1、13.2.1 常见函数的导数学习目标 1.能根据定义求函数 y C， y kx b， y x， y x2， y 的导数.2.准确记忆1x基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数.知识点一 幂函数与一次函数的导数思考 1 函数 y kx(k0)增(减)的快慢与什么有关？答案 当 k0 时，函数增加的快慢与系数 k 有关， k 越大，增加的越快；当 k0，且 a1) f( x) axlnaf(x)e x f( x)e xf(x)log ax(a0，且 a1) f( x) 1xlnaf(x)ln x f( x) 1xf(x) x ( 为常数) f( x) x 121.(ex)e x.(
2、 )2.(lnx) .( )1x3. cos .( )(sin 3) 3 124.若 f(x) ，则 f( x) .( )1x2 2x3类型一 利用导数公式求函数的导数例 1 求下列函数的导数：(1)y x12；(2) y ；(3) y ；1x4 5x3(4)y2sin cos ；(5) y 12log；(6) y3 x.x2 x2考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用解 (1) y( x12)12 x121 12 x11.(2)y( x4 )4 x41 4 x5 .4x5(3)y( )(35)312 .5x335 35 355x2(4) y2sin cos sin x， yco
3、s x.x2 x2(5)y( 12log) .1xln 12 1xln2(6)y(3 x)3 xln3.反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.跟踪训练 1 求下列函数的导数：(1)f(x) 2log；(2) f(x)2 x；3(3)f(x)e 2；(4) f(x)cos x.考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用解 (1) f( x)( 2log) ；1xln 2 2xln2(2)f( x) xln 2 xln2；(12)x (12) 12(3)f( x)(e 2)0；(4)f( x)(cos
4、 x)sin x.类型二 导数公式的综合应用命 题 角 度 1 利 用 导 数 公 式 解 决 切 线 问 题例 2 已知点 P(1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y x2上两点，是否存在与直线 PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数解 因为 y( x2)2 x，假设存在与直线 PQ 垂直的切线.设切点为( x0， y0)，则 PQ 的斜率为 k 1，4 12 1而切线与 PQ 垂直，所以 2x01，即 x0 .12所以切点为 .(12， 14)所以所求切线方程为 y (1) ，14 (x 12)即 4x4 y10.引申探究若本例条件
5、不变，求与直线 PQ 平行的曲线 y x2的切线方程.考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数解 因为 y( x2)2 x，设切点为 M(x0， y0)，则在点 x x0处的导数为 2x0，又因为 PQ 的斜率为 k 1，4 12 1而切线平行于 PQ，所以 k2 x01，即 x0 .12所以切点为 M .(12， 14)4所以所求切线方程为 y x ，即 4x4 y10.14 12反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练 2 已知两条曲线 ysin x， ycos x，是否
6、存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦、余弦函数的导数解 设存在一个公共点( x0， y0)，使两曲线的切线垂直，则在点( x0， y0)处的切线斜率分别为 k1cos x0， k2sin x0.要使两切线垂直，必须有 k1k2cos x0(sin x0)1，即 sin2x02，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.命 题 角 度 2 利 用 导 数 公 式 求 最 值 问 题例 3 求抛物线 y x2上的点到直线 x y20 的最短距离.考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数解
7、依题意知抛物线 y x2与直线 x y20 平行的切线的切点到直线 x y20 的距离最短，设切点坐标为( x0， x ).20 y( x2)2 x，2 x01， x0 ，12切点坐标为 ，(12， 14)所求的最短距离 d .|12 14 2|2 728反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点 P(x0， y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练 3 已知直线 l: 2x y40 与抛物线 y x2相交于 A， B 两点， O 是坐标原点，试
8、求与直线 l 平行的抛物线的切线方程，并在弧 AO上求一点 P，使 ABP 的面积最大.考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数5解 设 M(x0， y0)为切点，过点 M 与直线 l 平行的直线斜率 k y2 x0， k2 x02， x01， y01.故可得 M(1,1)，切线方程为 2x y10.由于直线 l: 2x y40 与抛物线 y x2相交于 A， B 两点， AB 为定值，要使 ABP 的面积最大，只要 P 到 AB 的距离最大，故点 M(1,1)即为所求弧 AOB上的点，使 ABP 的面积最大.1.设函数 f(x)log ax， f(1)1，则 a_.考点 几个常用函数的导数
9、题点 指数函数、对数函数的导数答案 1e解析 f( x) ，1xlna则 f(1) 1， a .1lna 1e2.下列结论：(sin x)cos x； ；(log 3x) ；(ln x) .(1x) 1x2 13lnx 1x其中正确的结论是_.考点 几个常用函数的导数题点 指数函数、对数函数的导数答案 解析 由 求 导 公 式 知 ， (sin x) cos x， ，(log 3x) ，(ln x) ，故(1x) 1x2 1xln3 1x正确.3.在曲线 y 上求一点 P，使得曲线在该点处的切线倾斜角为 135，则点 P 的坐标为4x2_.考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数答案 (2,
10、1)解析 y(4 x2 )8 x3 ，设点 P(x0， y0)，6依题意，得8 x tan1351， x02. 30又 P(x0， y0)在曲线 y 上， y01.4x24.设正弦函数 ysin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的取值范围为_.考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦、余弦函数的导数答案 0， 4 34， )解析 (sin x)cos x， klcos x，1 kl1， l .0， 4 34， )5.求下列函数的导数.(1)ycos ；(2) y ；(3) y ； 6 1x5 x2x(4)ylg x；(5) y5 x；(6) ycos .(
11、2 x)考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用解 (1) y0.(2) y x5 ， y( x5 )5 x6 .1x5 5x6(3) y 32， y(32)12 .x2x 32 32x(4)y .1xln10(5)y5 xln5.(6) ycos sin x，( 2 x) y(sin x)cos x.1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求 y12sin 2 的导数.因为 y12sin 2 cos x，x2 x所以 y(cos x)sin x
12、.73.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.8一、填空题1.已知 f(x)sin x，则 f _.( 2)考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦、余弦函数的导数答案 0解析 f( x)cos x， f 0.( 2)2.若 f(x) x3， f( x0)3，则 x0的值是_.考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数答案 1解析 f( x0)3 x 3， x01.203.已知 f(x) ， g(x) mx，且 g(2) ，则 m _.1x 1f 2考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数答案 4解析 f( x) ， f(2) ，1x2 14又 g( x)
13、m， g(2) m，由 g(2) ，得 m4.1f 24.曲线 y f(x)ln x 在 x a 处的切线倾斜角为 ，则 a_. 4考点 几个常用函数的导数题点 指数函数、对数函数的导数答案 1解析 y ， f( a) 1.1x 1a a1.5.下列结论中正确的个数为_.9 f(x)ln2，则 f( x) ；12 f(x) ，则 f(3) ；1x2 227 f(x)2 x，则 f( x)2 xln2； f(x)log 2x，则 f( x) .1xln2考点 几个常用函数的导数题点 指数函数、对数函数的导数答案 3解析 f(x)ln2 为常数，所以 f( x)0，错.均正确.6.曲线 ye x在
14、点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_.考点 几个常用函数的导数题点 指数函数、对数函数的导数答案 e212解析 y(e x)e x， ke 2，曲线在点(2，e 2)处的切线方程为 ye 2e 2(x2)，即 ye 2xe 2.当 x0 时， ye 2；当 y0 时， x1. S 1|e 2| e2.12 127.过曲线 y 上一点 P 的切线的斜率为4，则点 P 的坐标为_.1x考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数答案 或(12， 2) ( 12， 2)解析 y( x1 ) 4，1x2 x2 ， x .14 12切点坐标为 或 .(12， 2) ( 12， 2)8.已知
15、直线 y kx 是曲线 ye x的切线，则实数 k 的值为_.考点 几个常用函数的导数题点 指数函数的导数10答案 e解析 ye x，设切点为( x0， y0)，则 0=xke 0x x0， x01， ke.9.曲线 ylog 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_.考点 几个常用函数的导数题点 指数函数、对数函数的导数答案 log2e12解析 y ， k ，1xln2 1ln2切线方程为 y (x1)，1ln2三角形面积为 S 1 log2e.12 1ln2 12ln2 1210.已知 f(x)cos x， g(x) x，则关于 x 的不等式 f( x) g( x)0 的解
16、集为_.考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用答案 Error!解析 f( x)sin x， g( x)1，由 f( x) g( x)0，得sin x10，即 sinx1，则 sinx1，解得 x 2 k， kZ， 2其解集为Error!.二、解答题11.求下列函数的导数：(1)f(x)log 2x2log 2x；(2) f(x) 2 x；2x2 1x(3)f(x)2sin ；x2(2sin2x4 1)(4)y(1 ) .x(1 1x) x考点 几个常用函数的导数11题点 几个常用函数导数的应用解 (1) f(x)log 2x2log 2x2log 2xlog 2xlog 2x，
17、 f( x)(log 2x) .1xln2(2) f(x) 2 x2 x 2 x ，2x2 1x 1x 1x f( x) ( x1 ) x2 .(1x) 1x2(3) f(x)2sin sin x.x2( cos x2) f( x)(sin x)cos x.(4) f(x)(1 ) 1 1 12xx(1 1x) x x 1x x f( x)( 2)32 .x2x212.若曲线 y12在点( a，12)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 18，求 a 的值.考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数解 y12x， y32x，曲线在点( a， a )处的切线斜率 k a ，12 12 32切线
18、方程为 y 32()x.令 x0，得 y123a；令 y0，得 x3 a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S 3a123 94a18， a64.1213.已知曲线 y f(x)5 (x0)，求：x(1)曲线上与直线 y2 x4 平行的切线方程；(2)过点 P(0,5)，且与曲线相切的切线方程.考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数解 (1)设切点为( x0， y0)，12由 y f(x)5 ，得 f( x0) .x52x0因为切线与直线 y2 x4 平行，所以 2，52x0解得 x0 ，所以 y0 .2516 254故所求切线方程为 y 2 ，254 (x 2516)即 16x8 y2
19、50.(2)因为点 P(0,5)不在曲线 y5 上，x所以设切点坐标为 M(x1， y1)，则切线斜率为 (x10)，52x1又因为切线斜率为 ，y1 5x1所以 ，52x1 y1 5x1 5x1 5x1解得 x14( x10 舍去).所以切点为 M(4,10)，斜率为 ，54故切线方程为 y10 (x4)，即 5x4 y200.54三、探究与拓展14.已知函数 f(x) 1( a0)的图象在 x1 处的切线为 l，则 l 与两坐标轴围成的三角形x2a面积的最小值为_.考点 几个常用函数的导数题点 幂函数的导数答案 1解析 f( x) ， f(1) .2xa 2a又 f(1) 1，1a f(x
20、)在 x1 处的切线 l 的方程是 y 1 (x1).1a 2a l 与坐标轴围成的三角形的面积为S 12| 1a 1|a 12 | 14(a 1a 2)13 (22)1.14故 l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为 1.15.点 P 是曲线 ye x上任意一点，求点 P 到直线 y x 的最小距离.考点 几个常用函数的导数题点 指数函数、对数函数的导数解 如图，当曲线 ye x在点 P(x0， y0)处的切线与直线 y x 平行时，点 P 到直线 y x 的距离最近.则曲线 ye x在点 P(x0， y0)处的切线斜率为 1，又 y(e x)e x，所以 01，得 x00，代入 ye x，得 y01，即 P(0,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为 .22
