1、13.3.1 单调性学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会用导数法求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点 函数的单调性与导函数正负的关系思考 1 观察下列各图，完成表格内容.函数及其图象 切线斜率 k正负 导数正负 单调性正 正 1，)上单调递增正 正 R上单调递增负 负 (0，)上单调递减负 负 (0，)上单调递减负 负 (，0)上单调递减思考 2 依据上述分析，可得出什么结论？答案 一般地，设函数 y f(x)，在区间( a， b)上，如果 f( x)0，则 f(x)在该
2、区间上单调递增；如果 f( x)0k0 锐角 上升 单调递增2f( x)0，那么 f(x)在区间( a， b)内单调递增.( )2.如果函数 y f(x)在区间( a， b)上单调递增，那么它在区间( a， b)上都有 f( x)0.( )3.函数 y x3 x25 x5 的单调递增区间是 和(1，).( )( ， 53)4.函数 f(x)ln x ax(a0)的单调增区间为 .( )(1a， )类型一 求函数的单调区间命 题 角 度 1 求 不 含 参 数 的 函 数 的 单 调 区 间例 1 求 f(x)3 x22ln x的单调区间.考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间解
3、 f(x)3 x22ln x的定义域为(0，).f( x)6 x 2x 23x2 1x ，23x 13x 1x由 x0，解 f( x)0，得 x ；33由 x0，解 f( x)0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式 f( x)0，( x2) 20.由 f( x)0，得 x3，所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，)；由 f( x)0，函数 f(x)在区间(0，)上为增函数；当 a0时，由 g(x)0，得 x 或 x (舍去).2a2 2a2当 x 时， g(x)0，即 f( x)0.(2a2， )所以当 a0时，函数 f(x)在区间 上为减函数，在区间 上为增函数.(0，2a2)
4、 (2a2， )综上，当 a0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0，)；4当 a0时，函数 f(x)的单调增区间是 ，单调减区间是 .(2a2， ) (0， 2a2)引申探究若将本例改为 f(x) ax2ln x(aR)呢？解 f( x)2 ax ，1x 2ax2 1x当 a0 时，且 x(0，)， f( x)0时，令 f( x)0，解得 x 或 x (舍去).2a2a 2a2a当 x 时， f( x)0， f(x)为增函数.(2a2a， )综上所述，当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上为减函数；当 a0时， f(x)在 上为减函数，在 上为增函数 .(0，2a2a) (2a2a， )反
5、思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定 f( x)的符号，否则会产生错误.(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.跟踪训练 2 已知函数 f(x)4 x33 tx26 t2x t1，其中 xR， tR.当 t0 时，求 f(x)的单调区间.考点 利用导数研究函数的单调性题点 求含参数函数的单调区间解 f( x)12 x26 tx6 t26( x t)(2x t)，令 f( x)0，得 x1 t， x2 .t2当 t0，此时
6、f(x)为增函数，( ，t2)同理当 x( t，)时， f(x)也为增函数.当 t0， x 时， f( x)0，此时 f(x)为增函数，(t2， )当 t0时， f(x)的增区间为(， t)， ，(t2， )f(x)的减区间为 .( t，t2)综上所述，当 t0时， f(x)的单调增区间是(， t)， ，单调减区间是 .(t2， ) ( t， t2)类型二 证明函数的单调性问题例 3 证明：函数 f(x) 在区间 上单调递减.sinxx (2， )考点 利用导数研究函数的单调性题点 证明函数的单调性证明 f( x) ，又 x ，xcosx sinxx2 (2， )则 cosx0， xcosxs
7、in x(或0，故 f(x)在区间(0，e)上是增函数.1 lnxx2类型三 已知函数的单调性求参数范围例 4 已知函数 f(x) x2 (x0，常数 aR).若函数 f(x)在 x2，)上单调递增，ax求 a的取值范围.考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数解 f( x)2 x .ax2 2x3 ax2要使 f(x)在2，)上单调递增，则 f( x)0 在 x2，)时恒成立，即 0 在 x2，)时恒成立.2x3 ax2 x20，2 x3 a0， a2 x3在 x2，)时恒成立. a(2 x3)min.当 x2，)时， y2 x3是单调递增的，(2 x3)min16， a16.当
8、 a 16时 ， f (x) 0(x 2， )， 有 且 只 有 f (2) 0， a的 取 值 范 围 是2x3 16x2( ， 16.反思与感悟 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数 f(x)在区间 I上单调递增(或减)，转化为不等式 f( x)0( f( x)0)在区间 I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.跟踪训练 4 已知函数 f(x) x3 ax2( a1) x2 在区间1,2上为减函数，求实数 a的13 12取值范围.考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数解 方法一 f( x) x2 ax( a1)，因为函数
9、 f(x)在区间1,2上为减函数，所以 f( x)0，即 x2 ax( a1)0，解得 a x1.因为在1,2上， a x1 恒成立，所以 a( x1) max1.所以 a的取值范围是1，).7方法二 f( x)( x1) x( a1)，由于函数 f(x)在区间1,2上为减函数，所以 f( x)0，当 a2 时，解得1 x a1，即减区间为1， a1，则1,21， a1，得 a1.当 a2 时，解得减区间为 a1，1，则函数 f(x)不可能在1,2上为减函数，故 a1.所以实数 a的取值范围是1，).1.函数 f(x)2 x33 x21 的单调递增区间是_，单调递减区间是_.考点 利用导数研究
10、函数的单调性题点 不含参数求单调区间答案 (，0)和(1，) (0,1)解析 f( x)6 x26 x，令 f( x)0，得 x1，令 f( x)0，解得 x0.3.函数 f(x)ln x ax(a0)的单调递增区间为_.考点 利用导数研究函数的单调性题点 求含参数函数的单调区间答案 (0，1a)解析 f(x)的定义域为 x|x0，由 f( x) a0，得 0k1 时， f( x)0，所以 f(x)的单调递减区间是(， k1)，单调递增区间为( k1，).1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数 f(x)的单
11、调区间的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f( x)；(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f( x)0和 f( x)0，所以在(4,5)上 f(x)是增函数.2.函数 f(x) x2sin x在(0，)上的单调递增区间为_.考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间答案 (3， )解析 令 f( x)12cos x0，得 cosx0，00，故不等式 2时， g( x)0，即 g(x)在(2，)上单调递增， m2 .12 528.已知函数 f(x)满足 f(x) f( x)，且当 x 时， f(x)e xsin x，则 f(1)，(2， 2)f(2)， f
12、(3)的大小关系为_.11考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 f(2) f(1) f(3)解析 由 f(x) f( x)，得 f(2) f(2)， f(3) f(3)，由 f(x)e xsin x得函数在 上单调递增，又 0).12 9x令 x 0，解得 00 且 a13，解得 12x1 的 x的取值范围为_.考点 利用导数研究函数的单调性题点 解不等式答案 (，1)解析 令 g(x) f(x)2 x1，则 g( x) f( x)2g(1)0 时， x0，即 f(x)2x1 的解集为(，1).二、解答题11.设函数 f(x) ax3 bx2 c，其中 a b0， a， b
13、， c均为常数，曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程为 x y10.(1)求 a， b， c的值；(2)求函数 f(x)的单调区间.12考点 利用导数研究函数的单调性题点 单调性的综合运用解 (1)因为 f( x)3 ax22 bx，所以 f(1)3 a2 b.又因为切线 x y1 的斜率为1，所以 3a2 b1，又 a b0，解得 a1， b1，所以 f(1) a b c c.由点(1， c)在直线 x y1 上，可得 1 c1，即 c0，所以 a1， b1， c0.(2)由(1)知， f(x) x3 x2，令 f( x)3 x22 x0，解得 x10， x2 .23当 x(，0
14、)时， f( x)0；(0，23)当 x 时， f( x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)；当 a0时， f( x) ，2x ax ax当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (0， ) a a ( ，) af( x) 0 f(x) 单调递减 单调递增由上表可知，函数 f(x)的单调递减区间是(0， )， a单调递增区间是( ，). a(2)由 g(x) x22 alnx，2x得 g( x) 2 x ，2x2 2ax已知函数 g(x)为1,2上的单调减函数，则 g( x)0 在1,2上恒成立，即 2 x 0 在1,2上恒成立，2x2 2ax即 a x2在1,2上恒成立.
15、1x令 h(x) x2，1x则 h( x) 2 x 0， x1,2，1x2 (1x2 2x)14所以 h(x)在1,2上为减函数， h(x)min h(2) ，72所以 a .72故实数 a的取值范围为 .( ， 72三、探究与拓展14.若 (x) ln x在1，)上是减函数，则实数 m的取值范围为_.mx 1x 1考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数答案 (，2解析 (x) ln x在1，)上是减函数.mx 1x 1 ( x) 0 在1，)上恒成立 . x2 2m 2x 1xx 12即 x2(2 m2) x10 在1，)上恒成立，则 2m2 x ， x1，)，1x x 2，)
16、，2 m22， m2.1x故实数 m的取值范围为(，2.15.已知函数 f(x) alnx ax3( aR).(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 y f(x)的图象在点(2， f(2)处的切线的倾斜角为 45，对于任意的 t1,2，函数 g(x) x3 x2 在区间( t,3)上总不是单调函数，求 m的取值范围.f xm2考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f( x) .a1 xx当 a0 时， f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)；当 a0 时， f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)；当 a0 时， f(x)不是单调函数.(2)由(1)及题意得 f(2) 1，即 a2，a215 f(x)2ln x2 x3， f( x) .2x 2x g(x) x3 x22 x，(m2 2) g( x)3 x2( m4) x2. g(x)在区间( t,3)上总不是单调函数，即 g( x)0 在区间( t,3)上有变号零点. g(0)2，Error!当 g( t)0，即 3t2( m4) t20 对任意 t1,2恒成立，由于 g(0)0，故只要 g(1)0 且 g(2)0，即 m5 且 m9，即 m9；由 g(3)0，即 m .373 m9.373即实数 m的取值范围是 .(373， 9)
