1、1.3.2 奇偶性1结合具体函数了解函数奇偶性的含义(难点)2会判断函数奇偶性的方法(重点、难点)3能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系(易混点)基础初探教材整理 1 偶函数阅读教材 P33P 34“观察 ”以上部分，完成下列问题偶函数条件 对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)结论 函数 f(x)叫做偶函数图象特征偶函数的图象关于 y 轴对称，图象关于 y 轴对称的函数一定是偶函数.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时，f (x)x 22x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图 134 所示
2、，请补出完整函数 f(x)的图象，并根据图象写出函数 f(x)的增区间图 134【解】 由题意做出函数图象如下：据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，) 教材整理 2 奇函数阅读教材 P34“观察”至 P35“例 5”以上部分，完成下列问题奇函数条件 对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)结论 函数 f(x)叫做奇函数图象特征奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)对于函数 yf(x)，若存在 x，使 f(x )f(x)，则函数 yf(x)一定是奇函数( )(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数( )
3、(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数( )【解析】 (1).如 f(x)x 2，满足 f(0)f(0) 0，但函数 f(x)x 2 不是奇函数(2).存在 f(x)0，xR 既是奇函数，又是偶函数(3).函数 f(x)x 22x ， xR 的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，也不是偶函数【答案】 (1) (2) (3)小组合作型函数奇偶性的判断给出以下结论：f(x)|x1|x 1|是奇函数；g(x) 既不是奇函数也不是偶函数；1 x2|x 2| 2F(x)f( x)f(x )(xR) 是偶函数；h(x) 既是奇函数，又是偶函数其中正确的序号是x2 1 1 x2_
4、【精彩点拨】 先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性判断【自主解答】 对于，f(x) | x1| | x1| (|x1|x1|)f (x)，f(x)|x1|x 1|是奇函数，正确；对于，由 1x 20，得 1x 1，g(x) ，满足 g(x )g (x)，故 yg(x )是奇函数，1 x2|x 2| 2 1 x2x 2 2 1 x2x错误；对于，F( x)f( x)f(x )，F(x)f( x)f(x)F (x)(xR )，F(x)f(x)f(x)是偶函数，正确；对于，由Error! 解得 x1 ，故函数 h(x)的定义域为 1,
5、1，且 h(x)0，所以 h(x)既是奇函数，又是偶函数，正确【答案】 定义法判断函数奇偶性的步骤再练一题1下列函数中，是偶函数的有_(填序号)【导学号：97030060】(1)f(x) x3；(2)f(x)|x |1；(3) f(x) ；1x2(4)f(x) x ；(5)f(x)x 2，x1,21x【解析】 对于(1)，f( x)x 3f(x) ，则为奇函数；对于(2)，f(x )|x |1|x| 1，则为偶函数；对于(3)，定义域为 x|x0，关于原点对称，f(x) f( x)，则1 x2 1x2为偶函数；对于(4)，定义域为 x|x0，关于原点对称，f(x)x f (x)，则为1x奇函数
6、；对于(5)，定义域为 1,2，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数故为偶函数的是(2)(3)【答案】 (2)(3)利用函数的奇偶性求函数值或参数值(1)若函数 f(x) 为奇函数，则 a( )x2x 1x aA. B. 12 23C. D134(2)已知 f(x)x 5ax 3bx8 且 f(2)10，那么 f(2)_.【精彩点拨】 (1)利用奇函数的定义得到 f(1) f(1)，列出方程求出a；(2)由已知中 f(x)x 5ax 3bx 8，我们构造出函数 g(x)f (x)8，由函数奇偶性的性质，可得 g(x)为奇函数，由 f(2)10 ，我们逐次求出 g(2) 、g(2)，可
7、求 f(2)【自主解答】 (1)f(x )为奇函数，f(1) f(1)， ，11 a 131 a1a3(1 a) ，解得 a ，故选 A.12(2)f(x) x 5ax 3bx 8 ，令 g(x)f(x )8x 5ax 3bx ，则 g(x)为奇函数，f(2)10 ，g(2)10818，g(2)18，f(2)g(2)818826.【答案】 (1)A (2) 261由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参
8、数2利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此再练一题2若函数 f(x)ax 2bx3ab 是偶函数，定义域为 a1,2a，则a_，b_.【解析】 由于 f(x)是偶函数，由题意可知Error!a ，b0.13【答案】 013利用奇偶性求函数的解析式函数 f(x)在 R 上为奇函数，当 x0 时，f(x) 1，求 f(x)的解析x式【精彩点拨】 设 x0，则 x0，结合 f(x) f(x)，f(0)0，可求f(x)【自主解答】 设 x0，则 x0，f(x) 1.f (x)是奇函数， xf(x )
9、f( x)，即f(x) 1，f( x) 1. x xf(x)是奇函数，f(0)0，f(x)Error!利用奇偶性求函数解析式的一般步骤1在哪个区间上求解析式，x 就设在哪个区间2把 x 对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入3利用函数的奇偶性把 f(x) 改写成f(x)或 f(x)，从而求出 f(x)再练一题3已知 yf( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f (x)x(x2)，则当x0 时，f(x)的表达式为( )Af(x)x( x 2) Bf(x )x(x2)Cf(x)x (x2) Df(x) x(x2)【解析】 函数 yf (x)是定义在 R 上的奇函数，f(x)
10、f(x)当 x0 时，f(x )x(x 2)，当 x0 时，即 x0， f(x)f(x)x (x 2) x( x2)故选 D.【答案】 D探究共研型函数奇偶性与单调性的综合应用探究 1 如果奇函数 f(x)在区间 (a，b)上单调递增，那么 f(x)在(b，a)上的单调性如何？如果偶函数 f(x)在区间(a， b)上单调递减，那么 f(x)在(b，a)上的单调性如何？【提示】 如果奇函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么 f(x)在(b，a)上单调递增；如果偶函数 f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么 f(x)在(b，a)上单调递增探究 2 你能否把探究 1 所得出的结论用一句话概
11、括出来？【提示】 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反探究 3 若偶函数 f(x)在(，0)上单调递增，那么 f(3)和 f(2)的大小关系如何？若 f(a)f(b)，你能得到什么结论？【提示】 f(2)f(3)，若 f(a)f(b)，则| a|0 时，f(x)2x 2x.(1)求 f(x)的表达式；(2)画出 f(x)的图象【解】 (1)当 x0 时，f (0)f(0)，则 f(0)0 ；当 x0，函数 f(x)是奇函数，则 f(x)f( x)2(x) 2( x)(2x 2x)2x 2x .综上所述，f(x )Error!(2)函数 f(x)的图象如图所示
