1、1双曲线及其标准方程教案常德市一中 王第教学目标：1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.2. 使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.定义中“差的绝对值” 、a 与 c 的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法教学用具：CAI 课件、 演
2、示教具课时安排： 一课时 教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么?(学生口述椭圆的定义，教师利用 CAI 课件把椭圆的定义和图象放出来.)师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件PF 1+PF 2=2a(常数)（2aF 1F2）的动点 P 的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验：（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题）二、定义探究2师：我们知道满足几何条件PF 1+PF 2=2a(常数)的动点 P 的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点
3、 P 满足什么几何条件的轨迹呢？（引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：PF 1-PF 2=2a 或PF 2-PF 1=2a）师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.(播放双曲线 flash 生成动画，验证几何条件)师：实验证明当点 P 满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果PF 1PF 2,则得到曲线的右支，如果PF 2PF 1则得到曲线的左支，能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？（引导学生思考，此时只需在PF 1-PF 2=2a 左边加上绝对值）师：作为此时差的绝对值 2a 与F 1F2大小关系怎样？（结合图象，学生分析：应该有 2aF
4、 1F2）（在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义，教师板书）三、方程推导师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？（学生口述教师板书椭圆的标准方程）师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为 P(x、y),F 1F2=2c，并设 F1(-c,0),F2(c,0).由两点间距离公式，得PF 1= ,PF
5、2=2)(ycx2)(ycx由双曲线定义，得3PF 1-PF 2=2a 即- =2a)(ycx2)(ycx化简方程=2a+2)( 2)(两边平方，得(x+c)2+y2=4a24a +(x-c)2+y22)(ycx化简得：cx-a2= 2)(两边再平方，整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2 (c2-a2)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由 2c-2a0，即 ca，所以 c2-a20设 c2-a2=b2 (b0)，代入上式，得b2x2-a2y2=a2b2也就是x2/a2-y2/b2=1 师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们
6、今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中 a0，b0 的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有 c2=a2+b2，区别其与椭圆中 a2=b2+c2的不同之处.师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在 y 轴上，这时双曲线的标准方程形式又怎样呢?（引导学生类比椭圆得到焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程：y 2/a2-x2/b2=1 此方程也是双曲线的标准方程，板书标准方程）师：如何记忆这两个标准方程?（师生共析：双曲线的方程右边为 1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用
7、一句话概括“以正负定焦点” ）4四、巩固内化例：已知两定点 ，求到这两点的距离之差的绝对值为 8 的点的轨迹方)0,5(,21F程。变式：（1）若两定点为 则轨迹方程如何？),(,21变式：（2）若两定点为 则轨迹方程如何？0F（例由师生共同分析共同完成， （1） 、 （2）由学生完成）方法总结：求双曲线标准方程，先定位再定量.五、课堂小结（）双曲线的定义及其标准方程（）把握方程中的 3 个常数 a,b,c 间的关系: c 2=a2+b2. 如何确定焦点位置,会求双曲线的标准方程（）体会双曲线标准方程的探究过程,感受数学知识的和谐、对称美师：（给出彗星运行的图片）唐代诗人李贺曾在梦天中写到：“
8、一泓海水杯中泻”，描写的是在茫茫夜空中出现彗星的美丽情景。彗星的轨道有三种：椭圆、抛物线、双曲线，在已算出的彗星中其轨道为双曲线的大约为 49%，双曲线是我们平面解析几何中一类重要的曲线，它在我们生活中也很常见：（给出实物图片）有人说双曲线好似细腰的花瓶，有人说双曲线是高脚杯两侧最娓美的轮廓线，还有人说双曲线就是一对悲伤的恋人，彼此相依却无缘相聚，种种想象赋予了双曲线丰富而神秘的内涵，为什么人们会对它如此的着迷？它又有哪些性质呢？有待同学们在今后的学习中去继续探讨！六、课堂作业（略）七、板书设计课题：双曲线及其标准方程1复习回顾： 3方程建立： 4例题：5标准方程：2双曲线定义：与椭圆比较表：5练习
