1、温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考点 31 直接证明与间接证明1.（2012北京高考理科20）设 A 是由 mn 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零，记 S(m，n)为所有这样的数表构成的集合.对于 AS(m,n),记 Ri(A)为 A 的第行各数之和（1m） ，C j(A)为 A 的第 j 列各数之和（1jn） ；记 K(A)为R 1(A),R 2(A),R m(A),C 1(A),C 2(A),C n(A)中的最小值.（1） 对如下数表 A，求 K（A）
2、的值；1 1 -0.80.1 -0.3 -1（2）设数表 AS（2,3）形如1 1 ca b -1求 K（A）的最大值；（3）给定正整数 t，对于所有的 AS（2,2t+1） ，求 K（A）的最大值.【解题指南】 （1）直接按照定义计算即可；（2）直接证明比较困难时，可以考虑用反证法；（3）首先构造一个数表，求出最大值，再证明它就是所求的最大值.【解析】 （1） 1 2|()|0.8|1,|()|0.13|.2,RARA,123|C()|0.|1,|C()|10.|7,|C()|0.81|.AAA0.7.K（2）先用反证法证明 K(A)1：若 K(A)1,则 ，1|C()|1,0Aaa同理可知
3、 b0,a+b0,由题目所有数和为 0，即 a+b+c=-1,c=-1-a-b1，故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值不小于 x-1.设 A 中有 g 列的列和为正，有 h 列的列和为负，由对称性不妨设 g1， .12|()|1r|()|2cA23|()|cA下面证明 1 是最大值.若不然，则存在一个 2 行 3 列的数表 A，使得.()1kAx由 k(A)的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x，而两个绝对值不超过 1 的数的和，其绝对值不超过 2，故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间x,2中.由于 x1，故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值不小于 x-1.设 A 中有 1 列的列和为正，有 h 列的列和为负，有对称性不妨设 h2.另外，由对称性不妨设 A 的第一行的行和为正，第二行的行和为负.考虑 A 的第一行，由前面结论知 A 的第一行有不超过 1 个正数和不少于 2个负数，每个正数的绝对值不超过 1（即每个正数均不超过 1） ，每个负数的绝对值不小于 x-1（即每个负数均不超过 1-x）.因此，11|()|2(1)3rAx(3)xx故 A 的第一行的行和的绝对值小于 x，与假设矛盾.因此 k(A)的最大值为 1.关闭 Word 文档返回原板块。
