1、1反比例函数综合题类型一 反比例函数与一次函数结合1.如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数 y 4(x0) x的图象与一次函数 y kx k 图象的交点为 A(m，2)，一次函数与 x 轴交于点 C.(1)求一次函数的解析式；(2)设一次函数 y kx k的图象与 y轴交于点 B，若 P是x 轴上一点，且满足 PAB 的面积是 4，求出点 P 的坐标第 1 题图解：(1)将 A(m，2)代入 y 4x(x0)得， m2，则 A(2，2)，2将 A(2，2)代入 y kx k 得，2 k k2，解得 k2，则一次函数的解析式为 y2 x2；(2)一次函数 y2 x2 与 x轴的交点为 C(1，
2、0)，与 y轴的交点为 B(0，2)，S ABP S ACP S BPC， 122CP 122CP4，解得 CP2，则 P 点坐标为(3，0)或(1，0)2.如图，已知一次函数 y 12x b的图象与反比例函数ky x(x0)的图象交于点 A(1，2)和点 B，点 C 在 y 轴上(1)当 ABC的周长最小时，求点 C的坐标；(2)当 1x b k时，请直接写出 x的取值范围2 x 第 2 题图3解：(1)把点 A(1，2)分别代入 y 12x b与 y kx中，解得 b 52， k2，两函数的解析式分别为： y 12x 52， y 2x，y 12x 52联立 y 2x，x1 x4解得 或 y
3、 1 ，y2 2点 B(4， 1)，2如解图，作点 A(1，2)关于 y轴的对称点 D，此时点 D 的坐标为(1，2)，连接 BD交 y轴于点 C，连接 AC，此时 ABC 的周长最小设直线 BD 的解析式为 y k1x b1，将点 D(1，2)和点 B(4，412)分别代入，得k1b12 k1 3101，解得 17，4k1b1 2 b1 10直线 BD 的解析式为： y 103x 1710，当 x0 时， y 1710，点 C(0， 1710)；(2)当 12x b kx，即 12x 52 2x时，x 的取值范围为： x4 或1 x0.3.如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数 y kx(x
4、0)的图象与直线 y x2 交于点 A(3， m)(1)求 k， m的值；(2)已知点 P(n， n)(n0)，过点 P作平行于 x轴的直线，交直5线 y x2 于点 M，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交函数 y kx(x0)的图象于点 N.当 n1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由；若 PN PM，结合函数图象，直接写出 n 的取值范围第 3 题图解:(1)将 A(3,m)代入 y=x-2,得 m=1, A(3,1),将 A(3,1)代入 y=kx，得 k=3;(2) PM=PN.理由如下： n=1,6 P(1,1),把 y=1代入 y=x-2，得 x=3, M(3,
5、1), PM=2,3把 x=1代入 y=x，得 y=3, N(1,3), PN=2, PM= PN; n 的取值范围为 00,3当 00,有3n -n2, n2+2n-3=(n+3)(n-1)0,0 3 时, n- n0,3有 n-n2, n2-2n-3=(n-3)(n+1)0, n3.综上所述, n的取值范围为 02.【解法提示】由题图可知，当32 时，一次函数 y ax b 的图象在反比例函数 y kx的图象下方，不等式 ax b2.13类型二 反比例函数与几何图形结合1.如图，在矩形 OABC中， OA3， OC2， F是 AB上的一个动点( F不与 A， B重合). 过点 F的反比例函
6、数 y kx(k0)的图象与 BC边交于点 E.(1)当 F为 AB的中点时，求该函数的解析式；(2)当 k为何值时， EFA的面积最大，最大面积是多少？第 1 题图解：(1)在矩形 OABC中， F是 AB的中点， OA3，OC2，点 F(3，1)，把点 F(3，1)代入 y kx中，得 1 k3，解得 k3，14反比例函数的解析式为： y 3x；(2)点 E、 F在反比例函数的图象上，点 E 的纵坐标为 2，点 F 的横坐标为 3， AF k3， CE k2， BE3 k2， S EFA 12AFBE 12k3(3 k2)，即 S EFA 121k2 12k 121(k3)2 34， 12
7、10，17x0)的图象上，点 D 的坐标为(4，3)(1)求 k的值；(2)若将菱形 ABCD沿 x轴正方向平移，当菱形的顶点 D落在函数 y kx(k0， x0)的图象上时，求菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移的距离第 3 题图解：(1)如解图，过点 D作 x轴的垂线，垂足为点 F，易知点 A 在直线 FD 上，点 D 的坐标为(4，3)， OF4， DF3，第 3题解图 OD5，18四边形 ABCD 为菱形， AD OD5，点 A 的坐标为(4，8)， k xy4832；(2)将菱形 ABCD沿 x轴正方向平移，使得点 D落在函数y 32x(x0)的图象 D点处，如解图，过点 D作 x
8、轴的垂线，垂足为 F. DF3， D F3，点 D的纵坐标为 3.点 D在 y 32x的图象上， 32x3，解得 x 323，即 OF 323， FF OF OF 3234 203，菱形 ABCD 平移的距离为 203.194.如图，函数 y kx的图象过点 A(1，2)(1)求该函数的解析式；(2)过点 A分别向 x轴和 y轴作垂线，垂足为 B和 C，求四边形 ABOC 的面积；(3)求证：过此函数图象上任一点分别向 x轴和 y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值第 4 题图(1)解：把点 A(1，2)代入 y kx中，解得 k2，该函数的解析式为 y 2x；(2)解： AC
9、 y轴， AB x轴， BOC90，四边形 ABOC 是矩形，20又 A(1，2)， OB1， AB2， S 四边形 ABOC OBAB122；第 4 题解图(3)证明：设点 M(a， b)是反比例函数图象上的一点，如解图，过点 M 作 MN x 轴于点 N，作 MP y 轴于点P，则 MN| b|， MP| a|，(6 分) S 矩形 OPMN ONOP| a|b| ab|，点 M(a， b)在反比例函数的图象上，则有 b 2a，即 ab2, S| ab|2，结论得证5.如图，在平面直角坐标系中， OA OB， AB x轴于21点 C，点 A( 3，1)在反比例函数 y kx的图象上(1)求
10、反比例函数 y kx的表达式；(2)在 x轴的负半轴上存在一点 P，使得 S AOP 12S AOB，求点 P 的坐标；(3) 若将 BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60得到 BDE，点 E 与点 A 对应，直接写出点 E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由第 5 题图解：(1)点 A( 3，1)在反比例函数 y kx的图象上， k 31 3，反比例函数的表达式为 y x3；2223(2) A( 3，1)， OC 3， AC1，易证 AOC OBC ，可得 OC2 ACBC ，即( 3 )21BC， BC3， B( 3，3)， S AOB 12OCAB 12 342 3， S AOP 12S AOB 3，设 P(m，0)， 12|m|1 3，| m|2 3， P 是 x 轴的负半轴上一点， m2 3， P 点坐标为(2 3，0)；(3)E( 3，1)，点 E在反比例函数 y x3上，理由如下：( 3)(1) 3，点 E 在反比例函数图象上
