圆 x2y 24 上一动点,Q 点是 AP 的中点,求 Q 点的轨迹方程解:设 Q 点坐标为(x ,y ),P 点

5、坐标为(x P,y P),则 x 且 y ,即 xP2x4,y P2y,又点 P 在4 xP2 0 yP2圆 x2y 24 上,所以 x y 4,将 xP2x 4,y P2y 代入得(2x 4) 2(2y) 24,即(x2) 2y 21.故所求2P 2P轨迹方程为(x 2)2y 21.在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 f(x)x 22x b( xR)与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆 C.(1)求实数 b 的取值范围;(2)求圆 C 的方程;(3)圆 C 是否经过定点( 与 b 的取值无关) ?证明你的结论解:(1)令 x0,得抛物线与 y 轴的交点是(0,b) 令 f(x)0,得

6、 x22x b0,由题知 b0,且 0,解得 b1 且 b0.(2)设所求圆的一般方程为 x2y 2DxEyF0,令 y0,得 x2DxF 0,这与 x22xb0 是同一个方程,故 D2,Fb.令 x0,得 y2Eyb0,此方程有一个根为 b,代入得 Eb1.所以圆 C 的轨迹方程是 x2y 22x(b1) yb0.(3)圆 C 过定点,证明如下:假设圆 C 过定点(x 0,y 0)(x0, y0 不依赖于 b),将该点的坐标代入圆 C 的方程,并变形为x y 2x 0 y0b(1y 0)0.(*)20 20为使(*)式对所有满足 b1 且 b0 的 b 都成立,必须有 1y 00,结合(*) 式得 x 2x 00,解得 或20 x0 0,y0 1,)经检验知,点(0, 1),( 2,1)均在圆 C 上因此,圆 C 过定点x0 2,y0 1. )

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