1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,问题提出,问题1.根据正弦函数和余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质？,函数的周期性,一、周期函数的概念,思考1：观察上图, 正弦曲线每相隔 个单位重复出现.,.,2,诱导公式,其理论依据是什么？,当自变量x的值增加2的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律,思考2：设f(x)=sinx，则 可以怎样表示？,f(x+2k)=f(x),这就是说：当自变量x的值增加到x+2k时，函数值重复出现.为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2k为这个函数的周期 (其中kz且k0).,思考
2、3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？,【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.,思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？,答：周期函数的周期不止一个. 2，4，6，都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2k(kz且k0)都是它的周期.,【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函
3、数，非零常数T就叫做这个函数的周期.,【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.,【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期. 【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.,答：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2,思考5：我们知道
4、 2，4，6，都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？,正弦函数y=sinx是周期函数，2k（kZ且 k0）都是它的周期，最小正周期 T=2余弦函数y=cosx是周期函数，2k（kZ且 k0）都是周期，最小正周期 T=2,思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？,二：周期概念的拓展,思考1：判断下列说法是否正确,思考2：周期函数的定义域有什么特点？,函数f(x)=sinx（x0）是周期函数( ) 函数f(x)=sinx（x0）是周期函数( ) 函数f(x)=sinx（x3k）是周期函数( ) 函数f(x)=sinx，x0，1
5、0是周期函数( ),例1 求下列函数的周期：y=3cosx,xR;y=sin2x,xR; y=2sin( - ),xR;, 3cos(x+2)=由周期函数的定义可知，原函数的周期为2,【解】,3cosx,y=sin2x,xR;,sin2(x+)=由周期函数的定义可知，原函数的周期为,sin2x,解：,y=2sin( - ),xR;,由周期函数的定义可知，原函数的周期为4,解：,一般地，函数y=Asin(x+) (A0， 0)的最小正周期是多少?,由上例知函数y=3cosx的周期 T= 2；函数y=sin2x的周期 T=；函数y=2sin( - )的周期 T=4 想一想：以上这些函数的周期与解析
6、式中哪些量有关吗？,例2 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x2)f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？,分析由已知有：f(x2)= -f(x)f(x+4)=即 f(x4)=f(x) 由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.,f(x),=-f(x)=,-f(x2),f(x2)+2=,如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期,对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.,归 纳 整 理,1.说说周期函数的定义.,3
7、.什么叫周期函数的最小正周期？,2.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，检验它是否存在非零常数T，对定义域内任一实数x，f(xT)=f(x)恒成立.,4.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.你能举例说明吗？,5.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，那么T的整数倍是f(x)的周期吗？为什么？,6.函数y=Asin(x+)和y=Acos(x+) (A0)的最小 正周期 T=,这个公式，解题时可以直接应用,作业：P36练习：1，2，3.,课后思考：如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(x)的周期是多少？求函数y=|sinx|,xR的周已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x1)=f(x1)，且当x0，2时，f(x)=x4，求f(10)的值.,
