1、4.5 解三角形考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题掌握2017山东,9;2017 浙江,14;2017天津,15;2017 北京,15;2016课标全国,13;2016天津,3;2015 天津,13选择题填空题 2.正、余弦定理的应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题掌握2017课标全国,17;2017课标全国,17;2017 江苏,18;2016课标全国,8;2016山东,16;2016 浙江,16;2015湖北,13解答题 分析解读 1.利用正弦定
2、理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.五年高考考点一 正弦定理和余弦定理1.(2017山东,9,5 分)在ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )A.a=2b B.b=2aC.A=2B D.B=2A答案 A2.(2016天津,3,5 分)在
3、ABC 中,若 AB=,BC=3,C=120,则 AC=( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 A3.(2017浙江,14,5 分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D为 AB延长线上一点,BD=2,连接 CD,则BDC 的面积是 ,cosBDC= .答案 ;4.(2016课标全国,13,5 分)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 cos A=,cos C=,a=1,则 b= . 答案 5.(2017天津,15,13 分)在ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 ab,a=5,c=6,sin B=.(1)求 b和 sin A的值;(2)求 s
4、in的值.解析 (1)在ABC 中,因为 ab,所以由 sin B=,可得 cos B=.由已知及余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B=13,所以 b=.由正弦定理=,得 sin A=.所以,b 的值为,sin A 的值为.(2)由(1)及 ab,则B=( )A. B. C. D.答案 A8.(2013天津,6,5 分)在ABC 中,ABC=,AB=,BC=3,则 sinBAC=( )A. B. C. D.答案 C9.(2013湖南,3,5 分)在锐角ABC 中,角 A,B所对的边长分别为 a,b.若 2asin B=b,则角 A等于( )A. B. C. D.答案 D10.(20
5、15天津,13,5 分)在ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知ABC 的面积为 3,b-c=2,cos A=-,则 a的值为 .答案 811.(2015重庆,13,5 分)在ABC 中,B=120,AB=,A 的角平分线 AD=,则 AC= . 答案 12.(2015广东,11,5 分)设ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若 a=,sin B=,C=,则 b= . 答案 113.(2015福建,12,4 分)若锐角ABC 的面积为 10,且 AB=5,AC=8,则 BC等于 . 答案 714.(2014广东,12,5 分)在ABC 中,角 A,B,C所
6、对的边分别为 a,b,c.已知 bcos C+ccos B=2b,则= . 答案 215.(2014天津,12,5 分)在ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c=a,2sin B=3sin C,则 cos A的值为 . 答案 -16.(2014福建,12,4 分)在ABC 中,A=60,AC=4,BC=2,则ABC 的面积等于 . 答案 217.(2013安徽,12,5 分)设ABC 的内角 A,B,C所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C= . 答案 18.(2013浙江,16,4 分)在ABC 中,C=90,M 是
7、 BC的中点.若 sinBAM=,则 sinBAC= . 答案 19.(2014辽宁,17,12 分)在ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 ac.已知=2,cos B=,b=3.求:(1)a和 c的值;(2)cos(B-C)的值.解析 (1)由=2 得 cacos B=2,又 cos B=,所以 ac=6.由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B.又 b=3,所以 a2+c2=9+22=13.解得 a=2,c=3或 a=3,c=2.因 ac,所以 a=3,c=2.(2)在ABC 中,sin B=,由正弦定理,得 sin C=sin B=.因 a=bc,所以 C为
8、锐角,因此 cos C=.于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.20.(2013山东,17,12 分)设ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B=.(1)求 a,c的值;(2)求 sin(A-B)的值.解析 (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又 b=2,a+c=6,cos B=,所以 ac=9,解得 a=3,c=3.(2)在ABC 中,sin B=,由正弦定理得 sin A=.因为 a=c,所以 A为锐角,所以 cos A=.因此 sin(A-
9、B)=sin Acos B-cos Asin B=.21.(2013重庆,20,12 分)在ABC 中,内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2+ab=c2.(1)求 C;(2)设 cos Acos B=,=,求 tan 的值.解析 (1)因为 a2+b2+ab=c2,由余弦定理有 cos C=-,故 C=.(2)由题意得=,因此(tan sin A-cos A)(tan sin B-cos B)=,tan 2sin Asin B-tan (sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,tan2sin Asin B-tan sin(A+B)+cos Ac
10、os B=.因为 C=,A+B=,所以 sin(A+B)=,因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得 sin Asin B=-=.由得 tan2-5tan +4=0,解得 tan =1 或 tan =4.考点二 正、余弦定理的应用1.(2016课标全国,8,5 分)在ABC 中,B=,BC 边上的高等于 BC,则 cos A=( )A. B. C.- D.-答案 C2.(2017课标全国,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin2.(1)求 cos B;(2)若 a+c=6,
11、ABC 的面积为 2,求 b.解析 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及 A+B+C= 得 sin B=8sin2,故 sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0,解得 cos B=1(舍去),cos B=.(2)由 cos B=得 sin B=,故 SABC =acsin B=ac.又 SABC =2,则 ac=.由余弦定理及 a+c=6得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以 b=2.3.(2016浙江,16,14 分)在ABC 中,内角 A,B,C所对的边分
12、别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC 的面积 S=,求角 A的大小.解析 (1)由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B).又 A,B(0,),故 08 B.ab(a+b)16C.6abc12 D.12abc24答案 A7.(2015湖北,13,5 分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30的方向上,行驶 600 m后到达 B处,
13、测得此山顶在西偏北 75的方向上,仰角为 30,则此山的高度 CD= m. 答案 1008.(2013福建,13,4 分)如图,在ABC 中,已知点 D在 BC边上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,则 BD的长为 . 答案 9.(2017江苏,18,16 分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32 cm,容器的底面对角线AC的长为 10 cm,容器的两底面对角线 EG,E1G1的长分别为 14 cm和 62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为 12 cm.现有一根玻璃棒 l,其长度为 40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将 l放
14、在容器中,l 的一端置于点 A处,另一端置于侧棱 CC1上,求 l没入水中部分的长度;(2)将 l放在容器中,l 的一端置于点 E处,另一端置于侧棱 GG1上,求 l没入水中部分的长度.解析 (1)由正棱柱的定义,CC 1平面 ABCD,所以平面 A1ACC1平面 ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在 CC1上点 M处.因为 AC=10,AM=40,所以 MC=30,从而 sinMAC=.记 AM与水面的交点为 P1,过 P1作 P1Q1AC,Q 1为垂足,则 P1Q1平面 ABCD,故 P1Q1=12,从而 AP1=16.答:玻璃棒 l没入水中部分的长度为 16 cm.(如果将“没入水
15、中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为 24 cm)(2)如图,O,O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO 1平面 EFGH,所以平面 E1EGG1平面 EFGH,O1OEG.同理,平面 E1EGG1平面 E1F1G1H1,O1OE 1G1.记玻璃棒的另一端落在 GG1上点 N处.过 G作 GKE 1G1,K为垂足,则 GK=OO1=32.因为 EG=14,E1G1=62,所以 KG1=24,从而 GG1=40.设EGG 1=,ENG=,则 sin =sin=cosKGG 1=.因为0,所以 c=3.故ABC 的面积为 bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而 sin B=
16、,又由 ab,知 AB,所以 cos B=.故 sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC 的面积为 absin C=.14.(2015江苏,15,14 分)在ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60.(1)求 BC的长;(2)求 sin 2C的值.解析 (1)由余弦定理知,BC 2=AB2+AC2-2ABACcos A=4+9-223=7,所以 BC=.(2)由正弦定理知,=,所以 sin C=sin A=.因为 ABBC,所以 C为锐角,则 cos C=.因此 sin 2C=2sin Ccos C=2=.15.(2014安徽,16,12 分
17、)设ABC 的内角 A,B,C所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B.(1)求 a的值;(2)求 sin的值.解析 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得 a=2b.因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2.(2)由余弦定理得 cos A=-.由于 0A,所以 sin A=.故 sin=sin Acos+cos Asin=+=.16.(2014陕西,16,12 分)ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.(1)若 a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若 a,
18、b,c成等比数列,求 cos B的最小值.解析 (1)证明:a,b,c 成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c 成等比数列,b 2=ac.由余弦定理得cos B=,当且仅当 a=c时等号成立.cos B 的最小值为.三年模拟A组 20162018 年模拟基础题组考点一 正弦定理和余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 sin A=3sin B,c=,且 cos C=,则 a=( )A.
19、2 B.3 C.3 D.4答案 B2.(2017安徽合肥一模,6)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 cos C=,bcos A+acos B=2,则ABC 的外接圆面积为( )A.4 B.8 C.9 D.36答案 C3.(人教 A必 5,一,1-1B,2,变式)在ABC 中,已知 a=2,则 bcos C+ccos B等于( )A.1 B. C.2 D.4答案 C4.(2018广东茂名二模,14)已知 a,b,c分别是ABC 内角 A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则= . 答案 15.(2017江西抚州 7校联考,15)在ABC 中,D 为线段 BC上一点(不能
20、与端点重合),ACB=,AB=,AC=3,BD=1,则 AD= . 答案 考点二 正、余弦定理的应用6.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若=,A=,b=1,则ABC 的面积为( )A. B. C. D.答案 B7.(2018四川泸州一诊,7)如图,CD 是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点 A处时测得点 D的仰角为 30,行驶 300 m后到达 B处,此时测得点 C在点 B的正北方向上,且测得点 D的仰角为 45,则此山的高 CD=( )A.150 m B.75 mC.150 m D.3
21、00 m答案 C8.(2016福建厦门一中期中,5)如图,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10 m,从 D,C两地测得 A点的仰角分别为 30和 45,则 A点离地面的高 AB等于( )A.10 m B.5 mC.5(-1)m D.5(+1)m答案 D9.(2017河南天一大联考(一),14)在ABC 中,边 AB的垂直平分线交边 AC于 D,若 C=,BC=8,BD=7,则ABC 的面积为 . 答案 20 或 24B组 20162018 年模拟提升题组(满分:40 分 时间:30 分钟)一、选择题(每小题 5分,共 15分)1.(2017安徽江南十校 3月联考,9)设ABC 的面积为
22、S1,它的外接圆面积为 S2,若ABC 的三个内角大小满足 ABC=345,则的值为( )A. B. C. D.答案 D2.(2017湖北武昌一模,12)在锐角ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若 a=2bsin C,则 tan A+tan B+tan C的最小值是( )A.4 B.3 C.8 D.6答案 C3.(2016河南开封四模,9)在ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,设 AD为 BC边上的高,且 AD=a,则+的最大值是( )A.2 B. C. D.4答案 B二、填空题(每小题 5分,共 15分)4.(2018吉林长春一模,15)在ABC 中,
23、三个内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 cos A=sin Acos C,且 a=2,ABC 面积的最大值为 .答案 35.(2018河北邯郸临漳一中月考,16)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式,设ABC三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,面积为 S,则“三斜求积”公式为 S=.若 a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为 . 答案 6.(2017山西四校第一次联考,15)已知ABC 是斜三角形,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 csin A=acos C,c=
24、,且 sin C+sin(B-A)=5sin 2A,则ABC 的面积为 . 答案 三、解答题(共 10分)7.(2018湖北荆州一模,17)设ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,b=.(1)若 C=,ABC 的面积为,求 c的值;(2)若 B=,求 2c-a的取值范围.解析 (1)由三角形的面积公式,得 absin C=.因为 C=,b=,所以 a=2.所以 c=.(2)由正弦定理,得=2,故 a=2sin A,c=2sin C.因为 B=,所以 a=2sin=cos C+sin C.于是 2c-a=3sin C-cos C=2sin.因为 C,所以 C-,所以 sin,故 2
25、c-a的取值范围为(-,2).C组 20162018 年模拟方法题组方法 1 解三角形的常见题型及求解方法1.(2017广东海珠调研,6)在ABC 中,内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,若 c=2a,bsin B-asin A=asin C,则 sin B=( )A. B.C. D.答案 A2.(2018湖南永州二模,15)在ABC 中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 sin A=2sin B,且 a+b=c,则角 C的大小为 . 答案 3.(2017河北石家庄二中 3月模拟,16)已知在ABC 中,角 C为直角,D 是边 BC上一点,M 是 AD上一点,且CD=1,DB
26、M=DMB=CAB,则 MA= . 答案 2方法 2 利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2018江西南城一中期中,6)在ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若=,则这个三角形必含有( )A.90的内角 B.60的内角C.45的内角 D.30的内角答案 B5.(2016河南郑州质检,5)在ABC 中,若 sin C(cos A+cos B)=sin A+sin B,则ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案 B6.(2017宁夏育才中学月考,14)在ABC 中,若=,则ABC 的形状一定是 . 答案 等腰三角形或直角
27、三角形方法 3 正、余弦定理的实际应用策略7.(2018福建莆田月考,8)A 在塔底 D的正西面,在 A处测得塔顶 C的仰角为 45,B在塔底 D的南偏东 60处,在塔顶 C处测得 B的俯角为 30,AB间距 84米,则塔高为( )A.24米 B.12 米C.12 米 D.36米答案 C8.(2017山西康杰中学月考,10)海上有三个小岛 A,B,C,测得BAC=135,AB=6 km,AC=3 km,若在连接 B,C两岛的线段上建一座灯塔 D,使得灯塔 D到 A,B两岛距离相等,则 B,D间的距离为( )A.3 km B. km C. km D.3 km答案 B9.(2016河北邢台三模,1
28、7)如图,在海岛 A上有一座海拔 1千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11时,测得一轮船在岛北偏东30,俯角为 30的 B处,到 11时 10分又测得该船在岛北偏西 60,俯角为 60的 C处.(1)求船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D处,问此时船距岛 A有多远?解析 (1)在 RtPAB 中,APB=60,PA=1,AB=.在 RtPAC 中,APC=30,AC=.在ACB 中,CAB=30+60=90,BC=.则船的航行速度为=2(千米/时).(2)在ACD 中,DAC=90-60=30,sinDCA=sin(180-ACB)=sinACB=,sinCDA=sin(ACB-30)=sinACBcos 30-cosACBsin 30=-=.由正弦定理得=.AD=.故此时船距岛 A千米.
