1、第 1 页（共 29 页）2016-2017 学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学八年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选1 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（ 3，5）关于 y 轴的对称点的坐标为（ ）A （ 3，5） B （3，5） C （3 5） D （5， 3）2 （3 分）下列判断正确的是（ ）A若|a |b|，则 ab B若 a0，则 2aaC若 ab，则 a2 一定不等于 b2 D若 a0，且（1 b）a0，则 b13 （3 分）已知 m=1+，n=1 ，则代数式的值为（ ）A9 B3 C3 D54 （3 分）可以用来说明命题“若|a|0.5 ，则 a0.5”是假命题
2、的反例（ ）A可以是 a=1，也可以是 a=1B可以是 a=1，不可以是 a=1C可以是 a=1，不可以是 a=1D既不可以是 a=1，也不可以是 a=15 （3 分）不等式组无解，则 a 的取值范围是（ ）Aa 2 Ba2 Ca2 Da26 （3 分）一次函数 y=kx+b 的图象经过点（0，5）和点 B（4，0） ，则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ）A6 个 B7 个 C8 个 D9 个第 2 页（共 29 页）7 （3 分）如图，在PAB 中，PA=PB，M ，N，K 分别是 PA，PB ，AB 上的点，且 AM=BK，BN=AK，若MKN=44 ，则
3、P 的度数为（ ）A44 B66 C88 D928 （3 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点D 停止，设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 y，y 关于 x 的函数图象如图2 所示，则ABC 的面积是（ ）A1 B2 C3 D49 （3 分）如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开） ，再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分） ，且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个10 （3 分）如图，在直角ABC 中，ACB=Rt，B=30，CD 为斜边 AB 上的高线，折叠A
4、BC 使得 AC 落在 AB 上，点 C 与点 F 重合，展开的折痕 AE 交CD 于点 G，连接 FG、EF下列结论：图中有 6 对全等三角形；BC=6DG；若将EFG 沿 FG 所在的直线折叠，则点 E 必在直线 CD 上；AG=EF；图中共有 5 个等腰直角三角形，其中正确的结论的个数是（ 第 3 页（共 29 页）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个二、认真填一填11 （3 分）若二次根式有意义，则字母 a 应满足的条件是 12 （3 分）若将一次函数 y=2x+1 的图象向 （上或下）平移 单位，使平移后的图象过点（0，2） 13 （3 分）已知函数 y=ax+b 和 y=kx 的
5、图象交于点 P，根据图象可得，求关于x 的不等式 ax+bkx 的解是 14 （3 分）等腰三角形一腰长为 5，一边上的高为 3，则底边长为 15 （3 分）如图，ABC 中，AB=BC，M、N 为 BC 边上的两点，并且BAM=CAN，MN=AN ，则 MAC= 度16 （3 分）关于 x 的方程 a（x+m） 2+b=0 的解是 x1=2，x 2=1（a ，m，b 为常数，a 0） ，则 a（x+m+6） 2+b=0 的解是 17 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD，AB=3 ，AD=5 ，折叠纸片，使点 A 落在 BC边上的 E 处，折痕为 PQ，当点 E 在 BC 边上移动时，折痕的端
6、点 P、Q 也随之第 4 页（共 29 页）移动若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移动，则点 E 在 BC 边上可移动的最大距离为 18 （3 分）甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至 B 城在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A 城的距离 y（千米）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示A，B 两城相距 300 千米；乙车比甲车晚出发 1 小时，却早到 1小时；乙车出发后 2.5 小时追上甲车；当甲、乙两车相距 50 千米时，或以上结论正确的是 三、全面答一答19 （1）计算：（2）解一元一次不等式组：，并把解在数轴上表示出来20已知关于 x 的方程（k 1）x 2+4x+1
7、=0；（1）当 k=2 时，求方程的解；（2）若方程有实数根，求 k 的取值范围21已知：如图，ABC 是等腰三角形，AB=AC，且 ABO=ACO 求证：（1）1=2；（2）OABC第 5 页（共 29 页）22如图ABC 与ADE 都是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，DE 交 AC 于点 F（1）请说明 BD 与 CE 的关系；（2）若 AB=10， ，当CEF 是直角三角形时，求 BD 的长23某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 200 元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加 20 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 40 元的各
8、种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于 680 元设每个房间每天的房价为 x（元） （x 为 10 的正整数倍） （1）设一天订出的房间数为 y，求出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）请你用含 x 的代数式表示宾馆的利润；（3）若宾馆的利润要达到 14820 元，且尽量降低宾馆的成本，一天应订出多少个房间？24如图：在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数与一次函数 y=x+7 的图象交于点 A（1）求点 A 的坐标；（2）在 x 轴上确定点 M，使得AOM 是等腰三角形，请直接写出点 M 的坐标；（3）如图，设 x 轴上一点 P（a，0） ，过点 P 作 x
9、 轴的垂线，分别交和 y=x+7第 6 页（共 29 页）的图象于点 B、C，连接 OC，若 BC=OA，求ABC 的面积第 7 页（共 29 页）2016-2017 学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选1 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（ 3，5）关于 y 轴的对称点的坐标为（ ）A （ 3，5） B （3，5） C （3 5） D （5， 3）【分析】根据关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答【解答】解：点 P（3，5）关于 y 轴的对称点的坐标为（ 3，5） 故选 B【点评】本题考查了关于 x 轴、y
10、 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数2 （3 分）下列判断正确的是（ ）A若|a |b|，则 ab B若 a0，则 2aaC若 ab，则 a2 一定不等于 b2 D若 a0，且（1 b）a0，则 b1【分析】根据不等式的性质分别判断得出即可【解答】解：A、若|a|b |，则当 a，b 为负数时，a b，故此选项错误；B、若 a0 ，则 2aa，根据负数的性质得出，此选项正确；第 8 页（共 29 页）C、若
11、 ab，则 a2 不一定不等于 b2，故此选项错误；D、若 a0，且（1b）a0，则 1b0，则 b1，故此选项错误故选：B【点评】此题主要考查了不等式的性质，熟练根据不等式的性质举出反例是解题关键3 （3 分）已知 m=1+，n=1 ，则代数式的值为（ ）A9 B3 C3 D5【分析】原式变形为，由已知易得 m+n=2，mn= （ 1+） （1 ）= 1，然后整体代入计算即可【解答】解：m+n=2，mn=（1+） （1 ）= 1，原式=3故选：C【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算4 （3 分）可以用来说明命题“若|a|
12、0.5 ，则 a0.5”是假命题的反例（ ）A可以是 a=1，也可以是 a=1B可以是 a=1，不可以是 a=1C可以是 a=1，不可以是 a=1D既不可以是 a=1，也不可以是 a=1【分析】分别把 a=1 和 a=1 代入，判断即可【解答】解：当 a=1 时，命题“若|a|0.5，则 a0.5”是真命题，当 a=1 时，命题“ 若|a |0.5 ，则 a0.5”是假命题，故选：C【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫第 9 页（共 29 页）做假命题5 （3 分）不等式组无解，则 a 的取值范围是（ ）Aa 2 Ba2 Ca2 Da2【分析】分别求出不等式组中
13、两不等式的解集，根据不等式组无解，即可确定出 a 的范围【解答】解：，由得：x2；由得：xa，不等式组无解，a 2 ，故选 B【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键6 （3 分）一次函数 y=kx+b 的图象经过点（0，5）和点 B（4，0） ，则在该图象和坐标轴围成的三角形内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ）A6 个 B7 个 C8 个 D9 个【分析】把点（0，5）和点（4，0）代入一次函数 y=kx+b 求出 k 与 b 的值，再根据一次函数与坐标轴的交点即可求解【解答】解：把点（0，5）和点（4，0）代入一次函数 y=kx+b，解得k=，b
14、=5，y=kx+b= x+5，与 x 轴的交点为（4，0） ，与 y 轴的交点为（ 0，5） ，横坐标和纵坐标都是正整数的点是：（1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，1） ，（2，2） ， （3，1） 故选 A 项【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，难度不大，关键是利用一次函数解析式正确解题第 10 页（共 29 页）7 （3 分）如图，在PAB 中，PA=PB，M ，N，K 分别是 PA，PB ，AB 上的点，且 AM=BK，BN=AK，若MKN=44 ，则P 的度数为（ ）A44 B66 C88 D92【分析】根据等腰三角形的性质得到A=B ，证明 AMK BKN
15、，得到AMK=BKN，根据三角形的外角的性质求出A=MKN=44，根据三角形内角和定理计算即可【解答】解：PA=PB，A=B，在AMK 和BKN 中，AMKBKN，AMK=BKN，MKB=MKN+NKB=A+AMK，A=MKN=44，P=180AB=92，故选：D【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键8 （3 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点D 停止，设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 y，y 关于 x 的函数
16、图象如图2 所示，则ABC 的面积是（ ）第 11 页（共 29 页）A1 B2 C3 D4【分析】本题需先结合函数的图象求出 AB、BC 的值，即可得出ABC 的面积【解答】解：动点 P 从点 B 出发，沿 BC、CD 运动至点 D 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，ABP 的面积不变，函数图象上横轴表示点 P 运动的路程，x=2 时，y 开始不变，说明 AB=2，当2x 3 时，y 不变，说明 BC=32=1，AB=2，BC=1，ABC 的面积是：ABBC=21=1故选 A【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时，能根据函数的图象求出直角ABC 两直角边的长度是本题的关
17、键9 （3 分）如图，将正方形对折后展开（图是连续两次对折后再展开） ，再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分） ，且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】根据含 30角所对的直角边等于斜边一半，然后依次判断直角三角形中能否找到一个角等于 30，从而判断出答案【解答】解：第 12 页（共 29 页）设正方形的边长为 a，在图中，CE=ED=a ，BC=DB=a ，故EBC=CEB30 ，故 ECB，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半在图中，BC=a，AC=AE=a，故BAC=30 ，从而可得CAD= EAD=30，故能满足它
18、的一条直角边等于斜边的一半在图中，AC=a，AB=a，故ABC=DBC30 ，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半在图中，AE=a，AB=AD=a，故ABE=30，EAB=60，从而可得BAC=DAC=60，ACB=30，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半综上可得有 2 个满足条件故选：C【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力，难度较大，注意细心、耐心思考10 （3 分）如图，在直角ABC 中，ACB=Rt，B=30，CD 为斜边 AB 上的高线，折叠ABC 使得 AC 落在 AB 上，点 C 与点 F 重合，展开的折痕 AE 交C
19、D 于点 G，连接 FG、EF下列结论：图中有 6 对全等三角形；BC=6DG；若将EFG 沿 FG 所在的直线折叠，则点 E 必在直线 CD 上；AG=EF；图中共有 5 个等腰直角三角形，其中正确的结论的个数是（ ）第 13 页（共 29 页）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】根据折叠的知识，含 30直角三角形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定判断所给选项是否正确即可【解答】解：ACB=Rt，B=30 ，A=60，AC=AB，有折叠的定义得GEFGDC，ACEAFE，EAC= EAF=B=30，AF=AC，CE=FE，AFE=ACE=90 ，ACE AFEBFE，AFG
20、ACG，AFG= ACG=30，DFG=DAG ，GA=GF，ADG=FDG=90，ADG FDG，故正确；BC=2CD=2CG+2DG，CG=FG=2DG，BC=6DG，故正确；AEC=ECG=60，EGC=60，FGE=60，FGD=60 ，FGE=FGD ，第 14 页（共 29 页）若将EFG 沿 FG 所在的直线折叠，则点 E 必在直线 CD 上，故正确；FEG=EFG，EF=EG=FG，AG=FG，AG=EF，故正确；图中没有 5 个等腰直角三角形，故错误；故选 C【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、翻折变换，解题的关键是利用翻折不变性推出相等的线段、角，学会通过计算证明角相等
21、，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型二、认真填一填11 （3 分）若二次根式有意义，则字母 a 应满足的条件是 a 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出 a 的取值范围【解答】解：由题意可知：解得：a故答案为：a【点评】本题考查二次根式有意义，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型12 （3 分）若将一次函数 y=2x+1 的图象向 下 （上或下）平移 3 个 单位，使平移后的图象过点（0，2） 【分析】直接利用一次函数平移规律，即 k 不变，进而利用一次函数图象上的性质得出答案【解答】解：一次函数 y=2x+1 的图象过（0，1）点，平移后的图象过点（0，2） ，可得
22、：向下平移 3 个单位，第 15 页（共 29 页）故答案为：下；3【点评】此题主要考查了一次函数平移，正确利用一次函数图象上点的坐标性质得出是解题关键13 （3 分）已知函数 y=ax+b 和 y=kx 的图象交于点 P，根据图象可得，求关于x 的不等式 ax+bkx 的解是 x4 【分析】直接根据函数图象得出结论即可【解答】解：由函数图象可知，当 x4 时一次函数 y=ax+b 在一次函数 y=kx图象的上方，关于 x 的不等式 ax+b kx 的解是 x4故答案为：x4【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键14 （3 分）等腰三角形一
23、腰长为 5，一边上的高为 3，则底边长为 8 或或 3 【分析】由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形 ACD 中，由 AC 及 CD 的长，利用勾股定理求出 AD 的长，由 ABAD 求出 BD 的长，在直角三角形 BDC 中，由 BD 及 CD 的长，即可求出底边 BC 的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出 AD 的长，由AB+AD 求出 BD 的长，同理求出 BC 的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到 BD=CD，在直角三角形 ABD 中，由 AB
24、及 AD 的长，利用勾股定第 16 页（共 29 页）理求出 BD 的长，由 BC=2BD 即可求出 BC 的长，综上，得到所有满足题意的底边长【解答】解：如图所示：当等腰三角形为锐角三角形，且 CD 为腰上的高时，在 RtACD 中， AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD=4，BD=ABAD=54=1，在 RtBDC 中，CD=3 ，BD=1，根据勾股定理得：BC=；当等腰三角形为钝角三角形，且 CD 为腰上的高时，在 RtACD 中， AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD=4，BD=AB+AD=5+4=9 ，在 RtBDC 中，CD=3 ，BD=9，根据勾股定理得：BC=3；当 A
25、D 为底边上的高时，如图所示：AB=AC，AD BC，BD=CD，在 RtABD 中，AD=3，AB=5 ，第 17 页（共 29 页）根据勾股定理得：BD=4，BC=2BD=8，综上，等腰三角形的底边长为 8 或或 3故答案为：8 或或 3【点评】此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论的数学思想，要求学生考虑问题要全面，注意不要漏解15 （3 分）如图，ABC 中，AB=BC，M、N 为 BC 边上的两点，并且BAM=CAN，MN=AN ，则 MAC= 60 度【分析】设CAN=x，MAN=y ，先表示出C 为 2x+y，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出
26、ANM，再根据等边对等角的性质求出AMN= MAN，然后利用三角形的内角和定理列式求出 x+y 的度数，也就是MAC 的度数【解答】解：设CAN=x，MAN=y ，AB=BC，BAM=CAN，C=BAC=2x+y，ANM=x+（2x+y）=3x+y，MN=AN，AMN= MAN，在AMN 中， 2y+（3x+y）=180，解得 x+y=60，即MAC=60故答案为：60第 18 页（共 29 页）【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的外角性质；注意利用整体思想求出CNA 与MAN 的和，而不是求出每一个角的度数是一种很重要的方法，注意掌握16 （3 分）关于 x 的方程 a（x+m）
27、 2+b=0 的解是 x1=2，x 2=1（a ，m，b 为常数，a 0） ，则 a（x+m+6） 2+b=0 的解是 x= 8 或 x=5 【分析】根据方程 a（x+m） 2+b=0 的解是 x1=2、x 2=1 知，方程 a（x+m+3）2+b=0 中 x+3=2 或 x+3=1，解之可得【解答】解：方程 a（x+m） 2+b=0 的解是 x1=2，x 2=1，方程 a（x+m+6） 2+b=0 中 x+6=2 或 x+6=1，解得：x=8 或 x=5，故答案为：x= 8 或 x=5【点评】本题主要考查方程的解，根据方程的特点将待求方程中 x+3 看做已知方程中的未知数 x 是解题的关键1
28、7 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD，AB=3 ，AD=5 ，折叠纸片，使点 A 落在 BC边上的 E 处，折痕为 PQ，当点 E 在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、Q 也随之移动若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移动，则点 E 在 BC 边上可移动的最大距离为 2 【分析】根据翻折变换，当点 Q 与点 D 重合时，点 A到达最左边，当点 P 与点B 重合时，点 A到达最右边，所以点 A就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时 AB 的长度，然后两数相减就是最大距离【解答】解：如图 1，当点 D 与点 Q 重合时，根据翻折对称性可得第 19 页（共 29 页）ED=AD=5，在
29、 RtECD 中， ED2=EC2+CD2，即 52=（5EB） 2+32，解得 EB=1，如图 2，当点 P 与点 B 重合时，根据翻折对称性可得 EB=AB=3，3 1=2，点 E 在 BC 边上可移动的最大距离为 2故答案为：2【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键18 （3 分）甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至 B 城在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A 城的距离 y（千米）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示A，B 两城相距 300 千米；乙车比甲车晚出发 1 小时，却早到 1小时；乙车出发后 2.5 小时追上甲车；当甲、乙两
30、车相距 50 千米时，或以上结论正确的是 第 20 页（共 29 页）【分析】观察图象可判断，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开 A 城的距离 y 与时间 t 的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断，再令两函数解析式的差为 50，可求得 t，可判断，进而得出答案【解答】解：由图象可知，A、B 两城市之间的距离为 300km，甲行驶的时间为5 小时，而乙是在甲出发 1 小时后出发的，且用时 3 小时，即比甲早到 1 小时，都正确；设甲车离开 A 城的距离 y 与 t 的关系式为 y 甲 =kt，把（5，300 ）代入可求得，k=60 ，y 甲 =60t，设乙车离开 A 城的距离 y 与 t 的
31、关系式为 y 乙 =mt+n，把（1，0）和（4，300 ）代入可得，解得，y 乙 =100t100，令 y 甲 =y 乙 可得：60t=100t 100，解得 t=2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为 t=2.5，此时乙出发时间为 1.5 小时，即乙车出发 1.5 小时后追上甲车，不正确；令|y 甲 y 乙 |=50，可得|60t100t+100|=50 ，即|10040t|=50，第 21 页（共 29 页）当 10040t=50 时，可解得 t=，当 10040t=50 时，可解得 t=，又当 t=时，y 甲 =50，此时乙还没出发，当 t=时，乙到达 B 城，y 甲 =250；综上可知
32、当 t 的值为或或或 t=时，两车相距 50 千米，不正确；综上，正确的有，故答案为：【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意 t 是甲车所用的时间三、全面答一答19 （1）计算：（2）解一元一次不等式组：，并把解在数轴上表示出来【分析】 （1）首先化简二次根式进而合并同类二次根式得出答案；（2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集【解答】解：计算：=32=0；（2） ，解得：x，第 22 页（共 29 页）解得：x，则不等式组无解，如图所示：【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及不等式组的解法，正确掌握计算法则是解题关键20已知关于 x 的方程（
33、k 1）x 2+4x+1=0；（1）当 k=2 时，求方程的解；（2）若方程有实数根，求 k 的取值范围【分析】 （1）将 k=2 代入方程（k1）x 2+4x+1=0，即可求出方程的解；（2）分类讨论：当 k1=0，即 k=1，方程化为 4x+1=0，有解；当 k10，即k1 ，根据 的意义得0，即 424（k1） 10，解不等式组得 k 的范围，然后综合得到 k 的取值范围【解答】解：（1）将 k=2 代入方程（k1）x 2+4x+1=0，得3x 2+4x+1=0，解得 x1=，x 2=；（2）当 k1=0，即 k=1，方程化为 4x+1=0，x=，当 k10，即 k1，且0，即 424（
34、k1）10，解得 k5，则 k5 且k1 ，综上所述：k 的取值范围是 k5【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义，一元一次方第 23 页（共 29 页）程的解法以及分类讨论思想的运用21已知：如图，ABC 是等腰三角形，AB=AC，且 ABO=ACO 求证：（1）1=2；（2）OABC【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到ABC= ACB，由ABO=ACO，即可得到结论；（2）根据等腰三角形的判定得到 OB=OC，推出ABO ACO
35、，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】证明：（1）AB=AC，ABC=ACB，ABO= ACO，1=2；（2）ABO=ACO，OB=OC，在ABO 与ACO 中，ABOACO（SAS） ，BAO= CAO，AO 平分BAC ，ABC 是等腰三角形，第 24 页（共 29 页）OABC【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键22如图ABC 与ADE 都是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，DE 交 AC 于点 F（1）请说明 BD 与 CE 的关系；（2）若 AB=10， ，当CEF 是直角三角形时，求 BD 的长【分析
36、】 （1）证明BADCAE （SAS） ，可得 BD=CE，根据角的关系可计算GBC +BCG=90，从而得 BDCE ；（2）分两种情况讨论：如图 2，当CFE=90 时，根据平行线的判定证明 ABDE ，得 ADBC，求 BG和 DG 的长，利用勾股定理得 BD 的长如图 3，当FEC=90 ，过 A 作 AGDE 于 G，证明 B、D、E 共线，设 BD=x，在直角ABG 中，由勾股定理列方程可得结论【解答】解：（1）BD=CE，且 BDCE ，理由是：如图 1，延长 BD 与 EC 交于点 G，ABC 与ADE 都是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=
37、DAE=90 ，BACDAC=DAE DAC，即BAD=CAE ，在BAD 和 CAE 中，BAD CAE（SAS） ，第 25 页（共 29 页）BD=CE， ABD=ACE ，GBC +BCG= ABD45+180 45ACE=90，G=90，BGEG，即 BDCE；综上所述，BD=CE ，且 BDCE ；（2）分两种情况：如图 2，当CFE=90 时，BAC=90 ，BAC=CFE ，ABDE，BAD=ADE=45 ，AD 平分 BAC，ADBC，ABG 是等腰直角三角形，AB=10，AG=BG=5，DG=ADAG=65=，在 RtBDG 中，由勾股定理得：BD=2如图 3，当FEC=9
38、0 ，过 A 作 AGDE 于 G，DAE 是等腰直角三角形，ADE= AED=45，AEC=ADB=45+90=135，ADB+ADE=135 +45=180，第 26 页（共 29 页）B、D、E 共线，ADE 是等腰直角三角形，AD=6，AG=DG=6，设 BD=x，由勾股定理得：AB 2=BG2+AG2，102=62+（6+x） 2，x1=14（舍） ，x 2=2，BD=2，综上所述，BD 的长为 2 或 2【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定是关键第 27 页（共 29 页）23某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每
39、个房间的房价为每天 200 元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加 20 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 40 元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于 680 元设每个房间每天的房价为 x（元） （x 为 10 的正整数倍） （1）设一天订出的房间数为 y，求出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）请你用含 x 的代数式表示宾馆的利润；（3）若宾馆的利润要达到 14820 元，且尽量降低宾馆的成本，一天应订出多少个房间？【分析】 （1）理解每个房间的房价为 x 元时，房价增加（x 200）元，则减少房间间，则一天订出的房间数=
40、一共有的房间数房价增长减少的房间数，依此得到 y 与 x 之间的关系；（2）每个房间订住后每间的利润是房价减去 40 元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；（3）根据宾馆的利润要达到 14820 元列出方程，解方程即可【解答】解：（1）由题意得：y=50，且 200x680，且 x 为 10 的正整数倍（2）宾馆的利润为：（x40） （50）=x 2+62x2400；（3）由题意，得x 2+62x2400=14820，解得 x1=420，x 2=820，尽量降低宾馆的成本，x=420，此时 y=50=39，答：一天应订出 39 个房间【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用及一元二次
41、方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出等量关系式第 28 页（共 29 页）24如图：在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数与一次函数 y=x+7 的图象交于点 A（1）求点 A 的坐标；（2）在 x 轴上确定点 M，使得AOM 是等腰三角形，请直接写出点 M 的坐标；（3）如图，设 x 轴上一点 P（a，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线，分别交和 y=x+7的图象于点 B、C，连接 OC，若 BC=OA，求ABC 的面积【分析】 （1）联立正比例函数与一次函数解析式组成方程组，求出方程组的解得到 x 与 y 的值，确定出 A 坐标即可；（
42、2）利用勾股定理求出 OA 的长，根据 M 在 x 轴上，且 AOM 是等腰三角形，如图 1 所示，分情况讨论，求出 M 坐标即可；（3）设出 B 与 C 坐标，表示出 BC，由已知 BC 与 OA 关系，及 OA 的长求出 BC的长，求出 a 的值，如图 2 所示，过 A 作 AQ 垂直于 BC，求出三角形 ABC 面积【解答】解：（1）联立得：，解得：，则点 A 的坐标为（3，4） ；（2）根据勾股定理得：OA=5，如图 1 所示，分四种情况考虑：当 OM1=OA=5 时，M 1（5，0） ；当 OM2=M2A 时，M 2 在 OA 的垂直平分线上，M 2（，0） ；当 AM3=OA=5 时，M 3（5，0） ；第 29 页（共 29 页）当 OM4=AM4 时，M 4（6，0） ，综上，点 M 为（5，0 ） 、 （， 0） 、 （5，0） 、 （6，0 ） ；（3）设点 B（a，a） ，C （ a，a+7） ，BC=OA=5=14，a （ a+7）=14，解得：a=9，过点 A 作 AQBC，如图 2 所示，S ABC =BCAQ=14（9 3）=42 ，【点评】本题考查了两直线平行与相交，求得两直线的交点，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键
