1、12017 春高中数学 第 1 章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第 3课时 正、余弦定理的综合应用课时作业 新人教 A 版必修 5基 础 巩 固一、选择题1在 ABC 中，已知 2sinAcosBsin C，那么 ABC 一定是 ( B )导 学 号 54742083A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形解析 2sin AcosBsin( A B)，sin( A B)0， A B2在 ABC 中，已知 a x， b2， B60，如果 ABC 有两解，则 x 的取值范围是( C )导 学 号 54742084A x2 B x0)，b c4 c a5 a b6则Error
2、! 解得Error!sin Asin Bsin C a b c753.6(2015辽宁葫芦岛市一模)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若 c2( a b)26， C ，则 ABC 的面积是 ( C ) 3 导 学 号 54742088A3 B932C D3332 3解析 由余弦定理得： c2 a2 b22 abcosC a2 b2 ab( a b)26， ab6， S ABC absinC 612 12 32 .332二、填空题7(2015重庆文，13)设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且a2，cos C ，3sin A2si
3、n B，则 c4.14 导 学 号 54742089解析 由 3sin A2sin B 及正弦定理知：3 a2 b，又因为 a2，所以 b3；由余弦定理得： c2 a2 b22 abcos C49223( )16，所以 c4.148在 ABC 中， A60，最大边与最小边是方程 x29 x80 的两个实根，则边 BC长为 .57导 学 号 54742090解析 A60，可设最大边与最小边分别为 b， c.由条件可知， b c9， bc8， BC2 b2 c22 bccosA( b c)22 bc2 bccosA9 22828cos6057， BC .573三、解答题9在 ABC 中， S AB
4、C15 ， a b c30， A C ，求三角形各边边长.3B2导 学 号 54742091解析 A C ， 180， B120.由 S ABC acsinB ac15 得：B2 3B2 12 34 3ac60，由余弦定理 b2 a2 c22 accosB( a c)22 ac(1cos120)(30 b)260 得 b14， a c16 a， c 是方程 x216 x600 的两根所以Error! 或Error! ，该三角形各边长为 14,10 和 6.10在 ABC 中，sin( C A)1，sin B .13导 学 号 54742092(1)求 sinA 的值；(2)设 AC ，求 AB
5、C 的面积6解析 (1)由 sin(C A)1， C A，知 C A . 2又 A B C，2 A B ， 2即 2A B,0A . 2 4故 cos2Asin B，即 12sin 2A ，sin A .13 33(2)由(1)得 cosA .63又由正弦定理，得 BC 3 .ACsinAsinB 2 S ABC ACBCsinC ACBCcosA3 .12 12 2能 力 提 升一、选择题11(2015兰州市质量监测)已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边，且( b c)(sinBsin C)( a c)sinA，则角 B 的大小为 ( A )3 导 学 号
6、54742093A30 B45C60 D120解析 由正弦定理得( b c)(b c) a(a c)，即 a2 c2 b2 ac，又由余弦定3 34理得：cos B ， B30，选 Aa2 c2 b22ac 3212在 ABC 中，有下列关系式： asinB bsinA; a bcosC ccosB； a2 b2 c22 abcosC; b csinA asinC一定成立的有 ( C )导 学 号 54742094A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析 对于，由正弦、余弦定理，知一定成立对于，由正弦定理及sinAsin( B C)sin BcosCsin CcosB，知显然成立对于，利用正弦
7、定理，变形得sinBsin CsinAsin AsinC2sin AsinC，又 sinBsin( A C)cos CsinAcos AsinC，与上式不一定相等，所以不一定成立故选 C13 ABC 中， BC2， B ，当 ABC 的面积等于 时，sin C 等于 3 32( B )导 学 号 54742095A B32 12C D33 34解析 由正弦定理得 SABC ABBCsinB AB ， AB1， AC2 AB2 BC22 ABBCcosB14412 32 32 3， AC ，再由正弦定理，得 ，sin C .12 3 1sinC 3sin 3 12二、填空题14(2015上海十三
8、校联考)在 ABC 中， BC8， AC5，且三角形面积 S12，则cos2C .725导 学 号 54742096解析 利用二倍角公式和三角形面积公式求解 SABC ACBCsinC20sin C12，sin C ，所以 cos2C12sin 2C12( )2 .12 35 35 72515已知三角形两边长分别为 1 和 ，第三边上的中线长为 1，则三角形的外接圆半3径为 1.导 学 号 54742097解析 如图， AB1， BD1， BC ，35设 AD DC x，在 ABD 中，cos ADB ，x2 1 12x x2在 BDC 中，cos BDC ，x2 1 32x x2 22x A
9、DB 与 BDC 互补，cos ADBcos BDC， ，x2 x2 22x x1， A60，由 2 R 得 R1.3sin60三、解答题16在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 cosA ， a4， b c6，14且 bc，求 b， c 的值. 导 学 号 54742098解析 a2 b2 c22 bccosA， b2 c2( b c)22 bc， a4，cos A ，1416( b c)22 bc bc.12又 b c6， bc8.解方程组Error!得 b2， c4，或 b4， c2.又 bc， b2， c4.17(2016山东日照市一模)在 ABC 中，
10、角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足(2a b)cosC ccosB0. 导 学 号 54742099(1)求角 C 的值；(2)若三边 a， b， c 满足 a b13， c7，求 ABC 的面积分析 (1)由条件式的特点，可利用正弦定理化边为角，也可利用余弦定理化角为边，结合(1)问求角 C，故化边为角，再利用三角恒变换求解；(2)由于角 C 和 a b 已知，故求 ABC 的面积可考虑用公式 S ABC absinC，因此关12键是求 a， b，结合 a b13， c7 可用余弦定理求出 ab.6解析 (1)已知(2 a b)cosC ccosB0 可化为(2sin Asin B)cosCsin CcosB0，整理得 2sinAcosCsin BcosCsin CcosBsin( B C)sin A，0 A，sin A0，cos C ，12又 0C， C . 3(2)由(1)知 cosC ，又 a b13， c7，12由余弦定理得 c2 a2 b22 abcosC( a b)23 ab1693 ab，即 491693 ab， ab40， S ABC absinC 40sin 10 .12 12 3 3
