1、1圆的相关证明与计算类型一 平行线模型1. 如图， ABC内接于 O， AC是直径， BC BA，在 ACB 的内部作 ACF30，且 CF CA，过点 F 作 FH AC 于点 H，连接 BF.(1)若 CF交 O于点 G， O的半径是 4，求 AG的长；(2)请判断直线 BF与 O的位置关系，并说明理由第 1 题图解：(1)如解图，连接 OG，2 ACF30， AOG2 ACF60， O的半径是 4， l n r 604 4 ；AG 180 180 3(2)直线 BF与 O相切，理由如下：如解图，连接 OB， AC 是 O 的直径， ABC90， BC BA， OC OA， BO 12AC
2、， BO AC， BOC90， FH AC， FHC BOC90， BO FH，在 Rt FHC中， ACF30， FH 12CF， BO 12AC， CF CA， BO FH， BO FH，四边形 BOHF 是平行四边形 FHC90，平行四边形 BOHF 是矩形， FBO90， OB BF， OB 是 O 的半径，直线 BF 与 O 相切2.在等腰 ABC中， AC BC，以 BC为直径的 O分别与 AB、 AC 相交于点 D、 E，过点 D 作 DF AC，垂足为点 F.3(1)求证： DF是 O的切线；(2)分别延长 CB、 FD，相交于点 G， A60， O的半径为 6，求阴影部分的面
3、积第 2 题图（1）证明：如解图，连接 OD， OD OB， ODB OBD，第 2 题解图 AC BC， A OBD， ODB A， AC OD，4 DF AC， DF OD， OD 为 O 的半径， DF 是 O 的切线；(2)解： A60， AC BC， OB OD， C DOB60，由(1)知 ODG90， G30， OD6， DG OD 636 3， tan301 60 62 S 阴影 S ODG S 扇形 DOB 66 3 18 36 .2 360类型二 弦切角模型1.如图， AB是 O的直径， C是 O上一点， D在 AB的延长线上，且 BCD A.(1)求证： CD是 O的切线
4、；(2)若 O的半径为 3， CD4，求 BD的长5第 1 题图6(1)证明：如解图，连接 OC， AB 是 O 的直径， ACB90， ACO OCB90， OA OC， OAC OCA， OAC BCD， OCA BCD， BCD BCO90， OC CD， CO 是 O 的半径， CD 是 O 的切线；(2)解：在 Rt OCD中， OC3， CD4， OCD90，由勾股定理得 ODOC2CD25， BD OD OB532.第 1 题解图2.如图，在 ABC中， AB AC，以 AB为直径的 O与 BC交于点 D，过点 D 作 O 的切线交 AC 于点 E.(1)求证： ABD ADE；
5、7(2)若 O的半径为 256， AD 203，求 CE的长第 2 题图(1)证明：如解图，连接 OD. DE 为 O 的切线， OD DE， ADO ADE90. AB 为 O 的直径， ADB90， ADO ODB90. ADE ODB， OB OD， OBD ODB， ABD ADE;第 2 题解图(2)解： AB AC2 256 253， ADB ADC90，8 ABC C， BD CD. O 为 AB 的中点， OD 为 ABC 的中位线， OD AC， OD DE， AC DE，在 Rt ACD中，CD AC2AD2 （ 253）2（ 203）25， C C， DEC ADC90，
6、 DEC ADC，CE DC CE 5 DC AC，即 5 25， CE3.类型三 双切线模型1.如图， AB是 O的直径， PA是 O的切线，点 C在 O上， CB PO.(1)判断 PC与 O的位置关系，并说明理由；(2)若 AB6， CB4，求 PC的长9解：(1) PC与 O相切理由如下：如解图，连接 OC，第 1 题解图 CB PO， POA B， POC OCB， OC OB， OCBB， POA POC，又 OA OC， OP OP， APOCPO， OAP OCP， PA 是 O 的切线， OAP90， OCP90 PC 是 O 的切线；(2)如解图，连接 AC， AB是 O的
7、直径， ACB90，由(1)知 PCO90， B OCB POC，10 ACB PCO， OCBC ACPC，11又在 Rt ABC中， AC AB2CB 2 624 22 5， PC OCAC 325 3 5.BC 4 22. 如图， PB为 O的切线， B为切点，过 B作 OP的垂线 BA，垂足为 C，交 O 于点 A，连接 PA， AO，并延长 AO 交 O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D.(1)求证： PA是 O的切线；(2)若 cos CAO 45，且 OC6，求 PB的长第 2 题图(1)证明：如解图，连接 OB，12 OA OB， OAB OBA， OP AB， AC B
8、C， OP 是 AB 的垂直平分线， PA PB， PAB PBA， PAO PBO. PB 为 O 的切线， OBP90， PAO90， OA 为 O 的半径， PA 是 O 的切线；(2)解：cos CAO 45，设 AC4 k， AO5 k，由勾股定理可知 OC3 k，sin CAO 35，tan COA 43， COOA 35，即 OA6 35，解得 OA10，tan POAtan COA AOAP 43， AP10 43，解得 AP 403， PA PB， PB PA 403.3.如图， PA、 PB是 O的切线， A、 B为切点，连接 AO并延长，交 PB 的延长线于点 C，连接
9、PO，交 O 于点 D.13(1)求证： PO平分 APC；(2)连接 DB，若 C30，求证： DB AC.第 3 题图证明：(1)如解图，连接 OB， PA、 PB 是 O 的切线， OA AP， OB BP.又 OA OB， PO 平分 APC；第 3 题解图(2) OA AP， OB BP， CAP OBP90， C30， APC90 C60， PO 平分 APC， OPC 12 APC 126030，14 POB90 OPC60，又 OD OB， ODB 是等边三角形， OBD60， DBP OBP OBD30， DBP C， DB AC.类型四 其他模型1.如图，以 AB为直径的
10、O经过点 P， C是 O上一点，连接 PC 交 AB 于点 E，且 ACP60， PA PD.(1)试判断 DP与 O的位置关系，并说明理由；若点 C 是 的中点， AB ，求 CE CP 的值(2) AB 4 第 1 题图解：(1) PD与 O相切证明如下：如解图，连接 OP， ACP60， AOP120，15 OA OP， OAP OPA30， PA PD， PAO D30， POD OAP OPA60，在 POD 中， OPD 180 D DOP 180306090，即DP OP， OP 是 O 的半径， DP 是 O 的切线；第 1 题解图(2)如解图，连接 BC， AB是 O的直径，
11、 ACB90，又 C 为 的中点， CAB ABC APC ， AB 45 AB4， AC ABsin452 2， ACP ACP， CAB APC， CAE CPA， CACP CACE，16 CECP CA2(2 2)28.2.如图， AB是 O的直径，点 C是 O上一点， AD和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分 ACB，交直径 AB 于点 F，连接 BE.(1)求证： AC平分 DAB；(2)探究线段 PC， PF之间的大小关系，并加以证明；(3)若 tan PCB 34， BE5 2，求 PF的长第 2 题图(1)证明：如
12、解图，连接 OC, OA=OC， OAC OCA， PC 是 O 的切线，AD CD， OCP D90， OC AD, CAD OCA= OAC，即 AC 平分 DAB；17（2）解： PC=PF，证明如下： AB 是 O 的直径， ACB=90， PCB+ ACD=90，又 CAD+ ACD=90， CAB CAD= PCB,第 2 题解图 ACE BCE, PFC CAB+ ACE， PCF PCB+ BCE, PFC PCF, PC PF；（3）解：如解图，连接 AE， ACE BCE, AEBE, AE=BE, AB 是的直径， AEB=90， AB= 2 BE=10, OB=OC=5
13、,PCB=PAC，P=P，18 PCB PAC， PCPBBCCA，tan PCB=tan CAB=34，设 PB=3x，则 PC=4x，在 Rt POC 中，（3 x+5） 2=（4 x） 2+52，解得 x1=0（舍去）， x2= 307， PF=PC=1207.3.如图，在 Rt ABC中， ACB90，以 BC为直径的 O 交 AB 于点 D， E 是 AC 的中点， OE 交 CD 于点 F.(1)若 BCD36， BC10，求 的长； BD(2)判断直线 DE与 O的位置关系，并说明理由；(3)求证：2 CE2 ABEF.第 3 题图(1)解：如解图，连接 OD， BCD36， B
14、OD2 BCD23672，19 BC 是 O 的直径， BC10， OB5， l 7252 ；BD 180第 3 题解图(2)解： DE是 O的切线；理由如下： BC 是 O 的直径， ADC180 BDC90，又点 E 是线段 AC 的中点， DE 12AC EC，OD OC在 DOE 与 COE 中， OE OE ， DOE COE(SSS) DE CE ACB90， ODE OCE90， OD 是 O 的半径， DE 是 O 的切线；(3)证明：由(2)知， DOE COE， OE 是线段 CD 的垂直平分线， DE CE，20点 F 是线段 CD 的中点，已知点 E 是线段 AC 的中点，则 EF 12AD， BAC CAD， ADC ACB， ACD ABC，则 ACAB ADAC，即 AC2 ABAD，而 AC2 CE， AD2 EF，(2 CE)2 AB2EF，即 4 CE2 AB2EF，2 CE2 ABEF.
