1、2018 届广西南宁市高三（上）9 月摸底数学（理科）试题一、单选题1设集合 M=x|x4，集合 ，则下列关系中正确的是（ ）2|0NxA. MN=M B. M RN=M C. N RM=R D. MN=M【答案】A【解析】集合 ，集合 ，则|x2|02xx，A 正确； 或 ， ，B 错N|0RARNMA误； ， 或 ，C 错误； |4Rx|RNx4x，D 错误，故选 A.|02MM2已知（1 +i）z= （是虚数单位） ，那么复数 z 对应的点位于复平面内的（ ）3iA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】由 ，得 ，则复13izi313322ii i
2、z数 对应的点的坐标为 ，位于复平面内的第一象限，故选 A.z,23等差数列a n中，a 3+a7=6，则a n的前 9 项和等于（ ）A. 18 B. 27 C. 18 D. 27【答案】B【解析】由等差数列的性质可得： ，则 的前 9 项和37196aan，故选 B.1996272aS4 （ 2x ） 5 的展开式中 x3 项的系数为（ ）xA. 80 B. 80 C. 40 D. 48【答案】B【解析】通项公式 ，令 ，解552112rrrr rrTCxCx53r得 ，展开式中 项的系数 ，故选 B.1r3415805双曲线 的渐近线方程为（ ）210xyA. B. C. D. 4y54
3、x15yx25yx【答案】D【解析】由题意可得 ，所以渐近线方程为 ，选 D.5,2ab5yx6如图，函数 f（x）=Asin （2x+ ） （A 0 ，| ）的图象过点（ 0， ） ，则23f（x）的函数解析式为（ ）A. f（ x）=2sin（2x ） B. f（x ）=2sin（2x+ ） C. f（x）=2sin（2x+ ） 336D. f（x）=2sin（2x ）6【答案】B【解析】根据函数 的图象，可得 ，根据sin202fxAx， 2A函数图象过点 ，可得 ，求得 ， ， 的03（ ， ） i33sinfx函数解析式为 ，故选 B.sin2fxAx点睛：本题主要考查利用 的图象特
4、征，由函数 的iysinyAx部分图象求解析式，理解解析式中 的意义是正确解题的关键，属于中档题 ,为振幅，有其控制最大、最小值， 控制周期，即 ，通常通过图象我们可A 2T得 和 , 称为初象，通常解出 ， 之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是2T4A最高点或最低点.7执行如图的程序框图，那么输出的 S 的值是（ ）A. 1 B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】由题意可得：初如值 S=2,k=2015,S=-1,k=20162018S= ,k=2017201812,08Sk输出 2,选 C.8三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【
5、答案】B【解析】由题意可得 PA,PB，PC 两两相等，底面是正三角形，所以三棱锥 P-ABC 是正棱锥，P 在底面的身影是底面正三角形的中心 O，由 面 PAO，再由 ，可知 面 PBC,所以可知 ，即 PA,PB,PC 两两垂直，由于是球外接球，所以正三棱锥 P-ABC 可以看成正方体切下来的一个角，与原正方体共外接球，所以 。【点睛】对于三条侧棱两两垂直的三棱锥求外接球表面积或体积时，我们常把三棱锥补成长（正）方体，利用公式 ，求得球的半径。9甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确
6、的是（ ）A. 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C. 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人【答案】C【解析】 “甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大” ，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选 C.10 10已知椭圆 （ab 0 ）的一条弦所在的直线方程是 xy +5=0，弦21xy的中点坐标是 M（4 ，1） ，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 12325【答案】B【解析】设直线与椭圆交点为 ，分别代入椭圆方程，由点差法可12,AxyB知 代入
7、 k=1,M(-4,1),解得 ，选 C.2,Mbyxak 22 3,14bbeaa11已知 O 是ABC 内部一点， ， 且BAC=60，0OABCAB则OBC 的面积为（ ）A. B. C. D. 31232【答案】A【解析】 ， ， 为三角形的重心，0OBCOABCO的面积为 面积的 ， ， ，CA132 cos2ABC， ， 面积为 ，6041in3的面积为 ，故选 A.OBA3点睛：此题是个中档题本题考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，特别注意已知 是 内部一点， 为三OABC0OABCO角形 的重心，以及灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力.CA12设
8、是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+2）=f （2x）时，当 x2 ，0时， ，若（2，6 ）在区间内关于 x 的方程 xf（x）log a（x+2）1xf=0（ a0 且 a1）有且只有 4 个不同的根，则实数 a 的范围是（ ）A. B. （1，4 ） C. （1，8 ） D. （8，+）,4【答案】D【解析】对于任意的 ，都有 ，xR2fxfx，函数 是一个周期函数，42fxff且 ，又当 时， ，且函数 是定义在 R 上的4T20x， 21xffx偶函数，若在区间 内关于 的方程 恰有 4 个不同的实,6xlog0af数解，则函数 与 在区间 上有四个不同的交点，yflog21ay2
9、,6如下图所示：又 ，则对于函数 ，由题意可得，当261ffflog2ayx时的函数值小于 1，即 ，由此解得： ， 的范围是 ，6xlog8a88，故选 D.点睛：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根 的0fxg问题转化为函数 和 交点个数问题，是解答本题的关键，体现了转yfxygx化和数形结合的数学思想，属于中档题.二、填空题13已知 满足约束条件 ，则 的最大值为_ .【答案】6【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数变形为 y=-2x+z,所以 z 的最大值，就是截距最大，由图可知，直线过 B(
10、3,0)时，截距最大，即 ，填 6.14在等比数列a n中，a 2a6=16，a 4+a8=8，则 =_201【答案】1【解析】 ， ，解得 ， ，偶数项261246448a均为正数， ， ， ， ， ， ，故答4a81q20a10201案为 1.15已知函数 f（x ）=（e xe x）x，f（log 3x）+f （ ）2f（1） ，则 x 的取值范围3logx是_【答案】 1,3【解析】函数 ， ，xfe xR， 是定义域 上的偶函数；x xf ffx又 ，不等式 可1333logloglfff 313logl2ffxf化为 ；又 ，当 时， lfxfxxfee0恒成立， 在 上是单调增函
11、数；原不等式可化为0x0， ），解得 ； 的取值范围是 ，故答案为 31logx13x1,31,316如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点， G 是 EF 的中点现在沿AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 H下列说法错误的是_（将符合题意的选项序号填到横线上） AG EFH 所在平面；AHEFH 所在平面；HFAEF 所在平面；HGAEF 所在平面【答案】【解析】假设 平面 ，则 ，设正方形 的边长为 1，则AGEFHAGABCD，即 ， ，又 ，124CEF24324H， 与 不垂直，故错误； ， 22H E
12、， ， ，又 ， 平面 ，ADAHEFAFH故正确；若 平面 ，则 ，即 ，显然不成立，故FD错误；若 平面 ，则 ，由可知这是不可能的，故错误；GG故答案为.三、解答题17在 ABC 中，角 AB，C 的对边分别为 a，b，c ，已知 c（1+cosB）=b （2 cosC） （1 ）求证：2b=a+c；（2 ）若 B= ，ABC 的面积为 ，求 b343【答案】 （1）见解析；（2）4.【解析】试题分析：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，再利用正弦定理求出结论 （2）利用三角形的面积公式和（ 1）的结论，进一步利用余弦定理求出 的值.b试题解析：（1）证明：已知 ，由正弦定理可得：
13、cos2cosBbC，可得： sincos2insCBC， Aa（2 ） ， 的面积为 ， ，解3A1343sin24acc43a得： ，由余弦定理可得： 16ac22cosbB，由于 ，可得： ，解得223aacb3164b18某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语 3 门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成该省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了 100 名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有 25 人持不赞成意见下面是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（1 ）根据已知条件与等高条形图完成下面
14、的 22 列联表，并判断我们能否有 95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？赞成 不赞成 合计城镇居民农村居民合计P（K 2 k0） 0.10 0.05 0.005k0 2.706 3.841 7.879注： 其中22(nadbcnabcd（2 ）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取 3 个，记这3 个家长中是城镇户口的人数为 x，试求 x 的分布列及数学期望 E（x ） 【答案】 （1）表见解析，没有把握；（2）分布列见解析，期望为 1.8.【解析】试题分析：（1）完成 列联表，求出 ，从而我们没有223.0841K的把握认为”赞成高考改革方案与城乡户口有
15、关” ；（2）用样本的频率估计概率，95%随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为 抽中农村户口家.6长的概率为 ， 的可能取值为 0，1 ，2，3 ，由此能求出 的分布列和 0.4XXEX（ ）试题解析：（1）完成 22 列联表，如下：赞成 不赞成 合计城镇居民 30 15 45农村居民 45 10 55合计 75 25 100代入公式，得 观测值： 2k2 22 1036753.0.8414nadbckd我们没有 的把握认为”赞成高考改革方案与城乡户口有关 ”95%（2 ）用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为 ，抽中农村户口家长的概
16、率为 ， 的可能取值为 0，1 ，2，3，0.60.X， ，34.0PX2136.4.8PC， ，23.42C36 的分布列为：X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.2160.6410.28.4320.16.8E19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PD平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，DAB=60 （1 ）求证：直线 AM平面 PNC；（2 ）求二面角 DPCN 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2） .579【解析】试题分析：（1）在 上取一点 ，使 ，连接 ， ，可PCF2PCMFN得 ， ， 为平行四边形，即 ，即可
17、得直线MFANMNAA平面 （2）取 中点 ，可得 ， ， 相互垂直，以 为原点，如图建立空BEDED间直角坐标系，易知平面 的法向量 ，求出面 的法向量10m， ，计算出两向量夹角即可.1,nxyz试题解析：（1）在 上取一点 ，使 ，连接 ， ，PCF2PCMFN ， ， ， ， ， 2PMD2ANBMFDCA23CAND ， ， 为平行四边形，即3ANBCNF，又 平面，直线 平面 PP（2）取 中点 ，底面 是菱形， ， ，E60B90E， ，即 ，又 平面 ，90EAC ，又 ，直线 平面 ，故 ， ， DDCDD相互垂直，以 为原点，如图建立空间直角坐标系C则 ， ， ， ， ，
18、03P， ， 1,02N3C， ， 31,02A3,02B，易知平面 的法向量 ，设面 的法向量 ，D， ， PD10m， ， PNC1,nxyz由 ，得 ， ，故二面角0 nCN5,3n 579cosn ， 的余弦值为P7920已知抛物线 C：y 2=ax（a0）上一点 P（t， ）到焦点 F 的距离为 2t12（l）求抛物线 C 的方程；（2 ）抛物线上一点 A 的纵坐标为 1，过点 Q（3， 1）的直线与抛物线 C 交于 M，N 两个不同的点（均与点 A 不重合） ，设直线 AM，AN 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1k2为定值【答案】 （1） ；（2）证明见解析.yx【解析】试
19、题分析：（1）由抛物线的定义可知 ，可求抛物线的标准24aPFtt方程；（2）设过点 的直线 的方程为 ，即 ，31Q， l31xmy3xym代入 利用韦达定理，结合斜率公式，化简即可求 的值.yx 2k试题解析：（1）由抛物线的定义可知 ，则 ，由点 在4aPFtt4t12Pt（ ， ）抛物线上，则 ， ，则 ，由 ，则 ，抛物线的方14at14a20a程 .2yx（2） 点在抛物线上，且 ， ， ，设过点 的直线A1AyAx1（ ， ） 31Q，的方程为 ，即 ，代入 得 ，l3xm3m2yx20my设 ， ，则 ， ，所以1,My2,Nxy1212.2212 221112ykx点睛：本题
20、考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题；运用抛物线上的点到焦点距离为 是解02pdx题的关键，联立直线与抛物线的方程，运用“整体代换，设而不求”的思想是常用的手段.21设 1xfea（l）若 a0 ，f（x）0 对一切 xR 恒成立，求 a 的最大值；（2 ）是否存在正整数 a，使得 1n+3n+（2n1 ） n （an） n 对一切正整数 n 都1e成立？若存在，求 a 的最小值；若不存在，请说明理由【答案】 （1）1；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由 ，知 ，故xfeaxfea，再由 对一切 恒成立，能求出最大值；minlln
21、fxfa0xR（2）设 ，则 ，从而得到 ，取 ， 1xte1xte1e2ixn用累加法得到 13in ， ， ， ， 32nn 1e，由此能够推导出存在正整数 ，使得1223nnee 1e2a结论成立.试题解析：（1） ， ， ， 1xfeaxfea0的解为 ，0xfealn ， 对一切 恒成立，minl lf fxxR ， ， l1max（2）设 ，则 ，令 得： ，在 时1xtete0tx0x， 递减；在 时 ， 递增， 最小值为0txf0xtft，故 ，取 ， 得 ，即xe2in132in ， ， ， ， 12iien，累加得 2nii1 21n ，故22311nnee e13212n
22、n ne （ ）存在正整数 ，使得a32nn nea （ ）22 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程为： （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的 1xcosyin正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为： ，直线 l 的4sin3直角坐标方程为 3yx（l）求曲线 C1 和直线 l 的极坐标方程；（2 ）已知直线 l 分别与曲线 C1、曲线 C2 交异于极点的 A，B，若 A，B 的极径分别为1， 2，求| 21|的值【答案】 （1） ， ；（2）3.:sin:6l【解析】试题分析：（1）直接把曲线的参数方程转化为直角坐标方程，在转化为极坐标方程，再把直线
23、的直角坐标方程转化为极坐标方程；（2）直接建立方程组求出极径的长，最后确定结果.试题解析：（1）曲线 的参数方程为： （ 为参数） ，转化为直角坐1C 1xcosyin标方程为： ，再转化为极坐标方程 ，直线 的直角坐标22xy2l方程为 ，故直线 的极坐标方程为 （ ） 3yxl6R（2）曲线 的极坐标方程为： ，直线 的极坐标方程为 ，将1C2sinl6代入 的极坐标方程得 ，将 代入 的极坐标方程得 ，6162C2412323 选修 4-5：不等式选讲已知函数 f（x）=|2x +1|2x3|，g（x）= |x+1|+|xa|（l）求 f（x）1 的解集；（2 ）若对任意的 tR，sR
24、，都有 g（s ）f（t） 求 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2）|4|5a或【解析】试题分析：（1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论，直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的 ， tR，都有 ，可得 ，进一步求出参数的取值范围.sRgsftminaxgxf试题解析：（1）函数 ，故 ，等价于2131f，令 ，解得 ，令 ，解得 ，则不231x0x2x0x32x等式等价于： ，或 ，或 213xx 13xx，解求得 ，解求得 ，解求得 ，3 21x2432综上可得，不等式的解集为 .3|4x（2）若对任意的 ， ，都有 ，可得 ，tRsgsftminaxgxf函数 ， ，123123fxxx4ax，故 ， ，gaa1min或 ，求得 或 ，故所求的 的范围为 或14a5|35点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
