1、 ykiA(x,y,z)Ojxz空间向量的直角坐标及其运算 (3)教学目的：1.进一步掌握空间向量的夹角、距离等概念，并能熟练运用；2.能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题；3.了解平面法向量的概念 奎 屯王 新 敞新 疆教学重点：向量的数量积的综合运用 奎 屯王 新 敞新 疆教学难点：向量的数量积的综合运用 奎 屯王 新 敞新 疆教学过程：一、复习引入：1 奎 屯王 新 敞新 疆空间直角坐标系：（ 1） 若 空 间 的 一 个 基 底 的 三 个 基 向 量 互 相 垂 直 ， 且 长 为 ， 这 个 基 底 叫 单 位 正 交 基1底 ， 用 表 示 ；,ijk（2）在空间选定一
2、点 和一个单位正交基底 ，以点 为原O,ijk点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，,ijk xyz它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系 ，点O叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 平,ijk xy面， 平面， 平面；yOzzx2空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，OxyzA(,)xyz使 ，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，OAxiyjzk(,) Oz记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标(,)yz3空间向量的直角坐标运算律：（1）若 ， ，则 ，123(,)a1
3、23(,)b123(,)abab， ，b 123,)aR， ，123 3/ ,()0aabxyzHGFEA BCDA1 B1 C1D1（2）若 ， ，则 1(,)Axyz2(,)Bxyz2121(,)ABxyz一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 奎 屯王 新 敞新 疆4 奎 屯王 新 敞新 疆模长公式： 若 ， ，123(,)a123(,)b则 ， 21|a 23| b5夹角公式： 1222313cos|aab b 6两点间的距离公式：若 ， ，1(,)Axyz2(,)Bxyz则 ，22211| ()ABx或 奎 屯王 新 敞新 疆,21221()
4、()dyz7.如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量aa二、讲解范例：例 1在棱长为 的正方体 中， 分别是 中点， 在棱 上，11ABCD,EF,GD， 是 的中点，4CGDHG（1）求证： ；1EF（2）求 与 所成的角的余弦；C（3）求 的长 奎 屯王 新 敞新 疆H例 2.如图，在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD（）证明 AB平面 VAD（）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小zyxD1 C1B1A1A BCD例 3.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ABC=90 o ，侧棱AA
5、1=2，D,E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的重心 G.(1)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小；（2）求点 A1到平面 AED 的距离.例 4已知点 是平行四边形 所在平面外一点，如果 ，PABCD(2,14)AB， 奎 屯王 新 敞新 疆(,20)AD(1,2)A（1）求证： 是平面 的法向量；（2）求平行四边形 的面积BCD例 5 在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，ABa，BCb，AA 1c，求异面直线 BD1和 B1C所成角的余弦值 奎 屯王 新 敞新 疆三、课堂练习：1 奎 屯王 新 敞新 疆 设 ， ，且 ，记 ，231
6、(,)a231(,)bab|m求 与 轴正方向的夹角的余弦值 奎 屯王 新 敞新 疆bx2 在 ABC 中，已知 AB(2,4,0),BC(1,3,0)，则ABC 奎 屯王 新 敞新 疆DzCyAx BA1 B1C1EG3已知空间三点 A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)求以向量 为一组邻边的平行四边形的面积 S；ACB,若向量 a 分别与向量 垂直，且|a| ，求向量 a 的坐标 奎 屯王 新 敞新 疆, 3四、小结 ：在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，则往往可以在很大程度上降低对空间相象的要求；求向量坐标的常用方法是先设出向量坐标，再待定系数 奎 屯王 新 敞新 疆 五、作业：
