1、2.4.2 抛物线的几何性质课时过关能力提升1.抛物线 y=4x2 的准线方程为( )A.y=14.y=18C.y=116.y=116解析: 由题意知 x2 p y=14y,所以 =18.准 线 方程 为 116.答案: D2.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( )A.22.23C.4 D.25解析: 由抛物线的定义, p=2,即抛物线方程为 y2=4x.因为点 M(2,y0)在抛物线知 2+2=3,所以上,所以 y0= |OM|22,故 =4+20=23.答案: B3.如果点 M (5,3)到抛
2、物线 y=ax2(a0)的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是 ( )A.y=12x2B.y=-36x2C.y=12x2 或 y=-36x2D.y=112x2或 y=136x2解析: 分 a0,a0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( )A.12.1.2.4解析: 圆 x2+y2-6x-7=0 的圆心坐标为(3,0),半径为 4.y2=2px(p0)的准线方程为 x=2,3+2=4,p=2.故选 C.答案: C5.焦点在 x 轴的负半轴上,并且过点(- 4,2)的抛物线的标准方程为 . 解析: 设所求抛物线的标准方程为 y2=-2px(p0).因为抛物线过点(-4,2
3、),所以 22=-2p(-4),即 p=12.故所求抛物线的标准方程为 y2=-x.答案: y2=-x6.若抛物线 y2=4x 上一点到焦点的距离为 5,则这点的坐标为 . 答案: (4,4)或(4,-4)7.设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,已知点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则点 B到该抛物线准线的距离为 . 解析: 由已知,得 F(2,0),B(4,1),2p p4=1,解得 =2.B( 24,1).因此点 B 到该抛物线的准线的距离为 24+22=324.答案:3248.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点 F
4、的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值.分析: 由题意可先设抛物线方程为 y2=-2px(p0),再求解.解: 设抛物线方程为 y2=-2px(p0),则焦点 F( -2,0),由题意可得 2=6,2+(3-2)2=5,解得 =26,=4 或 =-26,=4. 故所求的抛物线方程为 y2=-8x,m 的值为 26.9.已知点 A(2,1)和抛物线 y2=x,F 为抛物线的焦点,P 是抛物线上任意一点.求:(1)|+|的最小 值 ;(2)点 P 到直线 x+2y+4=0 的距离的最小值 .分析: 利用抛物线的定义及平面几何知识求解 .解: (1)设点 P 到准线 x= d,则|AP|+|PF|=|AP|+d,当 PA 垂直于准线时,|PA|+d 最14的距离 为小,最小值为 94.(2)设点 P 的坐标为(t 2,t),则点 P 到直线 x+2y+4=0 的距离为 |2+2+4|1+4 =(+1)2+35 ,故当 t=-1 时,点 P 到直线 x+2y+4=0 的距离最小,最小值为 355.
