1、学业水平训练1动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2，则点 P 的轨迹是( )A双曲线 B双曲线的一支C两条射线 D一条射线解析：选 D.依题意|PM| PN|2|MN|，所以点 P 的轨迹不是双曲线，而是一条射线2若方程 1 表示双曲线，则 k 的取值范围是 ( )x210 k y25 kA(5,10) B( ，5)C(10，) D(，5) (10，)解析：选 A.由题意得(10k )(5k)0，解得 5k10.3以椭圆 1 的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程x23 y24是( )A. y 21 By 2 1x23 x23C. 1 D. 1x23
2、 y24 y23 x24解析：选 B.椭圆 1 的焦点为 F1(0,1)，F 2(0，1)，长轴的端点 A1(0,2)，x23 y24A2(0，2) ，所以对于所求双曲线 a1，c 2，b 23，焦点在 y 轴上，双曲线的方程为y2 1.x234在方程 mx2my 2n 中，若 mn0，则方程表示的曲线是( )A焦点在 x 轴上的椭圆 B焦点在 x 轴上的双曲线C焦点在 y 轴上的椭圆 D焦点在 y 轴上的双曲线解析：选 D.将方程化为 1.y2 nmx2 nm5若点 M 在双曲线 1 上，双曲线的焦点为 F1， F2，且| MF1|3|MF 2|，则x216 y24|MF2|等于 ( )A2
3、 B4C8 D12解析：选 B.双曲线中 a216 ，a4,2a8，由双曲线定义知|MF 1| MF2|8，又|MF1| 3|MF2|，所以 3|MF2| |MF2|8，解得|MF 2|4.6设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线 1 的一个焦点，则 m_.y2m x29解析：由点 F(0,5)可知该双曲线 1 的焦点落在 y 轴上，所以 m0，且y2m x29m95 2，解得 m16.答案：167已知双曲线的焦点分别为(0，2) 、(0,2)，且经过点 P(3，2) ，则双曲线的标准方程是_解析：由题知 c2，又点 P 到(0，2)和(0,2) 的距离之差的绝对值为 2a，2a| |2，
4、a1， b2c 2a 23.又 3 02 2 22 3 02 2 22焦点在 y 轴上，双曲线的方程为 y2 1.x23答案：y 2 1x238在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 1 上一点 M 的横坐标为 3，则点x24 y212M 到此双曲线的右焦点的距离为 _解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点 M 的坐标为(3， )或(3， )，则15 15点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4.答案：49求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，4 )和( ，5)294(2)与双曲线 1 有公共焦点，且过点(3 ，2)x216 y24 2
5、解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为 1( a0，b0)，则Error!y2a2 x2b2解得Error!所以双曲线的方程为 1.y216 x29(2)设双曲线方程为 1( a0，b0)x2a2 y2b2由题意知 c2 .5因为双曲线过点(3 ，2)，2所以 1.322a2 4b2又因为 a2b 2(2 )2，5所以 a212，b 28.故所求双曲线的方程为 1.x212 y2810焦点在 x 轴上的双曲线过点 P(4 ，3)，且点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，2求此双曲线的标准方程解：因为双曲线焦点在 x 轴上，所以设双曲线的标准方程为 1(a0，b0) ，x2a2 y2b2F1(
6、 c,0)，F 2(c,0)因为双曲线过点 P(4 ，3)，2所以 1.32a2 9b2又因为点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以 0，即c 2250.QF1 QF2 解得 c225.又 c2a 2b 2，所以由可解得 a216 或 a250(舍去) 所以 b29 ，所以所求的双曲线的标准方程是 1.x216 y29高考水平训练1已知双曲线 1 的焦点为 F1，F 2，点 M 在双曲线上，且 MF1x 轴，则 F1x26 y23到直线 F2M 的距离为 ( )A. B.365 566C. D.65 56解析：选 C. 不妨设点 F1( 3,0)，容易计算得出|MF1| ，36 62|M
7、F2|MF 1|2 .6解得|MF 2| .526而|F 1F2|6，在直角三角形 MF1F2中，由 |MF1|F1F2| |MF2|d，12 12求得 F1到直线 F2M 的距离 d 为 .652已知双曲线的两个焦点 F1( ，0)，F 2( ，0) ，P 是双曲线上一点，5 5且 0，| PF1|PF2| 2，则双曲线的标准方程为_PF1 PF2 解析：由题意可设双曲线方程为 1(a0，b0)x2a2 y2b2由 0，得 PF1PF 2.根据勾股定理得PF1 PF2 |PF1|2 |PF2|2 (2c)2，即|PF 1|2|PF 2|220.根据双曲线定义有|PF 1| PF2|2a.两边
8、平方并代入|PF 1|PF2|2 得20224a 2，解得 a24，从而 b2541，所以双曲线方程为 y 21.x24答案： y 21x243设圆 C 与两圆(x )2y 24，( x )2y 24 中的一个内切，另一个外切求5 5C 的圆心轨迹 L 的方程解：设两圆(x )2y 24，(x )2y 24 的圆心分别为 F1( ，0)，F 2( ，0)，5 5 5 5两圆相离，由题意得|CF 1|CF 2|42 | F1F2|，5从而得动圆的圆心 C 的轨迹是双曲线，且 a2，c ，所以 b 1，5 52 22所求轨迹 L 的方程为 y 21.x244如图，若 F1，F 2 是双曲线 1 的
9、两个焦点x29 y216(1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点的距离；(2)若 P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|PF2|32，试求 F1PF2 的面积解：双曲线的标准方程为 1，x29 y216故 a3，b4，c 5.a2 b2(1)由双曲线的定义得|MF 1|MF 2|2a6，又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x，则|16x| 6，解得 x10 或 x22.故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22.(2)将|PF 2|PF 1|2a6，两边平方得|PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF 2|2362| PF1|PF2|36232100.在F 1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 0，100 1002|PF1|PF2|F1PF290，SF1PF2 |PF1|PF2| 3216.12 12
