1、2019 届高三毕业班摸底联考理科数学注意事项:1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后,将本试题和答题卡一并交回一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合 24Ax, 340Bx,则 AB( )A ,0B 0,C ,D ,02 31ii( )A iB 3iC 3iD 3i3已知角 A 满足 1sinco5A,则 sin2的值为
2、( )A 125B 2C 4D 2454执行如图 1 所示的程序框图,那么输出 S 的值是( )A 12B 1C2018 D25已知随机变量 服从正态分布 ,N,若 10.97p,则 13P( )A 0.6827B 0.852C .54D .726已知 x、y 满足04y,则 3xy的最小值为( )A4 B6 C12 D167若直线 1l和 2是异面直线, 1l在平面 内, 2l在平面 内,l 是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是( )Al 与 1, 2l都不相交 Bl 与 1, 2l都相交Cl 至多与 , 中的一条相交 Dl 至少与 1, 2l中的一条相交8函数 2lnfxx的图象大致
3、为( )9若两个非零向量 a,b 满足 2ab,则向量 ab与 的夹角的余弦值是( )A 12B 12C 3D 310在 AB 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 3c,3, sin2i,则 AB 的周长是( )A B 3C D 411如图,已知 1F, 2是双曲线 2:10,xyCab的左、右焦点,若直线3yx与双曲线 C 交于 P、Q 两点,且四边形 12PFQ是矩形,则双曲线的离心率为( )A 52B 52C 31D 3112已知函数 fx是定义在 R 上的奇函数,若 2gxf, gx为 的导函数,对 ,总有 gx,则 2的解集为( )A ,0B ,1C 1,D 0,二、填空
4、题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13抛物线 2yx的准线方程为_14 51x的展开式中的含 5x的系数为_(用数字填写作答) 15已知 ,2,Myx,点 P 的坐标为 ,xy,则当 PM时,且满足224x的概率为_16某几何体的三视图如图所示,则此几何体的外接球表面积为_三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分17 (本小题满分 12 分)设 nS是公比不为 1 的等比数列 na的前 n 项和已知 32a, 39S(1)求数列 na的通项
5、公式;(2)设 123nnba若 1ncb,求数列 nc前 n 项和 T18 (本小题满分 12 分)某地区某农产品近几年的产量统计如表:年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017年份代码 t 1 2 3 4 5 6年产量 y(万吨) 677 .17.2.4(1)根据表中数据,建立 y 关于 t 的线性回归方程 ybta;(2)根据线性回归方程预测 2019 年该地区该农产品的年产量附:对于一组数据 1,t, 2,t, ,nt,其回归直线 yt的斜率和截距的最小二乘估计分别为:12niiityb, abt(参考数据: 61.8iity,计算结果保留小数点后两位)19 (本
6、小题满分 12 分)如图,四棱锥 PABCD中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PBC, D,且2,E 为 PD 中点(1)求证: PA平面 ABCD;(2)求二面角 BEC的正弦值20 (本小题满分 12 分)设椭圆 2:10xyCab右顶点是 2,0A,离心率为 12(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l 与椭圆交于两点 M,N(M,N 不同于点 A) ,若 0MN,求证:直线 l 过定点,并求出定点坐标21 (本小题满分 12 分)已知函数 2lnfxxm(1)若关于 x 的方程 0f有两个不同的实数根,求证: 10f;(2)若存在 1,e使得 ln2fxx成立,求实数 m
7、 的取值范围 (其中 e 为自然对数的底数, 2.718L)(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系及参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C的参数方程为 2cosinxy( 为参数) ,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2的极坐标方程为 4in(1)求曲线 1的普通方程和 2的直角坐标方程;(2)已知曲线 3C的极坐标方程为 0,R,点 A 是曲线 3C与 1的交点,点 B 是曲线 与 2的交点,且 A,B 均异于原点 O,且 42B,求 的值23 (本小
8、题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 9fx(1)解不等式 15;(2)若关于 x 的不等式 fxa有解,求实数 a 的取值范围2019 届高三毕业班摸底考试理科数学一、 (60 分)1C 由题意,集合 2404Axx,3403Bx,所以 ,433Bx故应选 C2B 由题意得,复数 31i2i1iii故应选 B3D sinco5A,式两边平方得 112is2, sic, 24incos5A故应选 D4A 因为 1S, k; 12S, k; S, 3k, 1S, 4k; 12,5k故应选 A5C 因为随机变量 服从正态分布 ,N,所以 0.5P,所以 1310.472PpP因此 2
9、3.95故应选 C6A 由约束条件04xy作出可行域如图,联立 40xy,解得 2,A,令 3zxy,化为 3xz,由图可知,当直线 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最小值为 4故应选 A7D 由直线 1l和 2是异面直线可知 1l与 2不平行,故 1l, 2中至少有一条与 l 相交故应选 D8A 2lnfxxf, fx为偶函数, f的图象关于 y 轴对称,故排除 B,C,当 0x时, ,故排除 D故应选 A9B 结合向量加减法的平行四边形法则三角形法则可知 ab, 分别为以 a,b 为邻边的平行四边形的对角线对应的向量, 2aba,所以此平行四边形是矩形,且对角线与矩形的边的较
10、小的夹角为6,结合图形可知向量 b与 的夹角为 23,余弦值为 12故应选 B10C 因为 sin2iA,由正弦定理得 ba,由余弦定理得, 22cos43cabC,又 3c,解得 1, 则 B 的周长是 故应选 C11C 由题意,矩形的对角线长相等, 3yx代入 210,yab,可得23abx,23aby,224c, 2224c, 222aa, 4280e, 1e, 43, 1故应选 C12B 因为函数 fx是定义在 R 上的奇函数,所以函数 fx关于原点对称,又 12gxf,故 g的图象关于点 1,2对称,令 h, hxx,对 xR, x, 在 R 上是增函数,又 2110g, 21gx的
11、解集是 ,1故应选 B二、 (20 分)13 12x抛物线 2yx的准线方程是 121411 由题可得 5x的 3项为 23350Cx, 5项为 00551Cx,然后和21x相乘去括号得 项为 10x,故 21的展开式中的 x的系数为 1115 6因为 ,2,Mxy,所以 M 表示区域为正方形,面积为 416,因为实心圆 4在 M 中区域为四分之一圆,所以面积为 2因此概率为 1616 3由三视图还原原几何体如图:该几何体为三棱锥 PABC,底面三角形 ABC 是等腰直角三角形,所以它的外接球也是正方体的外接球,故半径为 32,外接球表面积为234三、 (70 分)17设等比数列 na的公比为
12、 q,则 331232aSaq因为 32, 39S,所以 20 3 分解得 1q(舍去) , 1q 4 分362nna 6 分(2)由(1)得 12nnba 8 分所以 141ncn 10 分数列 n前 项和 1234nTnnL41 12 分18 (1)由题意可知: 23563.t,6.7.7.y, 3 分222221.51.0.5.15.7.5it, 12.8 6175niiityb,又 0.63.4ayt, 6 分y 关于 t 的线性回归方程为 016.yt 8 分(2)由(1)可得,当年份为 2019 年时,年份代码 8t,此时 0.68.47.2y,所以,可预测 2019 年该地区该农
13、产品的年产量约为 7.2万吨 12 分19 (1)证明:底面 ABCD 为正方形, BCA,又 BCP, AB, 平面 PAB, 2 分同理 D, C, 4 分 PA平面 ABCD 5 分(2)建立如图的空间直角坐标系 Axyz,则 0,A, 2,0C, ,1E, 2,0B 6 分设 xyzm为平面 ABE 的一个法向量,又 0,1E, 2,0B, 0yzx令 y, z,得 ,1 8 分同理 1,02n是平面 BCE 的一个法向量, 9 分则 20cos, 5m二面角 ABEC的正弦值为 1 12 分20 (1)右顶点是 2,0,离心率为 2,所以 a, 12c, c,则 3b,椭圆的标准方程
14、为243xy 4 分(2)当直线 MN 斜率不存在时,设 :MNlm,与椭圆方程2143xy联立得:2314my,2314mMN,设直线 MN 与 x 轴交于点 B, MA,即2, 27m或 (舍) ,直线 m 过定点 ,07 6 分当直线 MN 斜率存在时,设直线 MN 斜率为 k, 1,xy, 2,Nxy,则直线 :0MNykxb,与椭圆方程243联立,得 2243841,122kbx, 123bxk,2121121y xb,2840kbb, kR, 8 分0AMN,则 12,xy,即 12121240xxy, 276k, 7k或 b, 10 分直线 :MNlyx或 2yx,直线过定点 2
15、,07或 ,舍去综上知直线过定点 , 12 分21 (1)若方程 0fx有两个不同的实数根,即 2lnmx有两个不同的实数根,令 2lnhx,即函数 ym和 lxx有两个不同的交点, 2 分而 2211hx,令 0hx,解得 1x;令 0hx,解得 1x,故 在 ,上递减,在 ,上递增,故 3x,故 m, 4 分故 10f 5 分(2)若存在 ,xe使得 ln2fxmx成立,即存在 1,使得2maxln成立, 7 分令 2lnxk, 1,e,则 21lnxk,易得 0,令 kx,解得 1x;令 0kx,解得 1x,故 在 ,e递减,在 ,e递增,故 kx的最大值是 1k或 , 10 分而221
16、1ee,故 1me 12 分22 (1)由 2cosinxy消去参数 可得 1C普通方程为 24xy,2 分 4si, 24i, 3 分由 coinxy,得曲线 2C的直角坐标方程为 224xy 5 分(2)由(1)得曲线 21:4xy,其极坐标方程为 cos,由题意设 1,A, 2,B, 6 分则 12 4sinco42sin42B, 7 分 sin, 42kZ, 8 分 0, 34 10 分23 (1)由题意化简 18, 903, xfx, 5fx, 93185x或 15x或 08315x解得不等式的解集为 5 分(2)依题意,求 29x的最小值, , 91803, xfx的最小值为 9, 9a 10 分