1、高中数学知识点圆锥曲线部分一、平面解析几何的知识结构：二、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长 2a 大于焦距 2c。用集合表示为：；定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数 e 是离心率。用集合表示为：；e 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁（2）标准方程和性质：范围：由标准方程 知 ， ，说明椭圆位于直线 ，21xyab|xa|ybxa所围成的矩形里；yb对称性：在曲线方程里，若以 代替 方程不
2、变，所以若点 在曲线上时，点y(,)xy也在曲线上，所以曲线关于 轴对称，同理，以 代替 方程不变，则曲线关于(,)xyx轴对称。若同时以 代替 ， 代替 方程也不变，则曲线关于原点对称。xy所以，椭圆关于 轴、 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 轴、 轴的交点坐标。在xy椭圆的标准方程中，令 ，得 ，则 ， 是椭圆与 轴的两个交0xyb1(0,)B2(,)b点。同理令 得 ，即 ， 是椭圆与 轴的两个交点。ya1(,)A2ax所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线
3、段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 和 ，21B2ab和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。ab由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 ；在 中，a2RtOBF， ， ，且 ，即 ；2|OBb2|Fc2|Ba22|OFB2cab离心率：椭圆的焦距与长轴的比 叫椭圆的离心率。ce ， ，椭圆形状与 e 的关系：当 e0，c0，椭圆圆，直至成为极0ac1e限位置的圆，则认为圆是椭圆在 e=0 时的特例。当 e1，ca 椭圆变扁，直至成为极限位置的线段 ，此时也可认为是椭圆在 e=1 时的特例。、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六
4、线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线 PQ；三角形：焦点三角形 。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。利用焦半径公式计算焦点弦长：若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB，A、B两点的坐标分别为 ，则弦长这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。若过椭圆左（或右）焦点的焦点弦为 AB，则；注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。（3）参数方程： （ 为参数）；2、双曲线：（1）轨迹定义：定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为：定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数
5、 e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数 e 是离心率。用集合表示为：越大，双曲线的开口越阔e（2）标准方程和性质：范围：从标准方程 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线12byax的外侧。即 ， 即双曲线在两条直线 的外侧。ax2ax对称性：双曲线 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是12byax双曲线的对称轴，原点是双曲线 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线2的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 的方程里，12byax对称轴是 轴，所以令 得 ，因此双曲线和 轴有两个交点,xy0yax，他们是双曲线 的顶点。)0,(
6、,(2aA12by令 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。x1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 叫做双曲线的实半轴长。2A2,a虚轴：线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 叫做双曲线的虚半轴长。B,b渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐12byax接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： ；ab2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（
7、2）渐近线互相垂直 离xy心率 e.。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征 ，则等轴双曲线可以设为： ab )0(2yx，当 时交点在 轴，当 时焦点在 轴上。0x0y注意 与 的区别：三个量 中 不同（互换） 相同，1962y216,abc,c还有焦点所在的坐标轴也变了。4）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2byax与2byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02byax. 区别：三常数 a、b、c 中 a、b 不同（互换） c 相同,
8、它们共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为1。5）共渐近线的双曲线系方程：)0(2byax的渐近线方程为02byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)(2byax.6、结合下图熟记双曲线的：“四点八线，一个三角形”，即：四点：顶点和焦点；八线：实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线 PQ。三角形：焦点三角形 。7、双曲线形状与 e 的关系： ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。8、双曲线 的焦点到渐近线的距离为 b。10、过
9、双曲线 外一点 P（x,y）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：（1）P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；（2）P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；（3）P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；（4）P 为原点时不存在这样的直线；注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。3、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直
10、线间的距离叫焦参数 p。用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意;焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致；标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；注意强调 的几何意义：是焦点到准线的距离。p设抛物线的标准方程为 =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，顶点到准2y 2p线的距离 ，焦点到准线的距离为 p.2p抛物线 =2px(p0)上的点
11、M(x0,y0)与焦点 F 的距离 ；抛物线 =-2y 20pxM2y2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 02p、抛物线 的焦点弦（过焦点的弦）为 AB，且 ，则有如下结论：、结合图形熟记抛物线：“两点两线，一个直角梯形”，即：两点：顶点和焦点；两线：准线、焦点弦；梯形：直角梯形 ABCD。、对于抛物线上 的点的坐标可设为 ，以简化计算；、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线；4、圆、定义：点集MOM=r ，其中定点 O 为圆 心 ，定长 r 为半径.、方程：标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)
12、2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2一般方程：当 D2+E2-4F0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为 半径是 。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为(x+ )2,(ED24FE 2D2+(y+ )2= 4F-当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(- ,- );2DE当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0)，则MCr点 M 在圆 C 内，MC=r 点 M 在圆 C 上，MCr 点 M 在圆 C 内，
13、其中MC= 。2020b)-(ya)-(x直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切 有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 与半径 r 的大小关系来判定。2BACbad三、圆锥曲线的统一定义：统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集： ，其中 F 为定点，d 为点 P 到定直线的 l 距离， ， e 为常数，其中定点 F 称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。(平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)
14、的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。)如图。当 0e1 时，点 P 的轨迹是椭圆；当 e1 时，点 P 的轨迹是双曲线；当 e=1 时，点 P 的轨迹是抛物线。四、椭圆、双曲线、抛物线 椭圆 双曲线 抛物线定义1到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（01）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF 1+MF 2=2a,F 1F22a.点集：MMF 1-MF 2.=2a,F 2F22a.点集M MF=点 M 到直线 l 的距离.图形
15、方程标准方程 12byax(a0) 12byax(a0,b0) pxy2参数方程 为 离 心 角 ）参 数 (sincobyax为 离 心 角 ）参 数 (tansecbyxptyx2(t 为参数)范围 axa ，byb |x| a，yR x0中心 原点 O（0，0） 原点 O（0，0）顶点 (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), (a,0) (0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点 F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0) )0,2(pF准 线x= ca2准线垂直
16、于长轴，且在椭圆外.x= ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距 2c （c= 2ba） 2c （c= 2ba）离心率 )10(ec )1(ece=1五、圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不因为位置的改变而改变。定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称，关于中心为中心对称；抛物线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。定量：六、圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）以焦点在 x 轴上的方程为例：七、问题处理 中点弦:处理椭圆、
17、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：即设 为曲线上不同的两点， 是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，即把直线方程代入曲线方程，消元后，用韦达定理求相关参数（即设而不求）；二是点差法，即设出交点坐标，然后把交点坐标代入曲线方程，两式相减后，再求相关参数。在利用点差法时，必须检验条件0 是否成立。直线与圆锥曲线的位置关系 繁 琐 ）利 用 两 点 间 距 离 公 式 （ 易 ）利 用 一 般 弦 长 公 式 （ 容弦 长 问 题直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 系 ）直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关代 数 角 度 （ 适 用
18、 于 所 有 )位 置 关 系主 要 适 用 于 直 线 与 圆 的(几 何 角 度关 系直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置直 线 与 圆 锥 曲 线.12.直线与圆锥曲线的位置关系：.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。.从代数角度看：设直线 L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到 。02cbxa. 若 =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 L 与双曲线的渐进线平行或重合；a当圆锥曲线是抛物线时，直线 L 与抛物线的对称轴平行或重合。.若 ，设。 . 时，直线和圆锥曲线相交于不
19、同两点，相交。00b. 时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c. 时，直线和圆锥曲线没有公共 0点，相离。弦长问题： acb42直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线 与圆锥曲线交于点 ，k斜 率 为 1y,xA时，则2y,xB= =A2k121x2k21214xx= =2k21y2k2121yy6、曲线与方程：（1）轨迹法求曲线方程的程序：建立适当的坐标系；设曲线上任一点（动点）M 的坐标为(x,y)；列出符合条件 p(M)的方程 f(x,y)=0；化简方程 f(x,y)=0 为最简形式；证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上；（2）曲线的交点：由方程组 确定，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点。
