1、第 1 页（共 16 页）高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数 i+i2 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2抛物线 y2=2x 的准线方程是（ ）A B C D3椭圆 + =1 的长轴长是（ ）A2 B3 C4 D64小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少是（ ）A23 分钟 B24 分钟 C26 分钟 D31 分钟5圆 x2+y2=4 与圆 x2+y24y+3=0 的位置关系是（ ）A相离 B相交 C外切 D内切6在正方体
2、ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1D，BC 的中点，则直线 A1B 与直线 EF的位置关系是（ ）A相交 B平行 C异面 D无法确定7 “b0”是“复数 a+bi（a ，bR）是纯虚数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8设 l 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若 l，l ，则 B若 ，l ，则 lC若 l，l，则 D若 l，l ，则 9设直线 y=kx 与椭圆 相交于 A，B 两点，分别过 A，B 向 x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则 k=（ ）A1 B C D第 2 页（共 16 页）10如图
3、，在四棱锥 SABCD 中，SB底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ABAD，AB CD，AB=1，AD=3，CD=2若点 E 是线段 AD 上的动点，则满足SEC=90的点 E 的个数是（ ）A0 B1 C2 D3二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分11命题“xR ，e x0” 的否定是 12复数 = 13已知（5，0）是双曲线 =1（b0）的一个焦点，则 b= ，该双曲线的渐近线方程为 14某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为 15设椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 是椭圆上的点若PF1F1F2，F 1PF2=60，则椭圆的离心率为 16已知曲线
4、C 的方程是 ，且 m0） 给出下列三个命题：若 m0，则曲线 C 表示椭圆；若 m0，则曲线 C 表示双曲线；若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的值越大，椭圆的离心率越大第 3 页（共 16 页）其中，所有正确命题的序号是 三、解答题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17已知直线 l 过点 A（1，3） ，且与直线 2xy+4=0 平行（）求直线 l 的方程；（）若直线 m 与直线 l 垂直，且在 y 轴上的截距为 3，求直线 m 的方程18已知圆 C 的圆心为点 C（2，1） ，且经过点 A（0，2 ） （）求圆 C 的方程；（）若直线 y=kx
5、+1 与圆 C 相交于 M，N 两点，且 ，求 k 的值19如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形过 AB的平面与侧棱 CC1，DD 1 分别交于点 E，F（）求证：EFAB；（）求证：A 1C1平面 DBB1D120已知椭圆 C：x 2+4y2=4，直线 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B（）求椭圆 C 的焦点坐标；（）求实数 b 的取值范围；（）若 b=1，求弦 AB 的长21如图，正方形 ABCD 与梯形 AMPD 所在的平面互相垂直，ADPD，MA PD，MA=AD= PD=1（）求证：MB平面 PDC；（）求证：PM平面 MDC；
6、（）求三棱锥 PMDC 的体积第 4 页（共 16 页）22椭圆 C： =1（a b0）的一个焦点与抛物线 y2=8x 焦点相同，离心率为 （）求椭圆 C 的方程；（）设点 M（m，0）在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点当| |最小时，点 P恰好落在椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围第 5 页（共 16 页）高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数 i+i2 在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复
7、数的代数表示法及其几何意义【分析】由 i+i2=1+i，知 i+i2 在复平面内对应的点（1，1） ，由此能得到结果【解答】解：i+i 2=1+i，i+i2 在复平面内对应的点（1，1）在第二象限故选 B2抛物线 y2=2x 的准线方程是（ ）A B C D【考点】抛物线的标准方程【分析】利用抛物线 y2=2px 的准线方程为 即可得出【解答】解：由抛物线 y2=2x，可得准线方程 x= ，即 故选：C3椭圆 + =1 的长轴长是（ ）A2 B3 C4 D6【考点】椭圆的简单性质【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可【解答】解：椭圆 + =1 的实轴长是：2a=6故选：D第 6 页（共
8、16 页）4小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少是（ ）A23 分钟 B24 分钟 C26 分钟 D31 分钟【考点】流程图的作用【分析】根据题干，起床穿衣煮粥 吃早餐，同时完成其他事情共需 26 分钟，由此即可解答问题【解答】解：根据题干分析，要使所用的时间最少，可设计如下：起床穿衣煮粥 吃早饭所用时间为：5+13+8=26（分钟） ，故选：C5圆 x2+y2=4 与圆 x2+y24y+3=0 的位置关系是（ ）A相离 B相交 C外切 D内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的
9、距离 d，然后求出 Rr 和 R+r 的值，判断 d 与 Rr 及 R+r 的大小关系即可得到两圆的位置关系【解答】解：把圆 x2+y24y+3=0 化为标准方程得：x 2+（y2） 2=1，圆心坐标为（0，2） ，半径为 R=1，圆 x2+y2=4，圆心坐标为（0，0） ，半径为 r=2圆心之间的距离 d=2，R+r=3，Rr=1，Rrd R+r，则两圆的位置关系是相交故选：B6在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1D，BC 的中点，则直线 A1B 与直线 EF的位置关系是（ ）A相交 B平行 C异面 D无法确定【考点】异面直线及其所成的角第 7 页（共 16 页）【分
10、析】连结 CD1，则直线 A1B 与直线 EF 均在平面 A1BCD1 上，由 A1BCD1，EF 与CD1 相交可判断结论【解答】解：连结 CD1， BC A1D1，四边形 A1BCD1 是平行四边形，A1B平面 A1BCD1，EF平面 A1BCD1，A 1B 与 EF 共面，A1BCD1，EF 与 CD1 相交，直线 A1B 与直线 EF 相交故选：A7 “b0”是“复数 a+bi（a ，bR）是纯虚数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】复数 a+bi（a，bR）是纯虚数 b0，a=0，反之
11、不成立【解答】解：复数 a+bi（a，b R）是纯虚数 b0，a=0，反之不成立“b0”是“复数 a+bi（a ，bR）是纯虚数”的必要不充分条件故选：B8设 l 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若 l，l ，则 B若 ，l ，则 lC若 l，l，则 D若 l，l ，则 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：若 l，l ，则 与 相交或平行，故 A 错误；若 ，l，则 l 与 相交、平行或 l，故 B 错误；若 ，l，则 l 与 相交、平行或 l，故 C 错误；若 l， l，则由平面与平面平行的判定定理知 ，故
12、 D 正确故选：D9设直线 y=kx 与椭圆 相交于 A，B 两点，分别过 A，B 向 x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则 k=（ ）第 8 页（共 16 页）A1 B C D【考点】椭圆的简单性质【分析】将直线方程与椭圆方程联立，得（1+2k 2）x 2=2分别过 A、B 向 x 轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，说明 A，B 的横坐标是1，即方程（1+2k 2）x 2=2 的两个根为1，代入求出 k 的值【解答】解：将直线与椭圆方程联立， ，化简整理得（1+2k 2）x 2=2（*）因为分别过 A、B 向 x 轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为 1代入方程（*） ，
13、得 k= 故选：B10如图，在四棱锥 SABCD 中，SB底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ABAD，AB CD，AB=1，AD=3，CD=2若点 E 是线段 AD 上的动点，则满足SEC=90的点 E 的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】棱锥的结构特征【分析】如图所示，连接 BE，由于 SB底面 ABCD，SEC=90 ，可得：CE BE设E（0，t） （0t 3） ，由 =0，解出即可判断出结论【解答】解：如图所示，连接 BE，SB底面 ABCD， SEC=90，CEBE设 E（0，t） （0t 3） ，B（1，3） ，C （2，0） ，则 =（2，t） （1，t3）=2+t
14、（t 3）=0，解得 t=1 或 2E（ 0，1） ，或（0，2） 满足 SEC=90的点 E 的个数是 2故选：C第 9 页（共 16 页）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分11命题“xR ，e x0” 的否定是 x R，e x0 【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“xR，e x0”的否定是：xR，e x0故答案为： xR，e x012复数 = 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： = 故答案为： 13已知（5，0）是双曲线 =1（b0
15、）的一个焦点，则 b= 3 ，该双曲线的渐近线方程为 y= x 【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得 c=5，即 16+b2=25，解得 b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程【解答】解：由题意可得 c=5，即 16+b2=25，解得 b=3，即有双曲线的方程为 =1，可得渐近线方程为 y= x故答案为：3，y= x第 10 页（共 16 页）14某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱长为 【考点】由三视图求面积、体积【分析】四棱锥的底面为正方形，一条侧棱与底面垂直，求出四条侧棱的长比较大小即可【解答】解：由三视图可知三棱锥的底面 ABCD 是正方形，对角线 AC=2，侧棱
16、PA平面ABCD，PA=1，四棱锥的底面边长 AB= ， PB=PD= = ， PC= = 三棱锥最长棱为 故答案为： 15设椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 是椭圆上的点若PF1F1F2，F 1PF2=60，则椭圆的离心率为 【考点】椭圆的简单性质【分析】设 F1（ c，0） ，F 2（c，0） ，由题意可得 xP=c，代入椭圆方程求得 P 的坐标，再由解直角三角形的知识，结合离心率公式，解方程可得所求值【解答】解：设 F1（ c，0） ， F2（c，0） ，由题意可得 xP=c，代入椭圆方程，解得 yP=b = ，第 11 页（共 16 页）在直角三角形 F1PF2 中，tan6
17、0= = ，即有 b2=2ac，即为 a22ac c2=0，由 e= ，可得 e2+2e =0，解得 e= （负的舍去） 故答案为： 16已知曲线 C 的方程是 ，且 m0） 给出下列三个命题：若 m0，则曲线 C 表示椭圆；若 m0，则曲线 C 表示双曲线；若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的值越大，椭圆的离心率越大其中，所有正确命题的序号是 【考点】曲线与方程【分析】据椭圆、双曲线方程的特点，列出等式求出离心率 e，判断正误【解答】解：若 m0，且 m1，则曲线 C 表示椭圆，不正确；若 m0，则曲线 C 表示双曲线正确， ；若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则当 m1
18、 时，椭圆的离心率e= = ，m 的值越大，椭圆的离心率越大，正确故答案为：三、解答题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17已知直线 l 过点 A（1，3） ，且与直线 2xy+4=0 平行（）求直线 l 的方程；（）若直线 m 与直线 l 垂直，且在 y 轴上的截距为 3，求直线 m 的方程【考点】待定系数法求直线方程；直线的截距式方程【分析】 （I）利用相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；（II）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出【解答】解：（）由直线 l 与直线 2xy+4=0 平行可知 l 的斜率为 2，又直线 l 过点 A（1，3
19、） ，则直线 l 的方程为 y+3=2（x1） ，即 2xy5=0第 12 页（共 16 页）（）由直线 m 与直线 l 垂直可知 m 的斜率为 ，又直线 m 在 y 轴上的截距为 3，则直线 m 的方程为 即 x+2y6=018已知圆 C 的圆心为点 C（2，1） ，且经过点 A（0，2 ） （）求圆 C 的方程；（）若直线 y=kx+1 与圆 C 相交于 M，N 两点，且 ，求 k 的值【考点】直线与圆的位置关系【分析】 （）求出圆的半径，即可求圆 C 的方程；（）若直线 y=kx+1 与圆 C 相交于 M，N 两点，且 ，可得圆心 C 到直线y=kx+1 的距离为 ，利用点到直线的距离公
20、式求 k 的值【解答】解：（）圆 C 的半径 由圆心为点 C（ 2，1） ，所以圆 C 的方程为（x+2） 2+（y1） 2=5（）圆心为点 C（ 2，1） ，半径为 ， ，所以圆心 C 到直线 y=kx+1 的距离为 ，即 解得 k2=1，k=119如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形过 AB的平面与侧棱 CC1，DD 1 分别交于点 E，F（）求证：EFAB；（）求证：A 1C1平面 DBB1D1【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系第 13 页（共 16 页）【分析】 （）由底面 ABCD 为菱形，可得 ABC
21、D，易证 AB平面 D1DCC1，结合 AB平面 ABEF，平面 ABEF平面 D1DCC1=EF，可得 EFAB（）由 AA1平面 ABCD，可得 BB1平面 A1B1C1D1，可证 BB1A1C1，又底面A1B1C1D1 为菱形，可得 B1D1A1C1，可得 A1C1平面 DBB1D1，【解答】 （本小题 12 分）解：（）底面 ABCD 为菱形，ABCD，又 AB平面 D1DCC1，CD 平面 D1DCC1，AB平面 D1DCC1，又 AB平面 ABEF，平面 ABEF平面 D1DCC1=EF，EFAB（）AA 1平面 ABCD，BB1平面 A1B1C1D1，A1C1平面 A1B1C1D
22、1，BB1A1C1， 又 底面 A1B1C1D1 为菱形，B1D1A1C1，B1D1BB1=B1，BB 1平面 DBB1D1，B 1D1平面 DBB1D1，A1C1平面 DBB1D1，20已知椭圆 C：x 2+4y2=4，直线 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B（）求椭圆 C 的焦点坐标；（）求实数 b 的取值范围；第 14 页（共 16 页）（）若 b=1，求弦 AB 的长【考点】椭圆的简单性质【分析】 （）将椭圆方程化为标准方程，求得 a，b，c，即可得到所求焦点；（）将直线方程代入椭圆方程，消去 y，得到 x 的方程，再由判别式大于 0，解不等式即可得到所求范围；（）若 b=1，设 A（
23、x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值【解答】解：（）由椭圆方程 x2+4y2=4 得 ，可知 a2=4，b 2=1，c 2=3，所以椭圆 C 的焦点坐标 ；（）直线方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组 ，消 y，整理得 x2+2bx+2b22=0， ，由直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B ，则有=4b 24（2b 22）0，解得 ；（）若 b=1，设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，由（）中的式得 x1+x2=2，x 1x2=0，且 k= ，可得弦长 21如图，正方形 ABCD 与梯形 AMPD 所在的平面互相垂直
24、，ADPD，MA PD，MA=AD= PD=1（）求证：MB平面 PDC；（）求证：PM平面 MDC；（）求三棱锥 PMDC 的体积第 15 页（共 16 页）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】 （I）由 ABCD，MAPD 可得平面 MAB平面 PDC，故 MB平面 PDC；（II）由平面 ABCD平面 AMPD 可得 CD平面 AMPD，故 CDPM，由勾股定理计算MP， MD，可得 MP2+MD2=PD2，即 PMMD，于是 MP平面 MDC；（III）以 MDC 为棱锥的底面，则 PM 为棱锥的高，代入体积公式计算即可【解答】解：（）四边
25、形 ABCD 是正方形，ABCD，又 MAPD，ABMA=A ，CD PD=D，AB 平面 ABM，MA平面 ABMCD平面PDC，PD平面 PDC，平面 ABM平面 PDC，MB平面 ABM，MB平面 PDC（）平面 ABCD平面 AMPD，平面 ABCD平面 AMPD=AD，CDAD，CD 平面ABCD，CD平面 AMPD， PM平面 AMPD，CDPM在直角梯形 AMPD 中，由 ，得 ，PM2+MD2=PD2， MDPM，又 CDMD=D，CD平面 MDC，MD平面 MDC，PM平面 MDC（）由（）知 PM 是三棱锥 PMDC 的高， 三棱锥 PMDC 的体积 22椭圆 C： =1（
26、a b0）的一个焦点与抛物线 y2=8x 焦点相同，离心率为 （）求椭圆 C 的方程；第 16 页（共 16 页）（）设点 M（m，0）在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点当| |最小时，点 P恰好落在椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】 （）求得抛物线的焦点，可得 c=2，由离心率公式可得 a=4，再由 a，b，c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程；（）设 P（x，y）为椭圆上的动点，求得向量 MP 的坐标，再由模的公式，及二次函数的最值的求法，可得 m 的范围【解答】解：（）由抛物线 y2=8x 焦点为（2，0） ，得 c=2，由 ，得 a=4，则 b2=a2c2=12，所以椭圆 C 的方程为 ；（）设 P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为 ，故4x4因为 ，所以=因为当 最小时，点 P 恰好落在椭圆的右顶点，即当 x=4 时， 取得最小值，而4 x4，故有 4m4，解得 m1，又点 M 在椭圆 C 的长轴上，即 4m4，故实数 m 的取值范围为 1m4
