1、1第 2 课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法知识点一 等比数列的性质思考 在等比数列 an中， a a1a9是否成立？ a a3a7是否成立？25 25a an2 an2 (n2， nN *)是否成立？2n答案 a5 a1q4， a9 a1q8， a1a9 a q8( a1q4)2 a ， a a1a9成立21 25 25同理 a a3a7成立， a an2 an2 也成立25 2n梳理 一般地，在等比数列 an中，若 m n s t，则有aman asat(m， n， s， tN *)若 m
2、 n2 k，则 aman a (m， n， kN *)2k知识点二 由等比数列衍生的等比数列思考 等比数列 an的前 4 项为 1,2,4,8，下列判断正确的是(1)3an是等比数列；(2)3 an是等比数列；(3) 是等比数列；1an(4)a2n是等比数列答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确梳理 (1)在等比数列 an中按序号从小到大取出若干项： ak1， ak2， ak3， akn，若k1， k2， k3， kn，成等差数列，那么 ak1， ak2， ak3， akn，是等比数列(2)如果 an， bn均为等比数列，那么数列 ， anbn， ，| an|是等比数列1an bnan
3、1 an amqn m(n， mN *)，当 m1 时，就是 an a1qn1 .()2在等比数列 an中，若公比 q0.跟踪训练 1 (1)在等比数列 an中， a34， a716，则 a5_；(2)设等比数列 an满足 a1 a310， a2 a45，则 a1a2an的最大值为_考点 等比数列的通项公式题点 已知数列为等比数列求通项公式答案 (1)8 (2)64解析 (1) q73 q4 4， q22.a7a3 164 a5 a3q53 4 q2428.(2)设该等比数列 an的公比为 q，Error! 即Error!解得Error!3 a1a2an (3)(2)( n4)(12)2749
4、-)(-7)，当 n3 或 4 时， 取得最小值6，12(n 72)2 494此时179(-)2取得最大值 26， a1a2an的最大值为 64.类型二 等比数列的性质命题角度 1 序号的数字特征例 2 已知 an为等比数列(1)若 an0， a2a42 a3a5 a4a625，求 a3 a5；(2)若 an0， a5a69，求 log3a1log 3a2log 3a10的值考点 等比数列的性质题点 利用项数的规律解题解 (1) a2a42 a3a5 a4a6 a 2 a3a5 a23 25( a3 a5)225， an0， a3 a50， a3 a55.(2)根据等比数列的性质，得a5a6
5、a1a10 a2a9 a3a8 a4a79， a1a2a9a10( a5a6)59 5，log 3a1log 3a2log 3a10log 3(a1a2a9a10)log 39510.反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题跟踪训练 2 在各项均为正数的等比数列 an中，若 a3a54，则 a1a2a3a4a5a6a7_.考点 等比数列的性质题点 等比数列各项积的问题答案 128解析 a3a5 a 4， an0， a42.24 a1a2a3a4a5a6a7( a1a7)(a2a6)(a3a5)a44 32128.命题角度 2 未知量的设法技巧例 3 有四个
6、数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个4数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质的其他应用问题解 方法一 设这四个数依次为 a d， a， a d， ，a d2a由条件得Error!解得Error! 或Error!所以当 a4， d4 时，所求的四个数为 0,4,8,16；当 a9， d6 时，所求的四个数为 15,9,3,1.故所求的四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.方法二 设这四个数依次为 a， a， aq(q0)，2aq aq由条件得Error!解得Error! 或Error!当 a8
7、， q2 时，所求的四个数为 0,4,8,16；当 a3， q 时，所求的四个数为 15,9,3,1.13故所求的四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.反思与感悟 合理地设出未知数是解决此类问题的技巧一般地，三个数成等比数列，可设为 ， a， aq；三个数成等差数列，可设为 a d， a， a d.若四个同号的数成等比数列，可aq设为 ， aq， aq3；四个数成等差数列，可设为 a3 d， a d， a d， a3 d.aq3aq跟踪训练 3 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为 21，中间两项和为 18，求这四个数考点 等比数列的性质题点 等比数列的性
8、质的其他应用问题解 设这四个数分别为 x， y,18 y,21 x，则由题意得Error!解得Error! 或Error!故所求的四个数为 3,6,12,18 或 ， ， ， .754 454 274 941在等比数列 an中， a28， a564，则公比 q 为_考点 等比数列基本量的计算题点 求等比数列公比5答案 2解析 由 a5 a2q3，得 q38，所以 q2.2在等比数列 an中， an0，且 a1a1027，则 log3a2log 3a9_.考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合答案 3解析 因为 a2a9 a1a1027，所以 log3a2log 3a9log 3
9、273.3在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，则插入的 6 个数的积为_考点 等比数列的性质题点 等比数列各项积的问题答案 8解析 设这 8 个数组成的等比数列为 an，则 a11， a82.插入的 6 个数的积为 a2a3a4a5a6a7( a2a7)(a3a6)(a4a5)( a1a8)32 38.4已知 an2 n3 n，判断数列 an是不是等比数列？考点 等比数列的判定题点 判断数列为等比数列解 不是等比数列 a12 13 15， a22 23 213， a32 33 335， a1a3 a ，数列 an不是等比数列21解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花
10、费大量时间找简便方法2所谓通式通法，指应用通项公式，前 n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要一、填空题1在等比数列 an中， a20158 a2012，则公比 q 的值为_6考点 等比数列基本量的计算题点 求等比数列公比答案 2解析 a20158 a2012 a2012q3， q38， q2.2在数列 an中， a11，点( an， an1 )在直线 y2 x 上，则 a4的值为_考点 等比数列的判定题点 判断数列为等比数列答案 8解析 点( an， an1 )在直线 y2 x 上， an1 2 an， a110
11、， an0， an是首项为 1，公比为 2 的等比数列， a412 38.3已知在各项均为正数的等比数列 an中，lg( a3a8a13)6，则 a1a15的值为_考点 等比数列的性质题点 利用项数的规律解题答案 10000解析 lg( a3a8a13)lg a 6，38 a 10 6， a810 2100. a1a15 a 10000.38 284在正项等比数列 an中， an1 0， q0， q1 .2 q2(1 )232 .a9 a10a7 a8 2 28设数列 an为公比 q1 的等比数列，若 a4， a5是方程 4x28 x30 的两根，则a6 a7_.考点 等比数列的性质题点 利用
12、项数的规律解题答案 18解析 由题意得 a4 ， a5 ， q 3.12 32 a5a4 a6 a7( a4 a5)q2 3218.(12 32)9已知等差数列 an的公差为 2，若 a1， a3， a4成等比数列，则 a2_.考点 等比中项题点 利用等比中项解题答案 6解析 由题意知， a3 a14， a4 a16.8 a1， a3， a4成等比数列， a a1a4，23( a14) 2( a16) a1，解得 a18， a26.10在等比数列 an中，若 a1a2a3a41， a13a14a15a168，则 a41a42a43a44_.考点 等比数列的性质题点 等比数列各项积的问题答案 1
13、024解析 设等比数列 an的公比为 q，a1a2a3a4 a1a1qa1q2a1q3 a q61，41a13a14a15a16 a1q12a1q13a1q14a1q15 a q548，41得 q488， q162， a41a42a43a44 a1q40a1q41a1q42q1q43 a q166 a q6q160( a q6)(q16)41 41 41102 101024.11已知在等比数列 an中，有 a3a114 a7，数列 bn是等差数列，且 b7 a7，则b5 b9_.考点 等比数列的性质题点 利用项数的规律解题答案 8解析 由等比数列的性质得 a3a11 a ， a 4 a7.27
14、 27 a70， a74， b7 a74.再由等差数列的性质知 b5 b92 b78.二、解答题12等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S3 a ，且 S1， S2， S4成等比数列，求 an的通项2公式考点 等比数列基本量的计算题点 利用基本量法解题解 设 an的公差为 d.由 S3 a ，得 3a2 a ，故 a20 或 a23.2 2由 S1， S2， S4成等比数列，得 S S1S4.2又 S1 a2 d， S22 a2 d， S44 a22 d，故(2 a2 d)2( a2 d)(4a22 d)若 a20，则 d22 d2，所以 d0，此时 Sn0，不合题意；若 a23，则(
15、6 d)2(3 d)(122 d)，解得 d0 或 d2.9因此 an的通项公式为 an3 或 an2 n1， nN *.13 在 等 比 数 列 an(n N*)中 ， a1 1， 公 比 q 0.设 bn log2an， 且 b1 b3 b5 6， b1b3b5 0.(1)求证：数列 bn是等差数列；(2)求 bn的前 n 项和 Sn及 an的通项 an；(3)试比较 an与 Sn的大小考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合(1)证明 因为 bnlog 2an，所以 bn1 bnlog 2an1 log 2anlog 2an 1anlog 2q(q0)为常数，所以数列 bn
16、为等差数列且公差 dlog 2q.(2)解 因为 b1 b3 b56，所以( b1 b5) b32 b3 b33 b36，即 b32.又因为 a11，所以 b1log 2a10，又因为 b1b3b50，所以 b50，即Error! 即Error!解得Error!因此 Sn4 n (1) .nn 12 9n n22又因为 dlog 2q1，所以 q ， b1log 2a14，即 a116，12所以 an2 5 n(nN *)(3)解 由(2)知， an2 5 n0，当 n9 时， Sn 0，所以当 n9 时， an Sn.n9 n2又因为 a116， a28， a34， a42， a51， a6
17、 ，12a7 ， a8 ，14 18S14， S27， S39， S410， S510， S69， S77，S84，所以当 n3,4,5,6,7,8 时， an0，且 a5a2n5 2 2n(n3)，则当 n3 时，10log2a1log 2a3log 2a2n1 _.考点 等比数列的性质题点 等比数列的性质与对数运算综合答案 n2解析 log 2a1log 2a3log 2a2n1 log 2(a1a3a2n1 )log 2(a1a2n1 )2nlog 2(a5a2n5 ) log 2 log n2.(22n)15在等差数列 an中，公差 d0， a1， a2， a4成等比数列，已知数列a1， a3， 1k， 2， nk，也成等比数列，求数列 kn的通项公式考点 等比数列基本量的计算题点 利用基本量法解题解 由题意得 a a1a4，即( a1 d)2 a1(a13 d)，2得 d(d a1)0，又 d0， a1 d.又 a1， a3， 1k， 2， nka，成等比数列，该数列的公比 q 3，a3a1 3dd nk a13n1 .又 nk a1( kn1) d kna1，数列 kn的通项公式为 kn3 n1 .
