1、1第 2 章 平面向量章末检测试卷(二)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1已知向量 (3，7)， (2，3)，则 _.AB BC 12AC 答案 (12， 5)解析 ( ) (3，7)(2，3) .12AC 12AB BC 12 ( 12， 5)2已知向量 a(1，1)， b(2， x)，若 a b 与 a b 平行，则实数 x_.答案 2解析 a b(3，1 x)， a b(1，1 x)，根据题意有 3(1 x)(1 x)，解得x2.3已知点 A(1，3)， B(4，1)，则与向量 同方向的单位向量为_AB 答案 (35
2、， 45)解析 由已知，得 (3，4)，所以| |5，AB AB 因此与 同方向的单位向量是 .AB 15AB (35， 45)4已知平面向量 a( x1， y1)， b( x2， y2)，若| a|2，| b|3， ab6，则的值为_x1 y1x2 y2答案 23解析 设 a， b 的夹角为 ，则 ab| a|b|cos 6cos 1， ，即 a， b 共线且反向， a b，23 x1 x2， y1 y2，23 23 .x1 y1x2 y2 2325向量 a(1，1)， b(1，2)，则(2 a b)a_.答案 1解析 2 a b(2，2)(1，2)(1，0)，(2 a b)a(1，0)(1
3、，1)1.6已知向量| a|1，| b|2， ab ，则| a b|_.12答案 6解析 | a b| .a b2 a2 2ab b2 1 1 4 67已知| a|1，| b|6， a(b a)2，则向量 a 与 b 的夹角为_答案 3解析 设 a 与 b 的夹角为 。 a(b a) ab a22，| a|1， ab2 a23，| b|6，cos ，0 ， ，ab|a|b| 316 12 3向量 a 与 b 的夹角为 . 38已知向量 a ， b ，若 a b，则锐角 为_(32， sin ) (sin ， 16)答案 30解析 a b，sin 2 ，32 16 14sin .12又 为锐角，
4、 30.9若非零向量 a， b 满足| a| |b|，且( a b)(3 a2 b)，则 a 与 b 的夹角为223_答案 4解析 由( a b)(3 a2 b)，得( a b)(3a2 b)0，即 3a2 ab2 b20.| a| |b|，设 a， b ，223即 3|a|2| a|b|cos 2| b|20， |b|2 |b|2cos 2| b|20，cos .83 223 22又0 ， . 4310设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a2 b 平行，则实数 _.答案 12解析 a b 与 a2 b 平行， a b t(a2 b) ta2 tb，Error! Error!11如图，
5、已知两个力的大小和方向，则合力的大小为_N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为_答案 (5，4)41解析 F1(2，3)， F2(3，1)，所以合力 F F1 F2(2，3)(3，1)(5，4)，所以合力的大小为 (N)52 42 4112如图所示，半圆的直径 AB2， O 为圆心， C 是半圆上不同于 A， B 的任意一点，若 P为半径 OC 上的动点，则( ) 的最小值是_PA PB PC 答案 12解析 因为点 O 是 A， B 的中点，所以 2 ，PA PB PO 设| | x，则| |1 x(0 x1)，PC PO 所以( ) 2 2 x(1 x)PA PB PC PO
6、 PC 2 2 .(x12) 12所以当 x 时，( ) 取到最小值 .12 PA PB PC 1213若 a， b， c 均为单位向量，且 ab0，( a c)(b c)0，则| a b c|的最大值为_答案 1解析 由已知可设 a(1，0)， b(0，1)， c( x， y)4由| c|1，( a c)(b c)0得Error! x y1.所以| a b c| 1.1 x2 1 y2 3 2x y14 ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a， b 满足 2 a， 2 a b，则下列结AB AC 论中正确的是_(写出所有正确结论的序号) a 为单位向量； b 为单位向量； a b；
7、 b ；(4 a b) .BC BC 答案 解析 24| a|24，| a|1，故正确；AB (2 a b)2 a b，又 ABC 为等边三角形，| | b|2，故错误；BC AC AB BC b ， ab ( ) 22cos60 2210，故错误；AC AB 12AB AC AB 12 12 b，故正确；BC ( )( ) 2 2440，AB AC AC AB AC AB (4 a b) ，故正确BC 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分)设 e1， e2是两个不共线的向量，已知2 e1 ke2， e13 e2， 2 e1 e2，若 A， B， D 三点共线，求 k
8、的值AB CB CD 解 A， B， D 三点共线， ，AB BD 即 ( )，AB CD CB 2e1 ke2 (2e1 e2 e13 e2) (e14 e2)，Error! k8.16(14 分)已知 a， b， c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1，2)(1)若| b|2 ，且 a b，求 b 的坐标；5(2)若| c| ，且 2a c 与 4a3 c 垂直，求 a 与 c 的夹角 .10解 (1)设 b( x， y)，因为 a b，所以 y2 x.又因为| b|2 ，所以 x2 y220.5由联立，解得 b(2，4)或 b(2，4)5(2)由已知(2 a c)(4 a3 c)，得(
9、2 a c)(4a3 c)8 a23 c22 ac0，由| a| ，| c| ，5 10解得 ac5，所以 cos ， 0，ac|a|c| 22所以 a 与 c 的夹角 . 417(14 分)如图所示，在 ABC 中， ， ， BQ 与 CR 相交于点 I， AI 的延长线AQ QC AR 13AB 与边 BC 交于点 P.(1)用 和 分别表示 和 ；AB AC BQ CR (2)如果 ，求实数 和 的值；AI AB BQ AC CR (3)确定点 P 在边 BC 上的位置解 (1)由 ，AQ 12AC 可得 .BQ BA AQ AB 12AC ，AR 13AB .CR CA AR AC 1
10、3AB (2)将 ， BQ AB 12AC CR AC 13AB 代入 ，AI AB BQ AC CR 则有 ，AB ( AB 12AC ) AC ( AC 13AB )即(1 ) (1 ) ，AB 12 AC 13 AB AC 与 不共线，AB AC Error! 解得Error!6(3)设 m ， n .BP BC AP AI 由(2)知 ，AI 15AB 25AC n n m m m ，BP AP AB AI AB (15AB 25AC ) AB 2n5 AC (n5 1)AB BC AC AB 与 不共线，AB AC Error! 解得Error! ，即 2，BP 23BC BPPC点
11、 P 是 BC 的三等分点且靠近点 C 处18(16 分)已知在 ABC 中， C 是直角， CA CB， D 是 CB 的中点， E 是 AB 上一点，且AE2 EB，求证： AD CE.证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设 A(a， 0)，则 B(0， a)， E(x， y) D 是 BC 的中点， D .(0，a2)又 2 ，AE EB 即( x a， y)2( x， a y)，Error! 解得 x ， y a.a3 23 ( a， 0) ，AD (0， a2) ( a， a2) ，OE CE (a3， 23a) a aAD CE a3 23 a2 a2 a20.13 13 ，即 A
12、D CE.AD CE 19(16 分)在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知向量 a(2，1)， A(1，0)，B(cos ， t)(1)若 a ，且| | | |，求向量 的坐标；AB AB 5OA OB 7(2)若 a ，求 ycos 2 cos t2的最小值AB 解 (1) (cos 1， t)， a ，AB AB 2 tcos 10.cos 12 t.| | | |，(cos 1) 2 t25.AB 5OA 由，得 t21， t1.当 t1 时，cos 3(舍去)，当 t1 时，cos 1， B(1，1)， (1，1)OB (2)由(1)可知 t ，cos 12 ycos 2 co
13、s cos2 cos cos 124 54 32 14 2 ，54(cos2 65cos ) 14 54(cos 35) 15当 cos 时， ymin .35 1520(16 分)在 ABC 中，已知 A(2，4)， B(1，2)， C(4，3)， AD BC 于点 D.(1)求点 D 的坐标；(2)求证： AD2 BDDC.(1)解 设 D 点坐标为( x， y)，则 ( x2， y4)， (5，5)， ( x1， y2)AD BC BD 因为 AD BC，所以 0，即 5(x2)5( y4)0.AD BC 所以 x y6.又因为 B， D， C 三点共线，所以 ，所以 5(x1)5( y2)0，BD BC 所以 x y1.联立，解得Error!所以点 D 的坐标为 .(72， 52)(2)证明 因为 ， ， ，所以 | |2 ，| |AD (32， 32) BD (92， 92) DC (12， 12) AD 94 94 92 BD ，| | ，(92)2 (92)2 922 DC (12)2 (12)2 22从而| | | .BD DC 922 22 928故| |2| | |，即 AD2 BDDC.AD BD DC
