1、12.6.2 求曲线的方程学习目标：1.了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程(重点)2.掌握求动点轨迹方程的常用方法(难点)3.对动点轨迹方程的限制与检验(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理 求曲线的方程阅读教材 P63例 1以上的部分，完成下列问题1求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤为五步用流程图表示如下：建 立 适 当 的 坐 标 系设 曲 线 上 任 意 一 点 M的 坐 标 为 (x， y)列 出 符 合 条 件 p(M)的 方 程 f(x， y) 0化 方 程 f(x， y) 0为 最 简 形 式证 明 以 化 简 后 的 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都
2、在 曲 线 上求曲线方程的流程图可以简记为： 建 系 设 点 列 式 化 简 证 明2求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样( )(2)化简方程“| x| y|”为“ y x”是恒等变形( )(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验( )(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系( )答案 (1) (2) (3) (4)2在平面直角坐标系内，到原点距离为 2的点 M的轨迹方程是_解析 由
3、圆的定义知，点 M的轨迹是以(0,0)为圆心，以 2为半径的圆，则其方程为x2 y24.2答案 x2 y243设 P为曲线 y21 上一动点， O为坐标原点， M为线段 OP的中点，则动点 M的x24轨迹方程是_解析 设 M(x， y)， P(x0， y0)，则 x02 x， y02 y， y 1， x24 y21.x204 20答案 x24 y214到 A(3,0)， B(5，1)的距离相等的点的轨迹方程是_. 【导学号：71392127】解析 设 P(x， y)， PA PB，即 ，即( x3)(x 3)2 y2 (x 5)2 (y 1)22 y2( x5) 2( y1) 2，化简得 16
4、x2 y170.答案 16 x2 y170合 作 探 究攻 重 难直接法求轨迹方程在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， acb，且 a， c， b成等差数列， AB2，求顶点 C的轨迹方程精彩点拨 由 a， c， b成等差数列可得 a b2 c；由 acb可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由 AB2 可建立适当的坐标系于是可按求曲线方程的一般步骤求解自主解答 以 AB所在直线为 x轴， AB的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标系，则 A(1,0)， B(1,0)，设 C点坐标为( x， y)，由已知得 AC BC2 AB.即 4，(x 1)2 y2 (x 1
5、)2 y2整理化简得 3x24 y2120，即 1.x24 y23又 acb， xcb且 a， c， b成等差数列”改为“ ABC的周长为 6且AB2” ，求顶点 C的轨迹方程. 【导学号：71392128】解 以 AB所在直线为 x轴， AB的垂直平分线为 y轴，建立如图所示的平面直角坐标系则 A(1,0)， B(1,0)，设 C(x， y)，由已知得 AC BC AB6.即 4.(x 1)2 y2 (x 1)2 y2化简整理得 3x24 y2120，即 1.x24 y23 A， B， C三点不能共线， x2.综上，点 C的轨迹方程为 1( x2).x24 y23定义法求曲线方程已知圆 A：
6、( x2) 2 y21 与定直线 l： x1，且动圆 P和圆 A外切并与直线l相切，求动圆的圆心 P的轨迹方程精彩点拨 利用平面几何的知识，分析点 P满足的条件为抛物线，可用定义法求解自主解答 如图，作 PK垂直于直线 x1，垂足为 K， PQ垂直于直线 x2，垂足为Q，则 KQ1，所以 PQ r1，又 AP r1，4所以 AP PQ，故点 P到圆心 A(2,0)的距离和到定直线 x2 的距离相等，所以点 P的轨迹为抛物线，A(2,0)为焦点，直线 x2 为准线设抛物线方程为 y22 px(p0)则 2， p4，p2点 P的轨迹方程为 y28 x.名师指津 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线
7、的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征.再练一题2点 P与定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x8 的距离的比是 12，求点 P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解 设 d是点 P到直线 x8 的距离，根据题意，得 .PFd 12由圆锥曲线的统一定义可知，点 P的轨迹是以 F(2,0)为焦点， x8 为准线的椭圆，设椭圆的方程为 1( a b0)，焦距为 2c，则Error!解得Error!x2a2 y2b2 b2 a2 c216412.故点 P的轨迹方程为 1.x216 y212代入法求动点的轨迹方程已知 P在
8、抛物线 y x2上运动，另有一点 Q(4,2)，求线段 PQ的中点 M的轨迹方程. 【导学号：71392129】精彩点拨 设 M(x， y)，由 M为线段 PQ的中点，可表示出在已知抛物线上运动的点P的坐标，代入到已知抛物线，进而得到所求动点的轨迹方程自主解答 设 M(x， y)， P(x0， y0)由 M为线段 PQ的中点，5得 x， y，x0 42 y0 22则 x02 x4， y02 y2.因为 P(x0， y0)在抛物线 y x2上，即 y0 x ，得 2y2(2 x4) 2，20化简得 y2 x28 x9.即线段 PQ的中点 M的轨迹方程为 y2 x28 x9.名师指津 1动点满足的
9、条件不方便用等式求出，但动点随着另一个动点(相关点)而运动时，可以用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关动点法，也称代入法2代入法求动点轨迹，要设从动点坐标为( x， y)，主动点坐标为( x0， y0)，用 x， y表示 x0， y0，不要弄反代入而导致错误再练一题3在例 3中，若点 M满足 3 ，则点 M的轨迹方程是什么？PQ MQ 解 设 P(x0， y0)，则 y0 x ，设 M(x， y)，则 (4 x0,2 y0)， (4 x,2 y)，20 PQ MQ 由 3 ，得Error!即Error!又 y0 x ，3 y
10、4(3 x8) 2，化简得 y3 x216 x ，PQ MQ 20 683即点 M的轨迹方程为 y3 x216 x .683曲线方程的特征探究问题1在解决曲线的方程问题时，怎样建立“适当的”坐标系？提示 建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征，例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同所以要遵循垂直性和对称性的原则建系一方面让尽可能多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷2 “轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？提示 (1)动点的轨迹方程实质上是建立
11、轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x， y)所适合的方程 f(x， y)0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形，故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等63在求动点的轨迹方程时 ，如何确定变量的取值范围？提示 在求动点的轨迹方程时，注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出变量的适当范围4如何利用参数法求轨迹方程，利用参数法求轨迹方程时要注意什么？提示 (1)当动点坐标 x， y满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作
12、为参数，间接地表示出关于 x， y的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式在具体问题中，往往以直线的斜率 k，倾斜角 ，截矩b，时间 t等作为参数(2)利用参数法求轨迹方程时，应注意参数的取值范围同时，参数法求动点轨迹方程的一个难点就是消参数，应选用适当的方法消去参数例如代入法、加减法、恒等式法等设椭圆方程为 x2 1，过点 M(0,1)的直线 l交椭圆于 A， B两点， O为坐y24标原点，点 P满足 ( )，当直线 l绕点 M旋转时，求动点 P的轨迹方程. OP 12OA OB 【导学号：71392130】精彩点拨 设出直线的方程，其斜率为 k，运用所给条件，用
13、k表示点 P的纵、横坐标，消去 k，得 x， y的关系式，即动点 P的轨迹方程自主解答 直线 l过定点 M(0,1)，当其斜率存在时设为 k，则 l的方程为 y kx1.设A(x1， y1)， B(x2， y2)，由题意知， A， B满足方程组Error!消去 y，得(4 k2)x22 kx30，则 4 k212(4 k2)0， x1 x2 ， x1x2 .2k4 k2 34 k2设 P(x， y)，则由 ( )，OP 12OA OB 得Error!消去 k，得 4x2 y2 y0；当斜率 k不存在时， P是坐标原点，也满足这个方程，故 P点的轨迹方程为 4x2 y2 y0.再练一题4过原点作
14、直线 l和抛物线 y x24 x9 交于 A， B两点，求线段 AB的中点 M的轨迹方程解 由已知，直线 l的斜率一定存在，设 l的方程为 y kx，把它代入抛物线方程中，得x2(4 k)x90.由 (4 k)2360，得 k2或 k2或 k3或 x3或 x3)当 堂 达 标固 双 基1到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是_解析 设 P(x， y)到两坐标轴的距离相等，则| x| y|，即 y x.答案 y x2已知点 P是直线 2x y30 上的一个动点，定点 M(1,2)， Q是线段 PM延长线上的一点，且| PM| MQ|，则 Q点的轨迹方程是_解析 由题意知， M为 PQ中点，设 Q(
15、x， y)，则 P为(2 x,4 y)，代入2x y30，得 2x y50.答案 2 x y503已知两定点 A(2,0)， B(1,0)，如果动点 P满足| PA|2| PB|，则点 P的轨迹所包围的图形的面积为_解析 设 P(x， y)，由| PA|2| PB|，得 2 ，(x 2)2 y2 (x 1)2 y23 x23 y212 x0，即 x2 y24 x0. P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为 2的圆，即轨迹所包围的面积等于 4.答案 44已知定圆 F1：( x5) 2 y21，定圆 F2：( x5) 2 y216，动圆 M与定圆 F1， F2都外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为_.
16、【导学号：71392131】解析 由圆 F1的方程知圆心 F1(5,0)，半径 r11，由圆 F2的方程知圆心 F2(5,0)，半径 r24，设动圆 M的半径为 R，因为圆 M与圆 F1， F2都外切，所以有MF1 R1， MF2 R4，从而有 MF2 MF1310 F1F2，根据双曲线的意义知，点 M的轨迹是以 F1， F2为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为 1( a0， b0)，焦距为x2a2 y2b22c，则 2a3,2 c10， a ， c5.32 b2 c2 a2 .动圆圆心 M的轨迹方程为 1 .914 x294 y2914 (x 32)8答案 1x294y2914 (x 32)5已知 ABC的两个顶点 A， B的坐标分别是(3,0)，(3,0)，边 AC， BC所在直线的斜率之积为 ，求顶点 C的轨迹方程14解 设顶点 C的坐标为( x， y)，则 kCA (x3)， kBC (x3)yx 3 yx 3 kCAkBC ， .14 yx 3 yx 3 14化简得 1( x3)x29 4y29当 x3 时， A， B， C三点共线，则不能构成三角形，故 x3.所求顶点 C的轨迹方程为 1( x3)x29 4y29
