1、3.1.4 空间向量的直角坐标运算课时过关能力提升1.已知点 B 是点 A(3,7,-4)在 xOz 平面上的射影,则 |2=( )A.(9,0,16) B.25C.5 D.13解析: 由题意,得 B(3,0,-4), |2=32+02+(4)2=25.答案: B2.已知 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 |=( )A. 534.532. 532. 132解析: 由题意,得 M(2,32,3),则 =(2,12,3),所以 |=22+(12)2+32=532.答案: C3.已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以 a,b
2、为邻边的平行四边形的面积为 ( )A. 65. 652C.4 D.8解析: |a| b|=3,=22+(-1)2+22=3,|cos a,b=49, =65.答案: A4.已知 a=(cos ,1,sin ),b=(sin ,1,cos ),则 a+b 与 a-b 的夹角是 ( )A.90 B.60 C.30 D.0解析: (a+b)(a-b) =a2-b2=cos2+12+sin2-(sin2+12+cos2)=0,故 a+b 与 a-b 的夹角是 90.答案: A5.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y),若 ab,则( )A.x=6,y=15 B.x=3,y=152C.x=3,y=
3、15 D.x=6,y=152解析: ab23=4=5=6,=152.答案: D6.已知在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中 a=(2,1,- 1) b=(1,-2,1) c=(1,1,1),= ,= ,1=则 |1|= . 解析: a+b+c=(2,1,-1)+(1,-2,1)+(1,1,1)=(4,0,1),1= |1|=42+02+12=17.答案: 177.已知三点 P1(-x, 1,-3),P2(2,y,-1),P3(-3,0,z),若 13=3532,则 x= ,y= ,z= . 解析: 由已知条件得,(-3+x,0-1,z+3)=35(2+3,y0,1z),解得 x=6,
4、y=53,z=94.答案: 6 53 948.已知点 A(1,0,0),B(3,1,1),C(2, 0,1), a b,则= . 且 =,=解析: 由题中条件得a=(-1,-1,0),b=(-1,0,-1).故 cos= |= 1(-1)2+(-1)2+02(-1)2+02+(-1)2=12,所以=60.答案: 609.设空间两个单位向 AOB.量 =(m,n,0),=(0,n,p)与 =(1,1,1)的 夹 角都等于 4,求 解: 由题意得 ,2+2=1,2+2=1,4= +2+23,4= +2+23,解得 n=624 ,故 cosAOB= |=n2=234 .10.在正方体 ABCD - A1B1C1D1中,M 是 AA1的中点,问当点 N 位于 AB 何处时,MNMC 1?解: 以 A 为坐标原点,棱 AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 a,则 M(0,0,2),C1(a,a,a),N(x,0,0),所以 1=(,2),=(,0,-2).因为 MNMC 1,所 x以 1=xa24=0,得 =4.所以点 N 的坐标 N 为 AB 的四等分点且靠近点 A 时,MNMC 1.为 (4,0,0),即
