1、3.2.2 函数模型的应用实例,1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题.,几类常见函数模型,1.判断（正确的打“”，错误的打“”）. (1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性 质.（ ） (2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的 单调性.（ ）,2.一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析 式为（ ） A.y=20-x，0x10 B.y=20-2x，0x20 C.y=40-x，0x10 D.y=40-2x，0x20,A,3.某电子产品的价格为a元，降价10%后，又降价10%，销 售量猛增，该公司决定再提价20%，提价后这种电子产品
2、的价格为（ ） A.0.972元 B.0.972a元 C.0.96元 D.0.96a元,B,4.某音像社对外出租光盘的收费方法是每张光盘在租出以 后的前两天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一 张光盘在租出后的第10天应收租金_元.,5.6,5.某人从A地出发，开车以80千米/时的速度经2小时到达 B地，在B地停留2小时，则车离开A地的距离y(单位：千米) 是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是,【例1】据市场分析，某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数.当月产量为10吨时，月生产总成本为20万元；当月产量为15吨时
3、，月生产总成本为17.5万元，为二次函数的顶点.,(1)写出月生产总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润？,解：(1)设y=a(x-15)2+17.5， 将x=10，y=20代入上式，得20=25a+17.5. 解得a= ，所以y= (x-15)2+17.5(10x25). (2)设最大利润为Q(x)， 则Q(x)=1.6x-y=1.6x- x2-3x+40 =- (x-23)2+12.9(10x25). 因为x=2310，25， 所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.,变式训练：某电脑公司在甲、乙
4、两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元.,(1)设甲分公司调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式； (2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？,解：(1)甲分公司调运x(0x6，xN)台到B地，则剩下(6-x)台电脑调运到A地；乙分公司应调运(8-x)台电脑至B地，运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑， 则总运费y
5、=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960，所以y=20x+960(0x6，xN). (2)若使y1 000，即20x+9601 000，得x2. 又0x6，xN， 所以0x2，xN. 所以x=0，1，2，即有3种调运方案.,【例2】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
6、,解：(1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，,(2)设旅行社获利S元，,S=900x-15 000在区间（0，30上， 当x=30时，S取最大值12 000. S=-10(x-60)2+21 000在区间(30，75上， 当x=60时，S取最大值21 000. 故当x=60时，旅行社可获得最大利润.,变式训练：某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(g)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.,(1)写出服药后y与t之间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 g时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问
7、一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？,解：(1)依题意得 (2)设第二次服药在第一次服药后t1小时， 则 解得t1=4， 因而第二次服药应在11：00. 设第三次服药在第一次服药后t2小时， 则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和， 即有,解得t2=9，故第三次服药应在16：00. 设第四次服药在第一次服药后t3小时(t310)， 则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为 第二、第三次的和,即 解得t3=13.5， 故第四次服药应在20：30.,【例3】一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减. (1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式； (2)由求出
8、的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期.(结果精确到0.1),解：(1)最初的质量为500 g. 经过1年，w=500(1-10%)=5000.9； 经过2年，w=5000.92； 由此推知，t年后，w=5000.9t. (2)由题意得5000.9t=250，即 0.9t=0.5，两边取以10为底的对数，得 lg 0.9t=lg 0.5，即tlg 0.9=lg 0.5， 所以t= 6.6. 故这种放射性元素的半衰期约为6.6年.,变式训练：某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含 量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂 质含量减少 ，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要 求？(
9、已知：lg 20.301 0，lg 30.477 1),解：设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得考虑到nN，故n8，即至少要过滤8次才能达到市场要求.,1.函数模型的应用实例主要包括三个方面. (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定性的函数模型解决实际问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题.,2.解函数应用问题的步骤(四步八字). (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原
10、为实际问题的意义.,【典例】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x（cm）与当年灌溉面积y（hm2）.现有连续10年的实测资料，如下表所示.,(1)描点画出灌溉面积y(hm2)随积雪深度x(cm)变化的图象； (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x)，并画出图象. (3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的土地面积.,解:(1)描点作图如图.,（2）从图中可以看到，数据点大致落在一条直线附 近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性 函数模型y=ax+b. 取其中的两组数据(10.4,21.1)，
11、(24.0,45.8)， 代入y=ax+b，得 解得 这样，我们得到一个函数模型y=1.8x+2.4.,作出函数图象如图，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. （3）由y=1.825+2.4，得y=47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的土地面积为47.4 hm2.,类题尝试：我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如表所示：,(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式； (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较，误差是否超过了0.1万亿元？,解：（1）画出函数图象，如图.从函数的 图象可以看出，画出的点近似地落在一条 直线上.设所求的函数为y=kx+b， 将(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式， 解方程组，可得k=0.677 7，b=8.206 7. 因此，所求的函数关系式为 y=f(x)=0.677 7x+8.206 7.,（2）由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为 f(1)=0.677 71+8.206 7=8.884 4， f(2)=0.677 72+8.206 7=9.562 1. 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.,课后巩固作业,请点击进入,
