1、章末整合提升自我校对分数指数幂互为反函数对数函数ylog ax(a 0，且 a1)xlog aN(a0，且 a1)yx 指数、对数的运算解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的运算法则，熟练掌握各种变形如 N a，a bN ，log aNb(其中 N 0，a0 ，a1)是同一数量关系的1b不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算计算：(1)2log32log 3 log 385log 53；329(2)0.064 0(2) 3 16 0.75 0.01 .13 ( 78) 43 12【精彩点拨】 (1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出；(
2、2)利用指数幂的运算法则即可得出【规范解答】 (1)原式log 3 3231.228329(2)原式0.43 1 24 24 0.1 1 .( 13) ( 34) 52 116 18 110 14380再练一题1计算：(1) 00.25 4 ；3 43 (12) 12 ( 12)(2)log3 2log 510log 50.2571log 72.4273【解】 (1)原式 41 ( )43.12 2(2)原式log 3 log 5(1000.25)334377log 72log 33 log 552 2 .14 72 14 72 214指数、对数型函数的定义域、值域求指数型与对数型函数的定义域
3、主要通过构建不等式(组)来求解，有时解不等式(组) 时要借助于指数、对数函数的单调性涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如 ya f(x)和 ylog af(x)的函数，一般要先求 f(x)的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如yf (ax)和 yf(log ax)的函数，则要根据 ax和 logax 的范围，利用函数 yf (x)的性质求解(1)求函数 y x22x2(0x 3)的值域；(12)(2)已知3 log x ，求函数 f(x)log 2 log2 的最大值和最小值12 32 x2 x4【精彩点拨】 (1)令 t x22x2，则 y t.根据 x 的范围，求得
4、t 的范(12)围，可得函数 y t的范围(12)(2)由 f(x)log 2 log2 (log 2x1)(log 2x2)(log 2x)23log 2x2，结合二x2 x4次函数的性质即可求解【规范解答】 (1)令 t x22x2，则 y t.(12)又 tx 22x2(x1) 21,0x3，当 x1 时， tmin1；当 x3 时，t max5.故 1t5， 5y 1，(12) (12)故所求函数的值域为 .132，12(2)3log x ， log 2x3，12 32 32f(x)log 2 log2 (log 2x1)(log 2x2)(log 2x)x2 x423log 2x2
5、2 .(log2x 32) 14当 log2x3 时，f( x)max2；当 log2x 时，f( x)min .32 14再练一题2设 0x 2，y 4x 32 x5，试求该函数的最值12【导学号：97030122】【解】 令 k2 x(0x 2)，1k 4，则y2 2x1 32 x5 k23k5.12又 y (k3) 2 ，k1,4，12 12y (k3) 2 在 k1,3上是减函数，12 12在 k3,4 上是增函数，当 k3 时，y min ；12当 k1 时， ymax .52即函数的最大值为 ，最小值为 .52 12幂、指数、对数函数的图象和性质解决此类问题要熟练掌握指数、对数、幂
6、函数的图象和性质，方程与不等式的求解可利用函数的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根对于图象的判断与选择可利用图象的变换，也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用当 0x 时，4 xlog ax，则 a 的取值范围是( )12A. B.(0，22) ( 22，1)C(1， ) D( ，2)2 2【精彩点拨】 由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【规范解答】 当 0x 时，14 x2，要使 4xlog ax，由对数函数的性12质可得 0a1，数形结合可知只需 2log ax，Erro
7、r!即Error! 对 0x 时恒成立，12Error!解得 a1，故选 B.22【答案】 B再练一题3若 loga20(a0，且 a1)，则函数 f(x)a x1 的图象大致是( )【解析】 由 loga20(a0，且 a1)，可得 0a1，函数 f(x)a x1 a ax，故函数 f(x)在 R 上是减函数，且经过点(0 ，a)，故选 A.【答案】 A比较大小问题数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数 (式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法(2)
8、当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于 0”， “大于等于 0，小于等于 1”， “大于 1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小比较下列各组中值的大小：(1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8；(2)log53，log 63，log 73.【精彩点拨】 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质进行比较【规范解答】 (1)1.1 0.91.10 1，log 1.10.9log0.70.8log1.10.9.(
9、2)0log63log73.再练一题4已知 alog 20.3，b2 0.3，c0.3 0.2，则 a，b，c 三者的大小关系是( )Aabc BbacCb ca Dcba【解析】 alog 20.3log 210，b2 0.32 01,0c0.3 0.20.3 01，bc a.故选C.【答案】 C分类讨论思想所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现已知函数
10、f(x)x 2m2m3(mN)为偶函数，且 f(3)0，且 a1) 在2,3 上为增函数，求实数 a 的取值范围【精彩点拨】 (1)结合 f(3)0 ，解得10.Error!无解；当 a1 时， ylog au 在其定义域内单调递增，要使 g(x)在2,3上单调递增，则需 u(x)x 2ax 在2,3上单调递增，且 u(x)0.Error!解得 a0 且 a1，若 Plog a(a31)，Qlog a(a21) ，试比较 P，Q 的大小【导学号：97030123】【解】 当 0log a(a21)，即 PQ；当 a1 时，有 a3a2，即 a31a 21.又当 a1 时， ylog ax 在(
11、0，)上单调递增，log a(a31)log a(a21)，即 PQ.综上可得，PQ.1(2015全国卷 )已知函数 f(x)Error!且 f(a)3，则 f(6a)( )A B 74 54C D34 14【解析】 由于 f(a) 3，若 a1，则 2a1 23，整理得 2a1 1.由于 2x0，所以 2a1 1 无解；若 a1，则 log2(a1)3，解得 a18，a7，所以 f(6a) f(1)2 11 2 .74综上所述，f(6a) .故选 A.74【答案】 A2(2015天津高考 )已知定义在 R 上的函数 f(x)2 |xm| 1(m 为实数)为偶函数，记 af(log 0.53)
12、，bf(log 25)，c f(2m)，则 a，b，c 的大小关系为( )Aa3 成立的 x 的取2x 12x a值范围为( )A( ，1) B(1,0)C(0,1) D(1，)【解析】 因为函数 y f(x)为奇函数，所以 f(x)f (x)，即 2 x 12 x a.化简可得 a1，则 3，即 30，即 0，故2x 12x a 2x 12x 1 2x 12x 1 2x 1 32x 12x 1不等式可化为 0，即 12 x2，解得 0x1，故选 C.2x 22x 1【答案】 C4(2016全国卷 )若 ab1,0c1，则( )Aa cb c Bab cba cCalog bcblog ac
13、Dlog aclog bc【解析】 y x ， (0,1) 在(0，)上是增函数，当 ab1,0c 1 时， acb c，选项 A 不正确yx ， (1,0)在(0 ，)上是减函数，当 ab1,0c 1，即 1c 10 时，ac 1 bc1 ，即 abcba c，选项 B 不正确ab1，lg alg b0，alg ablg b0， .又0c1，lg c0.alg b blg a ，alog bc blogac，选项 C 正确alg clg b blg clg a同理可证 logaclog bc，选项 D 不正确【答案】 C5(2015浙江高考 )计算：log 2 _，2log 23log 43_.22【解析】 log2 log2 log 22 1 ；2log 23log 432log 232log4332log 4322 2 12 1232log2 3 .3 3【答案】 312 3
