1、第 7 课时 正、余弦定理第一次作业1(2018安徽马鞍山一模) ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a ，b2，A60，则3c( )A. B112C. D23答案 B解析 a ，b2，A60 ，由余弦定理 a2b 2c 22bccosA ，得 34c 222c ，整理得312c22c10，解得 c1.故选 B.2(2018山西五校联考)在 ABC 中，a b，A120，则角 B 的大小为( )3A30 B45C60 D90答案 A解析 由正弦定理 得 ，解得 sinB .因为 A120，所以 B30.故选 A.asinA bsinB 3b32 bsinB 123(20
2、18陕西西安一中期中) 在ABC 中，sin 2Asin 2Bsin 2CsinBsinC ，则 A 的取值范围是( )A(0， B ，) 6 6C(0， D ，) 3 3答案 C解析 sin 2Asin 2Bsin 2CsinBsinC，由正弦定理，得 a2b 2c 2bc，bcb 2c 2a 2.cosA ，A .A0，A 的取值范围是(0 ， 故选 C.b2 c2 a22bc 12 3 34(2018广东惠州三调)在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b2，c 2 ，且 C ，2 4则ABC 的面积为( )A. 1 B. 13 3C4 D2答案 A解析 由正弦定
3、理 ，得 sinB .又 cb，且 B(0 ，)，所以 B ，所以 A ，所以bsinB csinC bsinCc 12 6 712S bcsinA 22 sin 2 1.故选 A.12 12 2 712 12 2 6 24 35(2018东北八校联考)已知 ABC 三边 a，b，c 上的高分别为 ， ，1，则 cosA( )12 22A. B32 22C D24 34答案 C解析 设ABC 的面积为 S，则 a4S，B2 S，c2S ，因此 cosA .故选 C.2（22）2 22 422222 246(2016山东)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 bc ，a
4、22b 2(1sinA)则 A( )A. B.34 3C. D. 4 6答案 C解析 由余弦定理得 a2b 2c 22bccosA 2b 22b 2cosA，所以 2b2(1sinA)2b 2(1cosA)，所以sinAcosA，即 tanA1，又 02，) 6 2由正弦定理 2，得 b2sinB，c2sinC， b2c 24(sin 2Bsin 2C)asinA bsinB csinC 3324sin 2Bsin 2( B)42cos(2B )又 b，csinBb 32C 60或 C120.A 90或 A30 .SABC bcsinA 或 .12 32 3410(2018河南信阳调研)在 A
5、BC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设 S 为ABC 的面积，S (a2b 2c 2)，则 C 的大小为 _34答案 3解析 ABC 的面积为 S absinC，12由 S (a2b 2c 2)，得 (a2b 2c 2) absinC，即 absinC (a2b 2c 2)根据余弦定理，得34 34 12 32a2b 2c 22abcosC ，absinC 2abcosC，得 sinC cosC，即 tanC .32 3 sinCcosC 3C(0， )，C .311(2017甘肃定西统考)在 ABC 中，若 ，则 ABC 的形状为_a2b2 tanAtanB答案 等腰三角形
6、或直角三角形解析 由正弦定理，得 ，即 .sinA0，sinB0，sinAcosA sinBcosB，即sin2Asin2B tanAtanB sin2Asin2B sinAcosAcosBsinBsin2Asin2B.2A2k2B 或 2A2k2B(kZ )0a，cb ，即角 C 最大，所以 a3b 3aa 2bb 20，则 0a1，故有 a bc2，所以ABC 的周长的取值范围是(2，3 9(2015广东，理)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a ，sinB ，C ，则312 6b_答案 1解析 由 sinB 得 B 或 ，因为 C ，所以 B ，所以 B ，于是
7、 A .由正弦定理，得12 6 56 6 56 6 23 ，所以 b1.3sin23b1210(2018湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考) 已知ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，向量 m(sinB，1 cosB)与向量 n(2 ，0)的夹角 的余弦值为 .12(1)求角 B 的大小；(2)若 b ，求 ac 的取值范围3答案 (1) (2)( ，223 3解析 (1)m(sinB，1cosB)，n(2，0) ， mn2sinB，|m| 2|sin |.sin2B （1 cosB）2 2 2cosBB200.B2 2 B2|m|2sin .又 | n|2，B2cos
8、 cos .mn|m|n| 2sinB4sinB2 B2 12 ，B .B2 3 23(2)由余弦定理，得 b2a 2c 22accos a 2c 2ac(ac) 2ac(a c) 2( )2 (ac) 2，当且仅当23 a c2 34ac 时，取等号(ac) 24，即 ac 2.又 acb ，a c ( ，2 3 311.如图所示，在ABC 中，B ，AB8，点 D 在 BC 边上，且 CD2，cos ADC . 3 17(1)求 sinBAD；(2)求 BD，AC 的长答案 (1) (2)BD 3，AC73314解析 (1)在ADC 中，因为 cosADC ，17所以 sinADC .43
9、7所以 sinBADsin(ADC B)sinADCcosBcosADCsinB .437 12 17 32 3314(2)在ABD 中，由正弦定理，得BD 3.ABsinBADsinADB83314437在ABC 中，由余弦定理，得AC2AB 2BC 22ABBCcosB8 25 2285 49.12所以 AC7.12.如图，在等腰直角OPQ 中，POQ 90，OP 2 ，点 M 在线段 PQ 上2(1)若 OM ，求 PM 的长；5(2)若点 N 在线段 MQ 上，且MON30，问：当POM 取何值时，OMN 的面积最小？并求出面积的最小值答案 (1)MP1 或 MP3 (2)POM30时
10、，OMN 面积最小值为 84 3解析 (1)在OMP 中，OPM45 ，OM ，OP 2 ，由余弦定理得，5 2OM2OP 2MP 22OP MPcos45，得 MP2 4MP 30，解得 MP1 或 MP3.(2)设POM，0 60，在OMP 中，由正弦定理，得 ，OMsinOPM OPsinOMPOM ，同理 ON .OPsin45sin（45 ） OPsin45sin（75 ）故 SOMN OMONsinMON12 14 OP2sin245sin（45 ）sin（75 ）1sin（45 ）sin（45 30）1sin（45 ） 32sin（45 ） 12cos（45 ）132sin2（4
11、5 ） 12sin（45 ）cos（45 ）1341 cos（90 2） 14sin（90 2）134 34sin2 14cos2 .134 12sin（2 30）060， 302 30150 ，当 30时，sin(230)的最大值为 1，此时OMN 的面积取到最小值，即 POM30 时， OMN 的面积的最小值为 84 .313(2017课标全国，理) ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sinA cosA0，a2 ，b2.3 7(1)求 c；(2)设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC ，求ABD 的面积答案 (1)4 (2) 3解析 (1)由已知可得 tanA ，
12、所以 A .323在ABC 中，由余弦定理得 284c 24ccos ，即 c2 2c240.解得 c6(舍去)，c4.23(2)由题设可得CAD ，所以BADBACCAD .故ABD 面积与ACD 面积的比值为2 61.又ABC 的面积为 42sinBAC2 ，所以ABD 的面积为 .12ABADsin612ACAD 12 3 314(2017山东，文)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b3， 6，S AB AC ABC3，求 A 和 a.答案 ；34 29解析 因为 6，AB AC 所以 bccosA 6，又 SABC3，所以 bcsinA6，因此 tanA1，
13、又 0a，B 60 或 120.若 B60，C 90，c 2 .a2 b2 5若 B120，C30，ac .52(2017西安五校模拟)M 为等边 ABC 内一动点，且 CMB120，则 的最小值为_AMMC答案 32解析 如图，在正ABC 中，设MBC ，则ACM，在BMC 中，根据正弦定理可得 .MCsin BCsin120在AMC 中，根据正弦定理可得 .AMsin ACsinAMC得 .AMMC sin120sinAMC 323(2015安徽，文)在ABC 中，AB ，A75，B45，则 AC_6答案 2解析 因为A75，B 45，所以C60 ，由正弦定理可得 ，解得 AC2.ACsin45 6sin604(2015课标全国，理)在平面四边形 ABCD 中，ABC 75，BC2，则 AB 的取值范围是_答案 ( ， )6 2 6 2解析 如图，作PBC，使 BC75 ，BC2，作直线 AD 分别交线段 PB、PC 于 A、D两点(不与端点重合)，且使BAD 75，则四边形 ABCD 就是符合题意的四边形过 C 作 AD的平行线交 PB 于点 Q，在PBC 中，可求得 BP ，在QBC 中，可求得6 2BQ ，所以 AB 的取值范围是 ( ， )6 2 6 2 6 2
