1、13.1.5 空间向量运算的坐标表示课时作业A 组 基础巩固1已知 a(1，2,1)， a b(1,2，1)，则 b 等于( )A(2，4,2) B(2,4，2)C(2,0，2) D(2,1，3)解析： b a(1,2，1)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2)，故选 A.答案：A2若非零向量 a( x1， y1， z1)， b( x2， y2， z2)，则 是 a 与 b 同向或反向的( )x1x2 y1y2 z1z2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：若 ，则 a 与 b 同向或反向，反之不成立x1x2 y1y2 z1z2答案：A3.以正方体
2、ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点 O，如图建立空间直角坐标系，则与 共线的向量的坐标可以是( )DB1 A(1， ， )2 2B(1,1， )2C( ， ， )2 2 2D( ， ，1)2 2解析：设正方体的棱长为 1，则由图可知 D(0,0,0)， B1(1,1,1)， (1,1,1)，DB1 与 共线的向量的坐标可以是( ， ， )DB1 2 2 2答案：C4已知点 A(1，2,11)， B(4,2,3)， C(6，1,4)，则 ABC 的形状是( )A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析： (3,4，8)， (5,1，7)， (2，3,1)，AB AC
3、 BC | | ，AB 32 42 82 892| | ，AC 52 12 72 75| | ，BC 22 32 1 14| |2| |2751489| |2.AC BC AB ABC 为直角三角形答案：C5已知向量 a(2，1,2)， b(2,2,1)，则以 a， b 为邻边的平行四边形的面积为( )A. B.652 65C4 D8解析：cos a， b ，sin a， b ab|a|b| 49 1 cos2 a， b 1 49 2 ， S| a|b|sin a， b33 .659 659 65答案：B6已知 a( 1,0,2 )，b(6，2 1，2)，且 ab，则 _.解析：ab，a tb
4、.Error! Error! .15 12 710答案：7107已知点 A( 1， 1,3)， B(2 ， ， 2 )， C( 3， 3,9)三点共线，则实数 _.解析： ( 1,1， 2 3)， (2，2,6)AB AC 若 A， B， C 三点共线，则 ，AB AC 即 ， 12 12 2 36解得 0， 0，所以 0.答案：08已知 a(1,0,1)， b(2，1,1)， c(3,1,0)，则| a b2 c|_.解析： a(1,0,1)， b(2，1,1)， c(3,1,0)， a b2 c(1,0,1)(2，1,1)(6,2,0)(9,3,0)，3| a b2 c| 3 .92 32
5、 90 10答案：3 109已知空间三点 A(0,2,3)， B(2,1,6)， C(1，1,5)(1)若 ，且| |2 ，求点 P 的坐标；AP BC AP 14(2)求以 ， 为邻边的平行四边形的面积AB AC 解析：(1) ，可设 ，AP BC AP BC 又 (3，2，1)， (3 ，2 ， )，BC AP 又| |2 ，AP 14 2 ， 3 2 2 2 2 14 2， (6，4，2)或 (6,4,2)AP AP 设点 P 的坐标为( x， y， z)， ( x， y2， z3)AP Error! 或Error!解得Error! 或Error!故所求点 P 的坐标为(6，2,1)或(
6、6,6,5)(2)由题中条件可知： (2，1,3)， (1，3，2)AB AC cos ， ，AB AC AB AC |AB |AC | 2 3 61414 714 12sin ， .AB AC 32以 ， 为邻边的平行四边形的面积AB AC S| | |sin ， 14 7 .AB AC AB AC 32 310.如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相等， P 为 A1B 上的点， ，且 PC AB.求：A1P A1B (1) 的值；(2)异面直线 PC 与 AC1所成角的余弦值解析：(1)设正三棱柱的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)， B( ，0,
7、0)， C(0，1,0)， A1(0，1,2)， B1( ，0,2)，3 3C1(0,1,2)，4于是 ( ，1,0)， (0，2，2)， ( ，1，2)AB 3 CA1 A1B 3因为 PC AB，所以 0，即( ) 0，CP AB CA1 A1P AB 也即( ) 0.CA1 A1B AB 故 .CA1 AB A1B AB 12(2)由(1)知 ， (0,2,2)，CP (32， 32， 1) AC1 cos ， ，CP AC1 CP AC1 |CP |AC1 | 3 2222 28所以异面直线 PC 与 AC1所成角的余弦值是 .28B 组 能力提升1已知 A(1,0,0)， B(0，1
8、,1)， O(0,0,0)， 与 的夹角为 120，则 的值OA OB OB 为( )A B C D66 66 66 6解析： (1,0,0)， (0，1,1)，OA OB (1， ， )，OA OB ( ) 2 ，OA OB OB | | ，| | .OA OB 1 2 2 1 2 2 OB 2cos 120 ， 2 .221 2 2 12 16又 0 ， .221 2 2 66答案：C2.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1， CA CC12 CB，则直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为( )A. B.55 535C. D.255 35解析：设| CB| a，则|
9、 CA| CC1|2 a，A(2a,0,0)， B(0,0， a)， C1(0,2a,0)， B1(0,2a， a)， (2 a,2a， a)， (0,2 a， a)，AB1 BC1 cos ， ，故选 A.AB1 BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 55答案：A3若 A(3cos ，3sin ，1)， B(2cos ，2sin ，1)，则| |的取值范围是_AB 解析：| |AB 3cos 2cos 2 3sin 2sin 2 1 1 2 9 4 12 cos cos sin sin ，13 12cos 1| |5.AB 答案：1,54已知 a(1,2,3)， b(3,0，1)，
10、 c ，给出下列等式：(15， 1， 35)| a b c| a b c|；( a b)c a(b c)；( a b c)2 a2 b2 c2；( ab)c a(bc)其中正确的等式是_(只填序号)解析：对， a b c( ，3， ) (19,15,7)，195 75 15a b c( ，1， ) (9,5,23)，95 235 15|a b c| ，15 192 152 72 15635|a b c| .15 9 2 52 232 15635正确对，( a b)c(4,2,2)( ，1， )15 35 (2,1,1)(1,5，3) 2(1)151(3)0，25 256a(b c)(1,2,3
11、)( ，1， )145 85 (1,2,3)(14,5，8)15 114253(8)0，15正确对，( a b c)2| a b c|2 ，1275a2 b2 c21 22 23 23 20 2(1) 2( )21 2( )2 ，15 35 1275正确对，( ab)c0 c0， a(bc)(1,2,3)00，正确答案：5在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 D1D， BD 的中点， G 在棱 CD 上，且CG CD， H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题：14(1)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值；(2)求 FH 的长解析：如图所示，建立
12、空间直角坐标系 Dxyz， D 为坐标原点，则有 E ， F ， C(0,1,0)， C1(0,1,1)， G .(0， 0，12) (12， 12， 0) (0， 34， 0)(1)因为 (0,1,1)C1G (0， 34， 0) ，(0， 14， 1) .EF (12， 12， 0) (0， 0， 12) (12， 12， 12)所以| | ，| | ，C1G 174 EF 32 0 (1)EF C1G 12 12 ( 14) ( 12) .38所以 cos ， .EF C1G EF C1G |EF |C1G | 51177即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 .5117(2)因
13、为 F ， H ，(12， 12， 0) (0， 78， 12)所以 ，FH ( 12， 38， 12)所以| | ，FH ( 12)2 (38)2 (12)2 418即 FH 的长为 .4186.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形， BAD90， AB DC， PA底面 ABCD，且 PA AD DC AB1.12(1)证明：平面 PAD平面 PCD；(2)设 AB， PA， BC 的中点依次为 M、 N、 T，求证： PB平面 MNT；(3)求异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值解析： BAD90且 PA底面 ABCD，以 A 为坐标原点，分别以AD， A
14、B， AP 为 x， y， z 轴建立如图所示坐标系 A(0,0,0)， P(0,0,1)， B(0,2,0)， D(1,0,0)， C(1，1,0)，M(0,1,0)， N ， T .(0， 0，12) (12， 32， 0)(1)证明： (0,1,0)， (1,0,0)， (0,0,1)DC AD AP 0， 0，DC AD DC AP DC AD， DC AP.又 AP AD A， DC平面 PAD，DC平面 PCD，平面 PAD平面 PCD.(2)证明： (0,2，1)， ，PB NM (0， 1， 12) ，NM 12PB PB NM，又 NM平面 MNT， PB平面 MNT， PB平面 MNT.(3) (1,1,0)， (0,2，1)，AC PB | | ，| | ， 2，AC 2 PB 5 AC PB 8cos ， .AC PB AC PB |AC |PB | 225 105所以异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值为 .105
