1、1一元二次方程复习提纲考点一：概念（1）定义：含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。（2）一般形式：ax 2+bx+c=0(a0)，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。（3）判断一元二次方程的依据：只含有一个未知数。 是整式方程。 二次项系数不为“0” 。 未知数最高次数是“2” 。典型例题：1、下列是关于 x 的一元二次方程的是（ ）2、方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( 269)A、 B、 C、 D、 ， ， 269， ， 269， ， 269， ，3 若方程 是关于 的一元二次方程，则 210mxxm4、当 m 时，方程 mx 2-3x
2、=2x 2-mx+2 是一元二次方程考点二：一元二次方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 应用：利用根的概念求代数式的值典型例题：关于 的一元二次方程 的一个根是 0，则 的值为( ).x 01)1(22axa a(A) 1 (B) (C) 1 或 (D) .21考点三：一元二次方程的解法1、直接开平方法适用方程特征： 的解是02nmx mnx典型例题：(1) x2 = 5 (2)(y+2)2=3 (3)2(3a-1)2-1=022 2 30+y-1=0 x+0 x-3=0 、 、 、 、22、因式分解法适用方程特征：方程左边可以化为两个因式的乘积，右边是 0，即形如(x+
3、a)(x+b)=0 的方程都可以用因式分解法。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 （3）令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程。 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。典型例题：解方程（1）3x 2 = 2x (2) 0)1(3)(2xx(3) (4)y2 =3y +422)1()3(xx3、配方法即通过配方将方程化为（x+a） 2=b(b0)的形式，再用直接开平方法求解。用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2） 把原方程变为 的
4、形式。nmx2（3） 若 ，用直接开平方法求出 的值，若 n0，原方程无解。0nx用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程当一元二次方程的形式为 时，用配方法解一元1,02 acba二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为 1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为 的形式；nmx2（3）若 ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。0典型例题：用配方法解方程（1）x 2 -4x -3=0 (2) 232x34、求根公式法一元二次方程 的求根公式是：02acbxa acbx24用求根公式法解一元二次方程的步骤
5、是：（1）把方程化为 的形式，确定的值 （注意符号） ；2 c.,（2）求出 的值；acb42（3）若 ，则 把及 的值代人求根公式0.,bac42，求出 。acx221,x典型例题：用求根公式解方程（1）x 2+3x+1=0 （2）(x+3)(2x-1)=1注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。用适当的方法解方程：（） 5x 2-45=0 （2） x 2 -10x+24=0 (3) (x+3)(x-1)=x+3 (4) （x-2)(3x-5)=1
6、4考点四：一元二次方程根的判别式一元二次方程 根的判别式 =02acbxa acb42运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1） = 0 方程有两个不相等的实数根；42（2） = =0 方程有两个相等的实数根；acb（3） = 0 方程没有实数根；2典型例题;（1）方程 2x2-3x+2=0 的根的情况是 。(2)、已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ）A 1 B.1 C.D考点五：根与系数的关系若 是一元二次方程 的两个根，则有21,x02acbxa， ab11特别地，二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=
7、0 的两根为 ，则21x、， 21x21x典型例题：（1）已知 是方程 的两根，则 ， 21、 03221x21x（2）关于 x 的方程 x2- ax - 3=0 的一个根为 3，求方程的另一个根和 a 的值。5考点六：一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题， （2）设未知数， （3）列方程， （4）解方程， （5）检验， （6）作答。关键点：找出题中的等量关系。1、 用一元二次方程解与平均增长率（或降低率）有关得到问题增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为 a，平均增长率为 ，则一次增长后的值为 ，两次增长后的值为 ；（2）xxa11x若基数为 a，
8、降低率 为，则一次降低后的值为 ，两次降低后的值为xa1。21x典型例题：（1）一件商品的原价是 100 元，经过两次提价后的价格为 121 元，如果每次提价的百分率都是 x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A 0()12 B 10()21x C x D （2）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 m 元的商品，甲超市连续两次降价 20；乙超市一次性降价 40；丙超市第一次降价 30，第二次降价10，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是哪一家？（3）某家庭前年人均收入为 3000 元，到今年人均收入为 4320 元，如果每年人均收入增长率相同（也叫平均增长率） ，求：这个增长率？（
9、4）某品牌服装每件进价为 300 元，卖出价按成本价增加 50%，后因款式老化，商店决定打折，但销路仍不畅，因此再打同样的折扣出售，卖出后每件还每赚64.5 元，问这两次商品所打折扣是几折？62、用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价进货价）进货价100%；（3）销售额=售价销售量典型例题：（1）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增
10、加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？3、用一元二次方程解与面积的问题典型例题：（1）某校在一处一面靠食堂外墙的空地上，用材料围城一个停放自行车的日子形车棚（如图所示），共消耗材料 60m，围成的车棚面积共计为 300m2，求 AB 的长_B_A7（2）一块长和宽分别为 40 厘米和 250 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为 450 平方厘米.那么纸盒的高是多少？（3）学校课外
11、生物小组的试验园地是长 18 米、宽 12 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图） ，要使种植面积为 196 平方米，求小道的宽 （ 第 3题 ） 8一元二次方程单元测试一、填空题1、若方程 ，则它的解是 .01682x2、若方程 是关于 的一元二次方程，则 mxm3、利用完全平方公式填空： 22 _)(_8x4、设一元二次方程 2730x的两个实数根分别为 1和 2，则 12x，x 1、 x2 5、当 x=_时，代数式 3x2-6x 的值等于 126、已知 m 是方程 x2-x-2=0 的一个根，则代数式 m2-m 的值是_7、请写出一个含有根 -1 的用一元二次
12、方程 二、选择题1、一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A3，5 B3，-5 C3，0 D5，02、方程 的根为( )1(xA0 B1 C0 ，1 D 0 ，1 3、用配方法解方程 25x时，原方程应变形为（ ）A 26x B 26C 29xD 29x4、若 a+b+c=0，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有一根是（ ） A1 B-1 C0 D无法判断5、某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件 100 元降至 81 元，9求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为 x，可列方程（ ） A100（1-x） 2=81 B81（1+
13、x） 2=100C100（1+x）=812 D2100（1-x）=8三、解方程1、2x（x-1）=x-1 2、x(x+2)=33、 4、072)(2x 0232x四、如图，在一块长为 22 米、宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行） ，剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300 平方米，求草坪的宽度？五、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售 20 件，每件赢利 40 元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取社党降价措施。经调查发现，如果每件衬衫煤降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。求（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。10
